Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 3: Hàm số liên tục (Có đáp án)

 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.
 + Nắm được các định lí cơ bản về hàm số liên tục
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một 
 đoạn
 + Nắm vững phương pháp giải dạng bài toán tìm tham số để hàm số liên tục 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián 
Định nghĩa 1
 đoạn tại điểm x0 .
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và 
x0 K . Hàm số y f x được gọi là liên tục tại 
x0 nếu lim f x f x0 .
 x x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một 
đoạn
Định nghĩa 2 Hàm số liên tục trên khoảng a; b 
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một 
khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên đoạn 
a; b nếu nó liên tục trên khoảng a; b và 
lim f x f a , lim f x f b .
x a x b 
 Hàm số không liên tục trên khoảng a; b 
 Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một 
 khoảng là một “đường liên” trên khoảng đó
3. Một số định lí cơ bản
Định lí 1
a) Hàm đa thức liên tục trên ¡
b) Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên 
tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lí 2
Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên 
tục tại điểm x0 .
Khi đó
a) Các hàm số y f x g x , y f x g x 
và y f x .g x liên tục tại x0 ;
 f x 
b) Hàm số liên tục tại x nếu g x 0
 g x 0 0
Định lí 3
 Trang 2 Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn 
a; b. f a f b thì với mỗi số thực M nằm 
giữa f a và f b , tồn tại ít nhất một điểm 
c a; b sao cho f c M
Hệ quả
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b và 
f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm 
c a; b sao cho f c 0
Nói cách khác: Nếu hàm số y f x liên tục trên 
đoạn a; b và f a . f b 0 thì phương trình 
f x 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng 
 a; b .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập
 Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa hàm số y f x xác định Ví dụ. Cho hàm số
 x3 27
trên khoảng K và x0 K .
 2 , khi x 3
 x x 6
 f x 
Hàm số liên tục tại x0 nếu lim f x f x0 27
 x x0 , khi x 3
 5
 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 3
 Hướng dẫn giải
 Hàm số xác định trên ¡
Bước 1. Tìm giới hạn của hàm số lim f x và 
 x x0 27
 Ta có f 3 và
 5
f x0 
 2
 x3 27 x 3 x 3x 9 
 lim f x lim lim
 x 3 x 3 x2 x 6 x 3 x 3 x 2 
 x2 3x 9 27
 lim 
 x 3 x 2 5
Bước 2. Nếu tồn tại lim f x thì ta so sánh Ta thấy lim f x f 3 nên hàm số liên tục tại 
 x 3
 x x0
 x 3
lim f x với f x0 .
x x0
 Trang 3 Hàm số liên tục trên một tập ta sử dụng định nghĩa 
2 và các định lí.
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số 
phải xác định tại điểm đó
2. lim f x k lim f x lim f x k
 x x0 x x0 x x0
 f x , khi x x0
3. Hàm số y liên tục tại 
 g x , khi x x0
x x0 lim f x g x0 
 x x0
 f x , khi x x0
4. Hàm số f x liên tục tại 
 g x , khi x x0
điểm x x0 khi và chỉ khi 
lim f x lim g x f x
 0 
x x0 x x0
 Ví dụ mẫu
 x 3
 khi x 3
Ví dụ 1. Cho hàm số f x 2x 3 3 . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 3
 2
 x 1 khi x 3
Hướng dẫn giải
Ta có lim f x lim x 1 2 4
 x 3 x 3 
 x 3 2x 3 3
lim lim lim 3
x 3 x 3 2x 3 3 x 3 2
Do đó lim f x lim f x 
 x 3 x 3 
Vậy hàm số gián đoạn tại x 3
 3 4x 2
 , khi x 2
Ví dụ 2. Cho hàm số f x x 2 . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x 2
 a , khi x 2
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên ¡
 Trang 4 3 4x 2 4 1
Ta có f 2 a và lim f x lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2 3 4x 2 2 3 4x 4 3
 1
Vậy để hàm số liên tục tại điểm x 2 thì lim f x f 2 a 
 x 2 3
 x4 5x2 4
 khi x 1
Ví dụ 3. Cho hàm số f x x3 1
 2 2
 m x 2mx 5 khi x 1
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x 1
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên ¡
 2
 x4 5x2 4 x 1 x 4 
Ta có: lim f x lim 3 lim 2 2
 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1
 lim f x lim m2 x2 2mx 5 m2 2m 5 f 1 
 x 1 x 1 
Hàm số liên tục tại x 1 khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 1 m2 2m 5 2 m 1 2
x 1 x 1 
 x2 1
 , khi x 1
Ví dụ 4. Cho hàm số f x x 1
 2, khi x 1
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên D ¡
 x2 1
Với x 1 thì f x x 1 là hàm số liên tục trên tập xác định.
 x 1
Do đó hàm số liên tục trên ; 1 và 1; 
 x2 1
Với x 1 ta có lim f x lim lim x 1 2
 x 1 x 1 x 1 x 1
Vì f 1 2 lim f x 
 x 1
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; ; hàm số không liên tục tại điểm x 1
 a2 x 2 
 khi x 2
Ví dụ 5. Cho hàm số f x x 2 2
 1 a x khi x 2
 Trang 5 Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định.
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên ¡
 a2 x 2 
Với x 2 ta có f x là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
 x 2 2
Do đó hàm số f x liên tục trên 2; 
Với x 2 ta có f x 1 a x là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f x liên tục trên 
 ; 2 
Với x 2 ta có lim f x lim 1 a x 2 1 a f 2 
 x 2 x 2 
 a2 x 2 
 lim f x lim lim a2 x 2 2 4a2
 x 2 x 2 x 2 2 x 2
Hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 2 , nên
 a 1
 2
lim f x lim f x 4a 2 1 a 1
x 2 x 2 a 
 2
 1
Vậy a 1; a là những giá trị cần tìm.
 2
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Hàm số có đồ thị như hình bên gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
 A. 0B. 1C. 2 D. 3
Câu 2: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.
 Trang 6 A. Hàm số liên tục trên ¡
 B. Hàm số liên tục trên ; 4 
 C. Hàm số liên tục trên 1; 
 D. Hàm số liên tục trên 1; 4 
 x2 1
Câu 3: Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây?
 x2 5x 6
 A. ; 3 B. 2; 2019 C. 3; 2 D. 3; 
 3x 2 khi x 1
Câu 4: Cho hàm số f x . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2
 x 1 khi x 1
 A. f x liên tục trên ¡
 B. f x liên tục trên ; 1
 C. f x liên tục trên  1; 
 D. f x liên tục tại x 1
 x 2a khi x 0
Câu 5: Giá trị của a để các hàm số f x liên tục tại bằng
 2 x 0
 x x 1 khi x 0
 1 1
 A. B. C. 0D. 1
 2 4
 2x 2 khi x 1
Câu 6: Cho hàm số y f x 2x a . Giá trị của a để hàm số liên tục tại x0 1 là
 2 khi x 1
 x 1
 A. 1B. 2C. 3 D. 4
 x 1 2 , x 1
 2
Câu 7: Cho hàm số f x x 3, x 1. Tìm k để f x gián đoạn tại x 1
 k 2 , x 1
 A. k 2 B. k 2 C. k 2 D. k 1
Câu 8: Cho hàm số f x x4 4 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I) f x liên tục tại x 2
 Trang 7 (II) f x gián đoạn tại x 2
(III) f x liên tục trên đoạn  2; 2
 A. Chỉ (I) và (III)B. Chỉ (I)
 C. Chỉ (II)D. Chỉ (II) và (III)
Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
(I) f x x5 3x2 1 liên tục trên ¡
 1
(II) f x liên tục trên 1; 1 
 x2 1
(III) f x x 2 liên tục trên 2; 
 A. Chỉ (I) và (III)B. Chỉ (I)
 C. Chỉ (II)D. Chỉ (II) và (III)
Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 x 1
(I) f x liên tục với mọi x 1
 x 1
(II) f x sin x liên tục trên ¡
 x
(III) f x liên tục tại x 1
 x
 A. Chỉ (I) đúngB. Chỉ (I) và (II)C. Chỉ (I) và (III) D. Chỉ (II) và (III)
 x
 cos khi x 1
Câu 11: Cho hàm số f x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhât?
 x 1 khi x 1
 A. Hàm số liên tục tại x 1 và x 1
 B. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại x 1
 C. Hàm số không liên tục tại x 1 và x 1
 D. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại x 1
 x2 3
 khi x 3
Câu 12: Cho hàm số f x x 3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 2 3 khi x 3
(I) f x liên tục tại x 3
(II) f x gián đoạn tại x 3
(III) f x liên tục trên ¡
 A. Chỉ (I) và (II)B. Chỉ (II) và (III)
 C. Chỉ (I) và (III)D. Cả (I), (II), (III) đều đúng
Câu 13: Hàm số nào sau đây không liên tục tại x 1
 Trang 8 x2 1
 khi x 1 x2 2 khi x 1
 A. f x x 1 B. f x 
 2 3x khi x 1
 3x 1 khi x 1
 2x2 x 1 1
 khi x 1 khi x 1
 C. f x x 1 D. f x x
 2x 1 khi x 1 2x 3 khi x 1
Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số 
 ax 1 1
 , khi x 0
f x x liên tục tại x 0
 2
 4x 5b, khi x 0
 A. a 5b B. a 10b C. a b D. a 2b
 2x 4 3 khi x 2
Câu 15: Cho hàm số f x x 1
 khi x 2
 x2 2mx 3m 2
Tìm các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên ¡
 A. m 3 B. m 4 C. m 5 D. m 6
 x2 , x 1
 2x3
Câu 16: Cho hàm số f x , 0 x 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
 1 x
 xsin x, x 0
 A. f x liên tục trên ¡ B. f x liên tục trên ¡ \ 0
 C. f x liên tục trên ¡ \ 1 D. f x liên tục trên ¡ \ 0; 1
 2x 1 1
 , khi x 0
Câu 17: Giá trị a để các hàm số f x x x 1 liên tục tại điểm x 0 là
 a, khi x 0
 A. 1B. 2C. 3 D. 4
 3 2x 6 2
 f x , khi x 1
Câu 18: Giá trị của a để các hàm số f x 3x 1 2 liên tục tại điểm x 1 là
 a, khi x 1
 2 1
 A. 1B. 2C. D. 
 9 9
 4x 1 1
 , khi x 0
Câu 19: Giá trị của a để hàm số f x ax2 2a 1 x liên tục tại điểm x 0 là
 3, khi x 0
 1 1 1
 A. B. C. D. 1
 2 4 6
 Trang 9 3x 1 2
 , khi x 1
 x2 1
Câu 20: Cho hàm số f x liên tục tại điểm x 1 là
 2
 a x 2 
 , khi x 1
 x 3
 1 1 3
 A. B. C. 1D. 
 2 4 4
 x 4 2
 , khi x 0
 x
Câu 21: Cho hàm số f x m là tham số
 1
 mx2 2x , khi x 0
 4
Tìm m để hàm số liên tục tại x 0
 1 1
 A. m B. m 0 C. m 1 D. m 
 2 2
 3 4x 2
 , khi x 2
Câu 22: Cho hàm số f x x 2 . Tìm a để hàm số liên tục trên ¡
 ax 3, khi x 2
 1 4 4
 A. a 1 B. a C. a D. a 
 6 3 3
 3 9 x
 , 0 x 9
 x
Câu 23: Cho hàm số f x m, x 0 . Giá trị của m để f x liên tục trên 0; là
 3
 , x 9
 x
 1 1 1
 A. B. C. D. 1
 3 2 6
 sin x, khi x 
 2
Câu 24: Cho hàm số f x . Tìm giá trị của a, b để hàm số liên tục trên ¡
 ax b, khi x 
 2
 2 2 1 2
 a a a a 
 A. B. C. D. 
 b 1 b 2 b 0 b 0
 x2 1
 khi x 3; x 2
Câu 25: Cho hàm số f x x3 x 6 . Giá trị của b để f x liên tục tại x 3 
 b 3 khi x 3; b ¡
là
 2 3 2 3
 A. 3 B. 3 C. D. 
 3 3
 Trang 10