Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 2: Giới hạn hàm số (Có đáp án)

 CHƯƠNG 4
 BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.
 + Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số. 
 ❖ Kĩ năng
 + Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm. 
 + Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số. 
 + Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm
Định nghĩa 1 Các giới hạn đặc biệt
Cho khoảng a;b và một điểm x0 . Hàm số y f x +) lim C C , với C là hằng số bất kỳ.
 x x0
xác định trên a;b hoặc trên a;b \ x0 . Ta nói rằng +) f x là hàm số quen thuộc (đa thức, phân 
hàm số f x có giới hạn là số thực L khi x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên a;b 
x (hoặc tại điểm x ) nếu với mọi dãy số x trong 
 0 0 n chứa x0 thì lim f x f x0 .
 x x0
tập hợp a;b \ x0 mà lim xn x0 ta đều có 
lim f xn L .
Khi đó ta viết lim f x L hay f x L khi 
 x x0
x x0 .
2. Giới hạn vô cực
Ta nói hàm số y f x có giới hạn dương vô cực khi 
x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn sao cho xn x0 
thì f xn . Kí hiệu lim f x .
 x x0
Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực 
lim f x .
x x0
3. Giới hạn hàm số tại vô cực
 Các giới hạn đặc biệt
Định nghĩa 2
 Trang 1 Giả sử hàm số y f x xác định trên khoảng C
  lim C C; lim 0 với C là hằng số.
 x x x
 a; . Ta nói rằng hàm số f x có giới hạn là số 
  lim xk với k nguyên dương; 
 x 
thực L khi x nếu với mọi dãy số xn : xn a 
 lim xk với k là số nguyên dương lẻ, 
 x 
và xn thì f xn L .
 lim xk với k nguyên dương chẵn.
Kí hiệu: lim f x L . x 
 x 
Các giới hạn lim f x L .
 x 
Các giới hạn lim f x ; lim f x và 
 x x 
lim f x L được định nghĩa tương tự.
x 
4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
Giả sử lim f x L, lim g x M . Khi đó
 x x0 x x0
a) lim f x g x L M .
 x x0
b) lim f x .g x L.M .
 x x0
 f x L
c) lim M 0 .
 x x0 g x M
d) lim f x L .
 x x0
e) Nếu f x 0, lim f x L thì lim f x L .
 x x0 x x0
f) lim 3 f x 3 L .
 x x0
g) Nếu c là một hằng số thì lim cf x cL .
 x x0
Quy tắc 1
Cho lim f x ; lim g x L 0 . Ta có:
 x x0 x x0
 lim f x Dấu của L lim f x .g x 
 x x0 x x0
 + 
Quy tắc 2
 Trang 2 Cho lim f x L; lim g x 0; L 0 . Ta có:
 x x0 x x0
 f x 
 Dấu của L Dấu của g x lim 
 x x0 g x 
 + 
 + 
 Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng 
 x0 ;b , x0 ¡ . Ta nói rằng hàm số f x có giới 
hạn bên phải là số thực L khi x cần đến x0 (hoặc tại 
điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn thuộc khoảng 
 x0 ;b mà lim xn x0 ta đều có lim f xn L .
Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi 
 x x0
x x0 .
Định nghĩa 2 Chú ý:
Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng a) lim f x L lim f x lim f x L .
 x x0 x x0 x x0
 a; x0 , x0 ¡ . Ta nói rằng hàm số f x có giới b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng 
hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại khi thay x x0 bởi x x0 hoặc x x0 .
điểm x0 ) nếu với mọi dãy xn thuộc khoảng a; x0 
mà lim xn x0 ta đều có lim f xn L .
Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi 
 x x0
x x0 .
2. Giới hạn vô cực
a) Các định nghĩa lim f x , lim f x ,
 x x0 x x0
lim f x và lim f x được phát biểu 
x x0 x x0
tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi hoặc 
 . 
 Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng cách thay trực tiếp
 Phương pháp giải
 2
Nếu f x là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì Ví dụ: Giới hạn lim x 2x 4 có giá trị là bao 
 x 1 
lim f x f x0 . nhiêu?
x x0
 Hướng dẫn giải
 Do hàm số f x x2 2x 4 xác định tại điểm 
 x0 1, nên giới hạn này bằng f 1 .
 lim x2 2x 4 7 .
 x 1 
 Ví dụ mẫu
 x2 3x 5
Ví dụ 1: Giới hạn lim có giá trị là bao nhiêu?
 x 2 3x 1
Hướng dẫn giải
 x2 3x 5 7
Cách 1: lim .
 x 2 3x 1 5
 x2 3x 5
Cách 2: Nhập máy tính như sau , bấm CACL, nhập giá trị của 
 3x 1
x 2 và ta sẽ nhận được đáp án.
 2 tan x 1
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số B lim .
 x sin x 1
 6
Hướng dẫn giải
 2 tan 1
 2 tan x 1 4 3 6
Ta có B lim 6 .
 x sin x 1 9
 6 sin 1
 6
 2 f x 1
Ví dụ 3: Cho lim f x 3 . Tìm giới hạn A lim .
 x 2 x 2 f 2 x 1
Hướng dẫn giải
 2 f x 1 2.3 1 7
Ta có A lim .
 x 2 f 2 x 1 32 1 10
 x3 4x
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn lim .
 x 2 2x 1 x3 2 
 Trang 4 Hướng dẫn giải
 x3 4x 23 4.2
Ta có lim 0 .
 x 2 2x 1 x3 2 2.2 1 23 2 
Ví dụ 5: Tìm giá trị của tham số m để B 2 với 
B lim x3 2x 2m2 5m 5 .
 x 1 
Hướng dẫn giải
Ta có B lim x3 2x 2m2 5m 5 2m2 5m 4 .
 x 1 
 1
Do B 2 2m2 5m 2 0 m 2 .
 2
 Bài tập tự luyện dạng 1
 x 1
Câu 1: Giá trị của lim là
 x 1 2 x2 x 1 
 1
 A. B. 0C. D. 
 2
 1
Câu 2: Giá trị của lim 3 là
 x 1 2x2 3x 2 
 1 1
 A. 0B. 1C. D. 
 2 8
 x3 2x2 1
Câu 3: Giá trị của giới hạn lim bằng
 x 1 3 2x5 1
 1 1
 A. 2 B. C. D. 2
 2 2
Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x2. cos x 3 
 x 0
 A. Không tồn tại.B. 0C. 1 D. 
 3x m
Câu 5: Cho A lim . Để A 5, giá trị của m là bao nhiêu?
 x 2 x 2
 10
 A. 14B. 4C. 3 D. 
 3
 x2 1
Câu 6: Cho hàm số f x . Giá trị của lim f x là
 2x4 x2 3 x 2
 1 5
 A. B. không xác định.C. D. 
 2 33
 sin 3x 1
Câu 7: Kết quả đúng của lim là
 x cot 2x 3
 4
 2 2 2 2
 A. B. C. D. không xác định.
 6 6
 Trang 5 x3 x2
Câu 8: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 
 x 1 x 1 1 x
 A. 1 B. 1C. 0D. 
Câu 9: Nếu lim f x 5 thì lim 13 4 f x bằng bao nhiêu?
 x 2 x 2 
 A. 17 B. 1 C. 9 D. 7 
 x2 x 2 4 3 2x3 5x 1 a a
Câu 10: Cho lim ( là phân số tối giản; a, b là số nguyên dương). 
 x 1 2 
 x 2 b b
Tính tổng L a2 b2 .
 A. 6B. 36C. 7 D. 37
 2x 1 3x 5 1 
Câu 11: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 2; x . Giá trị của lim f x là
 x 2 2x 1 2 x 
 4 1 3 2
 A. B. C. D. 
 3 5 2 3
 f x 1 x2 x f x 2
Câu 12: Cho lim 1, tính I lim .
 x 1 x 1 x 1 x 4
 4 4
 A. I B. I C. I 4 D. I 5 
 5 5
 0
Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 
 0
 0
Đây là dạng toán vô cùng quan trọng về tìm giới hạn của hàm số. Việc tìm giới hạn dạng vô định là bài 
 0
 P x 
toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỉ L lim trong đó Q x0 0 và P x0 0 .
 x x0 Q x 
 Phương pháp giải
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. x2 2x 1
 Ví dụ: Tính giới hạn lim .
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử x 1 2x 2
và mẫu đưa về dạng 1. Hướng dẫn giải
Chú ý: 0
 Ta thấy khi thay x 1 thì bài toán có dạng , 
 0 0
 Nếu tam thức bậc hai ax2 bx c có hai nghiệm 
 2 như vậy ta nhóm nhân tử chung x 1 của cả tử và 
x1, x2 thì ax bx c a x x1 x x2 .
 mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để 
 an bn a b an 1 an 2b ... abn 2 bn 1 .
 tìm kết quả.
Trường hợp 1. 2
 x2 2x 1 x 1 
 P x Cách 1: lim lim
 x 1 2x 2 x 1 2 x 1
L lim với P x0 Q x0 0 và P x , 
 x x0 Q x 
 Trang 6 Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc. x 1
 lim 0 .
 x 1 2
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử 
 x2 2x 1
và mẫu đưa về dạng 1. Cách 2: Bấm máy tính như sau: CACL
 2x 2
 x 1 10 9 và nhận được đáp án.
 Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal 
Chú ý: Ta có thể MTCT để tìm các giới hạn
 x2 2x 1
1. Sử dụng MTCT với chức năng của phím CALC. 570ES Plus: lim
 2x 2 9
2. Dùng chức lim của máy Vinacal 570ES Plus. x 1 10
 3 4x 1 x 2
Trường hợp 2. Ví dụ: Tìm giới hạn L lim .
 x 7 4 2x 2 2
 P x 
L lim với P x0 Q x0 0 và P x là 
 x x0 Q x Hướng dẫn giải
 3 4x 1 x 2
biểu thức chứa căn không đồng bậc. L lim
 x 7 4 2x 2 2
Giả sử: P x m u x n v x với 
 3 4x 1 3 x 2 3 
m n lim lim A B .
 u x v x a . x 7 4 4 x 7
 0 0 2x 2 2 2x 2 2 
Ta phân tích P x m u x a a n v x . Ta có
 3 4x 1 3
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách đặt ẩn phụ A 
 4 2x 2 2
với những bài toán căn bậc cao.
 2
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên 2 4 2x 2 2 4 2x 2 4
 64
 .
không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: 2
 3 4x 1 33 4x 1 9 27
n u x m v x 
 x 2 3
 B 
 n u x m x m v x m x 4 2x 2 2
 2
trong đó m x c . 4 2x 2 2 4 2x 2 4
 8
 .
 2 x 2 3 3
 64 8 8
 L lim A B .
 x 7 27 3 27
 Ví dụ mẫu
 x3 3x2 2
Ví dụ 1: Tìm giới hạn A lim .
 x 1 x2 4x 3
Hướng dẫn giải
 2
 x3 3x2 2 x 1 x 2x 2 x2 2x 2 3
Ta có A lim lim lim 
 x 1 x2 4x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 2
 Trang 7 x4 5x2 4
Ví dụ 2: Tìm giới hạn B lim .
 x 2 x3 8
Hướng dẫn giải
 2 2
 x4 5x2 4 x 1 x 4 
Ta có B lim lim
 x 2 x3 8 x 2 x3 23
 x2 1 x 2 x 2 x2 1 x 2 
 lim lim 1.
 x 2 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4
 1 5x 3 1 6x 4
Ví dụ 3: Tìm giới hạn C lim .
 x 0 x
Hướng dẫn giải
 1 5x 3 1 6x 4
Ta có C lim
 x 0 x
 1 5x 3 1 1 6x 4 1
 lim lim
 x 0 x x 0 x
 5x 1 5x 2 1 5x 1 12x 3x 1 1 6x 2 1 
 lim lim 
 x 0 x x 0 x
 lim5 1 5x 2 1 5x 1 lim12 3x 1 1 6x 2 1 39 .
 x 0 x 0 
 1 x 1 2x 1 3x 1
Ví dụ 4: Tìm giới hạn D lim .
 x 0 x
Hướng dẫn giải
 1 x 1 2x 1 3x 1 6x3 11x2 6x
Ta có D lim lim 6.
 x 0 x x 0 x
 n
 x 1 *
Ví dụ 5: Tìm giới hạn A lim m m,n ¥ .
 x 1 x 1
Hướng dẫn giải
Ta có 
 n 1 n 2
 x 1 x x ... x 1 xn 1 xn 2 ... x 1 n
A lim lim .
 x 1 x 1 xm 1 xm 2 ... x 1 x 1 xm 1 xm 2 ... x 1 m
Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. 
Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa 
thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ 
tùy bài cụ thể:
 2 3x 1 1 
Ví dụ 6: Tìm giới hạn I lim .
 x 0 x
 Trang 8 A. 6B. 3C. 6 D. 0
Hướng dẫn giải
 2 3x 1 1 6x 6
Ta có I lim lim lim 3 .
 x 0 x x 0 3x 1 1 x 0 3x 1 1
 x2 3x
Ví dụ 7: Tìm giới hạn K lim .
 x 0 4x 1 1
Hướng dẫn giải
 x 3 4x 1 1 3
Ta có K lim .
 x 0 4 2
 3x 1 4
Ví dụ 8: Giới hạn lim có giá trị bằng bao nhiêu?
 x 5 3 x 4
Hướng dẫn giải
 3x 1 4 3x 1 16 3 x 4 
Ta có lim lim
 x 5 x 5
 3 x 4 9 x 4 3x 1 4 
 3 3 x 4 18 9
 lim .
 x 5 3x 1 4 8 4
 3 x 1 1
Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim .
 x 2 x 2
Hướng dẫn giải
 3 x 1 1 x 2
Ta có lim lim
 x 2 x 5
 x 2 x 2 3 x 1 2 3 x 1 1 
 1 1
 lim .
 x 5 3 x 1 2 3 x 1 1 3
 Bằng phương pháp tương tự ta làm một số các bài toán mở rộng sau đây
 1 4x 3 1 6x
Ví dụ 10: Tìm giới hạn M lim .
 x 0 x2
Hướng dẫn giải
 4x 1 2x 1 3 1 6x 2x 1 
Ta có M lim lim
 x 0 x2 x 0 x2
 4 8x 12
 lim lim
 x 0 4x 1 2x 1 x 0 3 1 6x 2 2x 1 3 1 6x 2x 1 2
 2 4 2 .
 Trang 9 1 ax2 bx 2
Ví dụ 11: Cho biết lim c , với c là một số nguyên và a,b ¡ . 
 1 3
 x 4x 3x 1
 2
Phương trình ax4 2bx2 c 1 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên ¡ ?
Hướng dẫn giải
Ta có 4x3 3x 1 2x 1 2 x 1 .
 2 1
Suy ra phương trình 1 ax2 bx 2 0 phải có nghiệm kép là x .
 2
 1
 a b2 x2 4bx 3 0 có nghiệm kép x 
 2
 2
 2 a b 0
 a b 0 
 2 2 2 4 2
 16b 4 a b .3 0 a b b a b 3 .
 3
 2 
 2
 2 1 1 4 1 1
 a b 4.b. 3 0 2 
 2 2 b . 4.b. 3 0
 3 2 2
Thử lại đúng. Vậy a b 3.
 3 2x 1 2
 1 3x2 3x 2 1 3x2 3x 2 
Khi đó lim lim
 1 3 1 2
 x 4x 3x 1 x 2x 1 x 1
 2 2 
 3
 lim 2 .
 1
 x 1 3x2 3x 2 x 1
 2 
Suy ra c 2 .
Vậy ta có phương trình 3x4 6x2 3 0 có nghiệm x 1.
 Sau đây chúng ta sẽ làm một số bài toán mang tính tổng quát
 n 1 ax 1
Ví dụ 12: Tìm giới hạn B lim n ¥ *,a 0 .
 x 0 x
Hướng dẫn giải
Cách 1: Nhân liên hợp
 n 1 ax 1 n 1 ax n 1 n 1 ax n 2 ... n 1 ax 1 
Ta có B lim
 x 0
 x n 1 ax n 1 n 1 ax n 2 ... n 1 ax 1 
 a a
B lim .
 x 0 n 1 ax n 1 n 1 ax n 2 ... n 1 ax 1 n
Cách 2: Đặt ẩn phụ
 Trang 10