Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 3, Phần 1: Giới hạn hàm số lý thuyết và phương pháp giải toán (Có lời giải)

 GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1). Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a). Giới hạn hữu hạn: Giả sử a; b là một khoảng chứa điểm x0 và f là một 
hàm số xác định trên tập hợp a; b \ x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 
số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn 
trong tập hợp a; b \ x0  mà lim xn x0 ta đều có lim f xn L . Khi đó ta 
viết: lim f x L hoặc f x L khi x x0 .
 x X0
Nhận xét:
 Nếu f x c,x ¡ , trong đó c là hằng số thì lim f x lim c c .
 x x0 x x0
 Nếu f x x,x ¡ thì lim f x lim x x0 .
 x x0 x x0
b). Giới hạn vô cực: Giả sử a; b là một khoảng chứa điểm x0 và f là một 
hàm số xác định trên tập hợp a; b \ x0  . 
 lim f x nếu với mọi dãy số xn trog tập hợp a; b \ x0  mà 
 x x0
lim xn x0 ta đều có lim f x .
 lim f x nếu với mọi dãy số xn trog tập hợp a; b \ x0  mà 
 x x0
lim xn x0 ta đều có lim f x .
2). Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; . Ta nói rằng hàm số f có giới 
hạn là số thực L khi x dần tới nếu với mọi dãy số xn trong khoảng 
 a; mà lim xn ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết: lim f x L 
 x 
hoặc f x L khi x .
Các giới hạn lim f x , 
 x 
lim f x , lim f x L, lim f x , lim f x được định nghĩa 
x x x x 
hoàn toàn tương tự.
Nhận xét:
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với 
mọi số nguyên dương k, ta có:
 1 1
lim xk lim 0 lim 0
x x xk x xk
3). Một số định lí về giới hạn hữu hạn: Định lí 1: Giả sử lim f x L và lim g x M (với L, M ¡ ).Khi đó:
 x x0 x x0
 lim f x g x L M lim f x g x L M
 x x0 x x0
 f x L
 lim f x .g x L.M Nếu M 0 thì lim 
 x x x x
 0 0 g x M
Hệ quả:
 Nếu c là một hằng số thì lim c.f x c.L .
 x x0
 k k 
 lim a.x ax0 ( a hằng số và k ¢ ).
 x x0
Định lí 2: Giả sử lim f x L . Khi đó:
 x x0
 lim f x L lim 3 f x 3 L
 x x0 x x0
 Nếu f x 0 với mọi x J\ x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 , 
thì L 0 và lim f x L .
 x x0
Chú ý:
 Định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng khi thay x x0 bởi x hoặc x .
Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn hàm số): giả sử J là một khoảng chứa x0 
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J\ x0  . Nếu f x g x h x 
với mọi x J\ x0  và lim f x lim h x L thì lim g x L .
 x x0 x x0 x x0
Chú ý: Định lí 3 vẫn đúng khi thay x x0 bởi x (trong các trường 
hợp này thay tập hợp J\ x0  bằng khoảng a; ) hoặc x (trong các 
trường hợp này thay tập hợp J\ x0  bằng khoảng ;a ).
 1
Định lí 4: Nếu lim f x thì lim 0 .
 x x x x
 0 0 f x 
4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Qui tắc 1: Nếu lim f x và lim g x L (với L 0 ) thì lim f x .g x 
 x x0 x x0 x x0
được cho bởi bảng sau:
 lim f x Dấu của L lim f x .g x 
 x x0 x x0
 + 
 Quy tắc 2: Nếu lim f x L, L 0 , lim g x 0 và g x 0 hoặc 
 x x0 x x0
 f x 
g x 0 với mọi x a; b \ x0  thì lim được cho bởi bảng sau:
 x x
 0 g x 
 Dấu của L Dấu của g x f x 
 lim
 x x
 0 g x 
 + 
5). Các dạng vô định:
 0 
Các dạng vô định trường gặp: , ,0. , .
 0 
6). Giới hạn một bên:
a). Giới hạn hữu hạn:
 Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0 ; b , x0 ¡ . 
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 
(hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong khoảng x0 ; b mà 
lim xn x0 , ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết:
lim f x L hoặc f x L khi x x .
 0
x x0
 Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; x0 , x0 ¡ . 
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 
(hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong khoảng a; x0 mà 
lim xn x0 , ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết:
lim f x L hoặc f x L khi x x .
 0
x x0
Định lí 5: lim f x L lim f x lim f x L 
 x x 
 0 x x0 x x0
 Giới hạn vô cực:
lim f x , lim f x , lim f x lim f x được phát biểu tương 
x x0 x x0 x x0 x x0
tự như các định nghĩa ở phần giới hạn hữu hạn.
Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực.
Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng 
trong trường hợp x x0 hay x x0 .
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VẤN ĐỀ 1: TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
a). Để tìm lim f x ta làm như sau:
 x x0
 Xét dãy số xn bất kỳ thuộc tập xác định D với xn x0 mà lim xn x0
 Tìm lim f xn :
 Nếu ta có lim f xn L thì lim f x L .
 x x0
 Nếu ta có lim f xn thì lim f x .
 x x0
b). Để tìm lim f x hoặc lim f x ta làm như sau :
 x x 
 Xét dãy số xn bất kỳ thuộc tập xác định mà lim xn .
 Tìm lim f xn :
 Nếu ta có lim f xn L thì lim f x L .
 x 
 Nếu ta có lim f xn thì lim f x .
 x 
Hoàn toàn tương tự khi tính lim f x .
 x 
c). Để chứng minh hàm số f x không có giới hạn khi x x0 ta thường làm 
như sau :
Chọn hai dãy số un và vn cùng thuộc tập xác định của hàm số sao cho 
un x0 ,vn x0 và có lim un lim vn x0 .
Chứng minh lim f un lim f vn hoặc một trong hai giới hạn này không tồn 
tại.
Khi đó theo định nghĩa ta suy ra hàm số không có giới hạn khi x x0 .
Đối với các trường hợp x x0 ,x x0 ,x ,x ta cũng làm tương tự.
 0
CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Dạng này thường gặp khi x x ). 
 0 0
 P x 
DẠNG 1: Hàm số f x trong đó P x ,Q x là đa thức theo biến x. 
 Q x 
PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức 
làm cả tử và mẫu bằng 0.
Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau:
 Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
 2
 Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng ax bx c a x x1 x x2 , a 0 với 
 2
x1 ,x2 là nghiệm của phương trình ax bx c 0 . Sử dụng phương pháp Hoocner . Phép chia đa thức 
 4 3 2
P x ax bx cx dx e cho (x x0 ) theo sơ đồ Hoocner như sau:
 a b c d e
 2 3 2
 a d ax bx cx d 0 
x0 b1 ax0 b c1 ax0 bx0 c 1 0 0 0
Hàng thứ nhất điền hệ số của đa thức P x từ ô thứ hai đến ô cuối cùng. Ở 
hàng thứ hai ô đầu tiên điền giá trị x0 là một nghiệm của P x , ô thứ hai 
 2
viết lại a, lấy x0 .a b đặt vào ô thứ ba, lấy x0 x0a b c ax0 bx0 c điền 
 2 3 2 
váo ô thứ tư, lấy x0 ax0 bx0 c d ax0 bx0 cx0 d điền vào ô thứ năm, 
 3 2 
lấy x0 ax0 bx0 cx0 d e 0 (bắt buộc tổng này phải bằng 0, thì đây mới 
là phép chia hết). Khi đó P x được viết lại 
 3 2 
P x x x0 ax b1x c1x d1 
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
 x3 8 2x3 5x2 2x 3
a). lim b). L lim c). 
 x 2 x2 11x 18 x 3 4x3 13x2 4x 3
 2x3 5x2 4x 1
lim 
x 1 x3 x2 x 1
 1 12 1 x3
d). lim e). lim f). 
 x 2 x 2 x3 8 x 1 x4 4x2 3
 1 1 
lim 
x 2 x2 3x 2 x2 5x 6 
 LỜI GIẢI
a).Ta có x3 8 x3 23 x 2 x2 2x 4 (áp dụng hằng đẳng thức), và 
 2
x 11x 18 x 2 x 9 (với x1 2 và x2 9 là hai nghiệm của phương 
trình x2 11x 18 0 ). 
 2
 x3 8 x 2 x 2x 4 x2 2x 4 12
Do đó lim lim lim .
 x 2 x2 11x 18 x 2 x 2 x 9 x 2 x 9 7
 2x3 5x2 2x 3
b). L lim
 x 3 4x3 13x2 4x 3
Thay x 3 vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên x 3 là một nghiệm của 
hai đa thức cả mẫu và tử. Có nghĩa (x 3) là nhân tử chung, ta phân tích đa 
thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp Hoocner. Cách làm như 
sau: Phân tích tử số: 2x3 5x2 2x 3 x 3 2x2 x 1 
Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần 
vào các ô ở hàng đầu tiên với ô thứ nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá 
trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá trị ở ô thứ hai 
của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy 
3.2 ( 5) 1 điền chữ số 1 vào ô thứ ba, lấy 3.1 ( 2) 1 điền chữ số 1 vào ô 
thứ tư, cuối cùng lấy 3.1 ( 3) 0 điền vào ô cuối cùng.
 2 -5 -2 -3
3 2 1 1 0
Phân tích mẫu số: 4x3 13x2 4x 3 x 3 4x2 x 1 
 4 -13 4 -3
3 4 -1 1 0
 2
 x 3 2x x 1 2x2 x 1 11
Do đó L lim lim .
 x 3 x 3 4x2 x 1 x 3 4x2 x 1 17
 2x3 5x2 4x 1
c). L lim . Ta thấy lim 2x3 5x2 4x 1 0 và 
 x 1 x3 x2 x 1 x 1
 0
lim x3 x2 x 1 0 như vậy đây là dạng giới hạn vô định ta phải phân 
x 1 0
tích cả tử và mẫu thành nhân tử để khử vô định. Phân tích nhân tử bằng 
phương pháp Hoocner
Phân tích tử số: 2x3 5x2 4x 1 x 1 2x2 3x 1 
 2 5 4 1 
 1 2 3 1 0 
Phân tích mẫu số: x3 x2 x 1 x 1 x2 0x 1 x 1 x2 1 
 1 1 1 1 
 1 1 0 1 0 
 2
 x 1 2x 3x 1 2x2 3x 1
Từ đó L lim lim , ta thấy 
 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1
 0
lim 2x2 3x 1 0 và lim x2 1 0 ta vẫn còn dạng vô định nên phân 
x 1 x 1 0
tích thành nhân tử tiếp, ta làm như sau: 
 2x2 3x 1 x 1 2x 1 2x 1 1
L lim lim lim .
 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử 
 1 12 
thành nhân tử và rút gọn hạng tử vô định L lim 
 x 2 x 2 x3 8 
 1 12 x2 2x 8
 lim lim 
 2 2
 x 2 x 2 (x 2)(x 2x 4) x 2 (x 2)(x 2x 4)
 (x 2)(x 4) x 4 1
 lim lim .
 x 2 (x 2)(x2 2x 4) x 2 x2 2x 4 2
 1 x3
e). L lim . Phân tích tử số 1 x3 1 x 1 x x2 . Phân tích 
 x 1 x4 4x2 3
mẫu số x4 4x2 3 x4 0x3 4x2 0x2 3 bằng Hoocner:
 1 0 4 0 3 
1 1 1 3 3 0 
Do đó x4 4x2 3 x 1 x3 x2 3x 3 
 2 2
 1 x 1 x x 1 x x 3
Từ đó L lim lim .
 x 1 x 1 x3 x2 3x 3 x 1 x3 x2 3x 3 4
 1 1 1 1 
 f). L lim lim 
 2 2 
 x 2 x 3x 2 x 5x 6 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 
 2 x 2 2
 lim lim 2 .
 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 
 P x 
DẠNG 2: Hàm số f x trong đó P x ,Q x là các biểu thức có 
 Q x 
chứa căn thức theo biến x. 
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Nhân lượng liên hợp.
 a2 b2
 a b 
 2 2 
 a b a b a b a b 
 a2 b2
 a b 
 a b
 a3 b3 a3 b3
 a b a b .
 a2 ab b2 a2 ab b2
 2 
 3 3 3 2
 a b a a.b b 3
 a b
 3 a b .
 2 2
 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2 2 
 3 3 3 2
 a b a a.b b 3
 a b
 3 a b 
 2 2
 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2
 2 
 3 2 3 3
 a b a a. b b 3
 a b
 a 3 b 
 2 2
 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 
 2 
 3 2 3 3
 a b a a. b b 3
 a b
 a 3 b 
 2 2
 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 
 2 2
 3 3 3 3 3 3 
 a b a a. b b 
 a b
 3 a 3 b .
 2 2 2 2
 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 
 2 2
 3 3 3 3 3 3 
 a b a a. b b 
 a b
 3 a 3 b 
 2 2 2 2
 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 
Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn hạng tử chung của 
cả tử và mẫu.
 Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau :
 x 3 2 2 x 3
a). lim b). lim c). 
 x 1 x 1 x 7 x2 49
 x2 2x 6 x2 2x 6
lim 
x 3 x2 4x 3
 2
d). x 2 2 e). x x 2 1 x f). x 2 2x . 
 lim lim 4 lim
 x 2 x 7 3 x 1 x x x 2 x 1 3 x
 4x 5 3x 6 x 1 3x 5
g). lim h). lim
 x 1 x 3 2 x 3 2x 3 x 6
 LỜI GIẢI
a). 
 x 3 2 x 3 22 x 1 1 1
lim lim lim lim .
x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 3 2 4 2 x 3 22 (x 3) 7 x
b). 
 lim 2 lim lim
 x 7 x 49 x 7 x2 49 2 x 3 x 7 x 7 x 7 2 x 3 
 1 1
 lim .
 x 7 x 7 2 x 3 56
 2 2
 x2 2x 6 x2 2x 6 x 2x 6 x 2x 6 
c). lim lim
 2 
 x 3 x 4x 3 x 3 x2 4x 3 x2 2x 6 x2 2x 6 
 4 x 3 4 1
 lim lim 
 x 3 x 1 x 3 x2 2x 6 x2 2x 6 x 3 x 1 x2 2x 6 x2 2x 6 3
.
 2
 x 2 2 x 2 2 x 7 3 x 2 x 7 3 
d). lim lim lim 
 x 2 x 7 3 x 2 x 7 32 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 
 x 7 3 3
 lim .
 x 2 x 2 2 2
 2
 x2 x 2 1 x x x 2 1 x 
e). lim lim 
 4 
 x 1 x x x 1 x4 x x2 x 2 1 x 
 2
 x2 2x 1 x 1 
 lim lim 
 x 1 x x3 1 x2 x 2 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x 
 x 1
 lim 0 .
 x 1 x x2 x 1 x2 x 2 1 x 
 x 2 2x x 2 2x x 1 3 x 
f). lim lim
 x 2 x 1 3 x x 2 x 1 3 x x 2 2x 
 x 2 x 1 3 x x 1 3 x 1
 lim lim . 
 x 2 2 x 2 x 2 2x x 2 2 x 2 2x 4
 4x 5 3x 6 4x 5 3x 6 x 3 2 
g). lim lim 
 x 1 x 3 2 x 1 x 3 4 4x 5 3x 6 
 x 1 x 3 2 x 3 2 2
 lim lim 
 x 1 x 1 4x 5 3x 6 x 1 4x 5 3x 6 3 h). 
 x 1 3x 5 2 x 3 2x 3 x 6 2 2x 3 x 6 
 lim lim lim 3
 x 3 2x 3 x 6 x 3 x 3 x 1 3x 5 x 3 x 1 3x 5 
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau :
 3 4x 2 3 10 2x3 x 1 x3 27
a). lim b). lim c). lim 
 2
 x 2 x 2 x 1 x 3x 2 x 3 x 1 3 4x2 28
 3 x 1 3 2x 1 3 x 4 4x 3 1
d). lim e). lim f). lim .
 x 1 3 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 LỜI GIẢI
a). Ta có 
 2
 3 3 3 3
 4x 2 4x 2. 4x 4 3 4x 23
 4x 8 2 x 2 
 3 4x 2 .
 2 A A A
 3 4x 2.3 4x 4
  
 A
 3 4x 2 2 x 2 2 2 1
Do đó lim lim lim .
 2
 x 2 x 2 x 2 x 2 .A x 2 A 3 3 6
 4.2 2. 4.2 4
b). Ta có 3 10 2x3 x 1 
 2
 2 
 3 3 3 3 3 3 
 10 2x x 1 10 2x 10 2x . x 1 x 1 
 2
 3 3 3 3 2
 10 2x 10 2x . x 1 x 1 
  
 A
 3
 3 3 3
 10 2x x 1 2
 3x3 3x2 3x 9 3 x 1 x 2x 3 
 A A A
 Và có x2 3x 2 x 1 x 2 
 2
 3 10 2x3 x 1 3 x 1 x 2x 3 
Do đó lim lim 
 x 1 x2 3x 2 x 1 x 1 x 2 .A
 2
 3 x 2x 3 3.6 3
 lim .
 x 1 x 2 .A 12 2