Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 4: Giới hạn vô định dạng 0 chia 0 (Có lời giải)

 TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0
 0
 P(x)
DẠNG 1: L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
 x x
 0 Q(x)
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
 x2 x 6 x2 5x x3 8
a). lim b). lim c). lim 
 x 2 x2 4 x 5 x2 25 x 2 x2 3x 2
 x3 3x 2 x2 2x 3 x 3
d). lim e). lim f). lim
 x 1 x4 4x 3 x 1 2x2 x 1 x 3 x2 2x 3
 LỜI GIẢI
 x2 x 6 (x 3)(x 2) x 3 5
a). lim lim lim 
 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4
 x2 5x x(x 5) x 1
b). lim lim lim 
 x 5 x2 25 x 5 (x 5)(x 5) x 5 x 5 2
 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4
c). lim lim lim 12 
 x 2 x2 3x 2 x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1
 x3 3x 2
d). L lim 
 x 1 x4 4x 3
Phân tích x3 3x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 0 -3 2
1 1 1 -2 0
 x3 3x 2 (x 1)(x2 x 2) 
Phân tích x4 4x 3 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 0 0 -4 3
1 1 1 1 -3 0
 x4 4x 3 (x 1)(x3 x2 x 3) 
 (x 1)(x2 x 2) x2 x 2
Vậy L lim lim (khi x 1 thì ta thấy cả tử 
 x 1 (x 1)(x3 x2 x 3) x 1 x3 x2 x 3
và mẫu đều dần về 0, có nghĩa vẫn còn vô định 0 , nên ta phải phân tích 
 0
thành nhân tử tiếp). Phân tích x2 x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 1 -2
1 1 2 0
 x2 x 2 (x 1)(x 2) 
Phân tích x3 x2 x 3 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 1 1 -3
1 1 2 3 0
 x3 x2 x 3 (x 1)(x2 2x 3) 
 (x 1)(x 2) x 2 1
 L lim lim 
 x 1 (x 1)(x2 2x 3) x 1 x2 2x 3 2
 x2 2x 3 (x 1)(x 3) x 3 4
e). lim lim lim 
 x 1 2x2 x 1 x 1 (x 1)(2x 1) x 1 2x 1 3
 x 3 x 3 1 1
f). lim lim lim 
 x 3 x2 2x 3 x 3 (x 1)(x 3) x 3 x 1 4
Câu 2: Tìm các giới hạn sau :
 (1 x)3 1 (x 3)3 27 2x3 5x2 2x 3
a). lim b). lim c). lim 
 x 0 x x 0 x x 3 4x3 12x2 4x 12
 3 2 4
d). x 2 2 e). x 4x 5 f). x 27x
 lim 2 lim lim 2
 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 2x 3x 9
 LỜI GIẢI
 (1 x)3 1 x3 3x2 3x
a). lim lim lim(x2 3x 3) 3 
 x 0 x x 0 x x 0
 (x 3)3 27 x3 9x2 27x
b). lim lim lim(x2 9x 27) 27 
 x 0 x x 0 x x 0
 2x3 5x2 2x 3
c). L lim 
 x 3 4x3 12x2 4x 12
Phân tích 2x3 5x2 2x 3 thành nhân tử bằng Hoocner:
 2 -5 -2 -3
3 2 1 1 0
 2x3 5x2 2x 3 (x 3)(2x2 x 1)
Phân tích 4x3 12x2 4x 12 thành nhân tử bằng Hoocner:
 4 -12 4 -12
3 4 0 4 0 4x3 12x2 4x 12 (x 3)(4x2 4)
 (x 3)(2x2 x 1) 2x2 x 1 2.9 3 1 11
 L lim lim . 
 x 3 (x 3)(4x2 4) x 3 4x2 4 4.32 4 20
 3
 3 2
 x3 2 2 x 2 x 2 x 2x 2 
d). 
 lim 2 lim 2 lim
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 x2 2x 2 3 2
 lim 
 x 2 x 2 2
 x2 4x 5 (x 1)(x 5)
e). lim lim lim(x 5) 6 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 x4 27x x(x3 27) x(x 3)(x2 3x 9)
f). lim lim lim 
 x 3 2x2 3x 9 x 3 (x 3)(2x 3) x 3 (x 3)(2x 3)
 x(x2 3x 9)
 lim 9
 x 3 2x 3
Câu 3: Tìm các giới hạn sau:
 x3 x2 5x 2 x4 16 x5 2x4 x 2
a). lim b). lim c). lim 
 x 2 x2 3x 2 x 2 x2 6x 8 x 2 x2 4
 x4 x3 x 1 x 2 x 3 3 x2 2 3 x 1
d). lim e). lim f). lim
 x 1 x3 5x2 7x 3 x 1 x 5 x 4 x 1 (x 1)2
 LỜI GIẢI
 x3 x2 5x 2
a). lim 
 x 2 x2 3x 2
Phân tích x3 x2 5x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 1 -5 -2
2 1 3 1 0
 x3 x2 5x 2 (x 2)(x2 3x 1)
 (x 2)(x2 3x 1) x2 3x 1 11
Vậy lim lim 
 x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 2 4
 2 2
 x4 16 x 4 x 4 (x 2)(x 2)(x2 4)
b). lim lim lim 
 x 2 x2 6x 8 x 2 x 2 x 4 x 2 (x 2)(x 4)
 (x 2)(x2 4)
 lim 16
 x 2 x 4
 x5 2x4 x 2
c). lim 
 x 2 x2 4
Phân tích x5 2x4 x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -2 0 0 1 -2 2 1 0 0 0 1 0
 x5 2x4 x 2 (x 2)(x4 1)
 (x 2)(x4 1) x4 1 17
Vậy lim lim 
 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4
 x4 x3 x 1
d). lim 
 x 1 x3 5x2 7x 3
Phân tích x4 x3 x 1 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -1 0 -1 1
1 1 0 0 -1 0
 x4 x3 x 1 (x 1)(x3 1)
Phân tích x3 5x2 7x 3 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -5 7 -3
1 1 -4 3 0
 x3 5x2 7x 3 (x 1)(x2 4x 3)
 (x 1)(x3 1) x3 1 (x 1)(x2 x 1) x2 x 1 3
 lim lim lim lim . 
 x 1 (x 1)(x2 4x 3) x 1 x2 4x 3 x 1 (x 1)(x 3) x 1 x 3 4
 x 2 x 3 ( x 1)( x 3) x 3 4
e). lim lim lim . 
 x 1 x 5 x 4 x 1 ( x 1)( x 4) x 1 x 4 3
 2 2
 3 3
 3 x2 2 3 x 1 x 1 x 1 1 1
f). .
 lim 2 lim 2 lim lim
 x 1 (x 1) x 1 2 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x 1)2 4
 x 1 
Câu 4: Tìm các giới hạn sau:
 x3 5x2 3x 9 2x4 8x3 7x2 4x 4
a). lim b). lim 
 x 3 x4 8x2 9 x 2 3x3 14x2 20x 8
 x4 5x3 9x2 7x 2 x5 x4 x3 x2 x 5 4x6 5x5 x
c). lim d). lim e). lim 
 x 1 x4 3x3 x2 3x 2 x 1 x2 1 x 1 (1 x)2
 LỜI GIẢI
 x3 5x2 3x 9
a). lim 
 x 3 x4 8x2 9
Phân tích x3 5x2 3x 9 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -5 3 9
3 1 -2 -3 0
 x3 5x2 3x 9 (x 3)(x2 2x 3) (x 3)(x2 2x 3) (x 3)(x2 2x 3) x2 2x 3
 lim lim lim 0 
 x 3 (x2 1)(x2 9) x 3 (x2 1)(x 3)(x 3) x 3 (x2 1)(x 3)
 2x4 8x3 7x2 4x 4
b). lim 
 x 2 3x3 14x2 20x 8
Phân tích 2x4 8x3 7x2 4x 4 thành nhân tử bằng Hoocner:
 2 8 7 -4 -4
-2 2 4 -1 -2 0
 2x4 8x3 7x2 4x 4 (x 2)(2x3 4x2 x 2)
Phân tích 3x3 14x2 20x 8 thành nhân tử bằng Hoocner:
 3 14 20 8
-2 3 8 4 0
 3x3 14x2 20x 8 (x 2)(3x2 8x 4)
 (x 2)(2x3 4x2 x 2) 2x3 4x2 x 2
 lim lim (Khi x 2 ta thấy cả tử và 
 x 2 (x 2)(3x2 8x 4) x 2 3x2 8x 4
mẫu đều dần về 0, nên vẫn còn vô định. Do đó ta phân tích thành nhân tử cả 
tử và mẫu tiếp để khử dạng vô định).
Phân tích 2x3 4x2 x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 2 4 -1 -2
-2 2 0 -1 0
 2x3 4x2 x 2 (x 2)(2x2 1)
Phân tích 3x2 8x 4 thành nhân tử bằng Hoocner:
 3 8 4
-2 3 2 0
 3x2 8x 4 (x 2)(3x 2)
 (x 2)(2x2 1) 2x2 1 7
 lim lim 
 x 2 (x 2)(3x 2) x 2 3x 2 4
 x4 5x3 9x2 7x 2
c). L lim 
 x 1 x4 3x3 x2 3x 2
Phân tích x4 5x3 9x2 7x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -5 9 -7 2
1 1 -4 5 -2 0
 x4 5x3 9x2 7x 2 (x 1)(x3 4x2 5x 2) Phân tích x4 3x3 x2 3x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -3 1 3 -2
1 1 -2 -1 2 0
 x4 3x3 x2 3x 2 (x 1)(x3 2x2 x 2)
 (x 1)(x3 4x2 5x 2) x3 4x2 5x 2
L lim lim (Khi x 1 ta thấy cả tử và 
 x 1 (x 1)(x3 2x2 x 2) x 1 x3 2x2 x 2
mẫu đều dần về 0, nên vẫn còn vô định. Do đó ta phân tích thành nhân tử cả 
tử và mẫu tiếp để khử dạng vô định).
Phân tích x3 4x2 5x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -4 5 -2
1 1 -3 2 0
 x3 4x2 5x 2 (x 1)(x2 3x 2)
Phân tích x3 2x2 x 2 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 -2 -1 2
1 1 -1 -2 0
 x3 2x2 x 2 (x 1)(x2 x 2)
 (x 1)(x2 3x 2) x2 3x 2
L lim lim 0 
 x 1 (x 1)(x2 x 2) x 1 x2 x 2
 x5 x4 x3 x2 x 5
d). lim 
 x 1 x2 1
Phân tích x5 x4 x3 x2 x 5 thành nhân tử bằng Hoocner:
 1 1 1 1 1 -5
1 1 2 3 4 5 0
 (x 1)(x4 2x3 3x2 4x 5) x4 2x3 3x2 4x 5 15
lim lim 
x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 2
 4x6 5x5 x x(4x5 5x4 1)
e). lim lim 
 x 1 (1 x)2 x 1 (x 1)2
Phân tích 4x5 5x4 1 thành nhân tử bằng Hoocner:
 4 -5 0 0 0 1
1 4 -1 -1 -1 -1 0 4x5 5x4 1 (x 1)(4x4 x3 x2 x 1)
 x(x 1)(4x4 x3 x2 x 1) x(4x4 x3 x2 x 1)
 lim lim 
 x 1 (x 1)2 x 1 (x 1)
Phân tích 4x4 x3 x2 x 1 thành nhân tử bằng Hoocner:
 4 -1 -1 -1 -1
1 4 3 2 1 0
 4x4 x3 x2 x 1 (x 1)(4x3 3x2 2x 1)
 x(x 1)(4x3 3x2 2x 1)
 lim limx(4x3 3x2 2x 1) 10 . 
 x 1 x 1 x 1
Câu 5: Tìm các giới hạn sau:
 1 2 1 1 
a). lim b). lim 
 x 1 x 1 x2 1 x 2 x2 5x 6 x2 3x 2 
 2x 3 x 26 1 1 
c). lim d). lim 
 x 2 x 2 4 x2 x 1 x2 x 2 x3 1 
 LỜI GIẢI
 1 2 
a). lim 
 x 1 x 1 x2 1 
 1 2 x 1 2 x 1 1 1
 lim lim lim lim 
 x 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1 (x 1)(x 1) x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 2
 1 1 
b). lim 
 x 2 x2 5x 6 x2 3x 2 
 1 1 x 1 x 3 
 lim lim 
 x 2 (x 2)(x 3) (x 1)(x 3) x 2 (x 2)(x 3)(x 1) 
 2(x 2) 2
 lim lim 2 .
 x 2 (x 2)(x 3)(x 1) x 2 (x 3)(x 1)
 2x 3 x 26 
 c). lim 
 x 2 x 2 4 x2 
 2x 3 x 26 (2x 3)(x 2) x 26
 lim lim
 x 2 x 2 (x 2)(x 2) x 2 (x 2)(x 2)
 2x2 6x 20 2(x 2)(x 5) 2(x 5) 7
 lim lim lim .
 x 2 (x 2)(x 2) x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 2
 1 1 
d). lim 
 x 1 x2 x 2 x3 1 
 1 1 x2 x 1 x 2
 lim 2 lim 2
 x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(x x 1) x 1 (x 1)(x 2)(x x 1) x2 1 (x 1)(x 1) x 1 1
 lim lim lim 
 x 1 (x 1)(x 2)(x2 x 1) x 1 (x 1)(x 2)(x2 x 1) x 1 (x 2)(x2 x 1) 9
Câu 6: Tính các giới hạn sau:
 x 3 x 3 3 x3 1 1
a). lim b) lim c). lim 
 x 9 9x x2 x 6 x 6 x 0 x2 x
 2x x2 1 x 5 3 x2 9
d). lim e). lim f). lim
 x 1 x2 x x 4 x2 3x 4 x 3 x 1 2
 LỜI GIẢI
 x 3 x 9 1 5
a). lim lim lim 
 x 9 9x x2 x 9 x(x 9)( x 3) x 9 x( x 3) 4
 x 3 3 (x 3 9) x 6 1 1
b). lim lim lim lim 
 x 6 x 6 x 6 (x 6)( x 3 3) x 6 (x 6)( x 3 3) x 6 x 3 3 6
 x3 1 1
c). lim 
 x 0 x2 x
 x3 1 1 x3 x2
 lim lim lim 0
 x 0 (x2 x) x3 1 1 x 0 x(x 1) x3 1 1 x 0 (x 1) x3 1 1 
 2x x2 1
d). lim 
 x 1 x2 x
 2x x2 1 (x 1)2 (x 1)
 lim lim lim 0
 x 1 (x2 x) 2x x2 1 x 1 x(x 1) 2x x2 1 x 1 x 2x x2 1 
 x 5 3 x 5 9 x 4
e). 
 lim 2 lim lim
 x 4 x 3x 4 x 4 (x2 3x 4) x 5 3 x 4 (x 1)(x 4) x 5 3 
 1 1
 lim 
 x 4 (x 1) x 5 3 30
 2
 x2 9 (x 9) x 1 2 (x 3(x 3) x 1 2 
f). lim lim lim 
 x 3 x 1 2 x 3 x 1 4 x 3 x 3
 lim(x 3) x 1 2 24 .
 x 3 
Câu 7: Tìm các giới hạn sau:
 3x 1 x 3 3 x 3 2x x 2
a). lim b). lim c). lim
 x 1 x 8 3 x 9 x 5 2 x 1 3x 3
 4 x x2 2 7 2x x 2
d). lim e). lim 
 x 1 x 1 x 1 x2 1 LỜI GIẢI
 3x 1 x 3 (3x 1 x 3) x 8 3 
a). lim lim
 x 1 x 8 3 x 1 (x 8 9) 3x 1 x 3 
 2(x 1) x 8 3 2 x 8 3 
 lim lim 3
 x 1 (x 1) 3x 1 x 3 x 1 3x 1 x 3
 3 x (9 x) x 5 2 (x 9) x 5 2 
b). lim lim lim 
 x 9 x 5 2 x 9 (x 5 4) 3 x x 9 (x 9) 3 x 
 x 5 2 2
 lim .
 x 9 3 x 3
 3 2x x 2 3 2x (x 2)
c). lim lim 
 x 1 3x 3 x 1 (3x 3) 3 2x x 2 
 x 1 1 1
 lim lim .
 x 1 3(x 1) 3 2x x 2 x 1 3 3 2x x 2 6
 4 x x2 2 4 x x2 4 x(x 1)
d). lim lim lim
 x 1 x 1 x 1 (x 1) 4 x x2 2 x 1 (x 1) 4 x x2 2 
 x 1
 lim .
 x 1 4 x x2 2 4
 2
 2
 7 2x x 2 7 2x (x 2)
e). lim lim 
 x 1 x2 1 x 1 2 
 (x 1) 7 2x (x 2) 
 7 2x (x2 4x 4) x2 2x 3
 lim lim 
 x 1 2 x 1 2 
 (x 1) 7 2x (x 2) (x 1) 7 2x (x 2) 
 (x 1)(x 3) (x 3) 1
 lim lim 
 x 1 (x 1)(x 1) 7 2x x 2 x 1 (x 1) 7 2x x 2 3
Câu 8: Tìm các giới hạn sau:
 3 5x 3 2 1 3 1 x 3 x2 1 2
a). lim b). lim c). lim 
 x 1 x 1 x 0 x x 3 x 3
 3 x 7 2 3 x 2 x2 1
d). lim e). lim f). lim
 x 1 x 1 x 8 2x 9 5 x 1 2x 3x2 1
 LỜI GIẢI 3 5x 3 2 5x 3 8
a). lim lim 
 x 1 x 1 x 1 2 
 (x 1) 3 5x 3 2 3 5x 3 4
 5(x 1) 5 5
 lim lim 
 x 1 x 1 2
 3 3 3 3 12
 (x 1) 5x 3 2. 5x 3 4 5x 3 2 5x 3 4
 1 3 1 x 1 (1 x) 1 1
b). lim lim lim 
 x 0 x 0 2 x 0 2
 x 3 3 3 3 3
 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 
 3 x2 1 2 x2 1 8
c). lim lim 
 x 3 x 3 2
 x 3 3 2 3 2 
 (x 3) x 1 2 x 1 4 
 (x 3)(x 3) x 3 1
 lim lim 
 x 3 2 x 3 2
 3 3 3 3 2
 x2 1 2 x2 1 4 x2 1 2 x2 1 4
 3 x 7 2
d). lim 
 x 1 x 1
 x 7 8 x 1
Ta có : 3 
 x 7 2 2 2
 3 x 7 2 3 x 7 4 3 x 7 2 3 x 7 4
 1 x 1
Và 
 x 1 x 1
 x 1 x 1 x 1 1
Vậy lim . lim 
 2 2
 x 1 3 3 x 1 3 3
 x 7 2 x 7 4 x 1 x 7 2 x 7 4 6
 3 x 2 x 8 2x 9 5 
e). lim lim . 
 2 
 x 8 x 8 3 3 
 2x 9 5 x 2 x 4 2x 9 25 
 x 8 2x 9 5 2x 9 5 10
 lim . lim 
 x 8 2 x 8 2
 3 3 2(x 8) 3 3 24
 x 2 x 4 2 x 2 x 4
 x2 1
f). lim
 x 1 2x 3x2 1
 x2 1 2x 3x2 1 x2 1 2x 3x2 1 
 lim lim lim 2x 3x2 1 4
 2 2 2 
 x 1 4x 3x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 9: Tìm các giới hạn sau: