Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 1: Giới hạn dãy số lý thuyết và phương pháp tìm giới hạn dãy số (Có lời giải)

 GIỚI HẠN DÃY SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI 
 HẠN DÃY SỐ
A). TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1). ĐỊNH NGHĨA:
ĐỊNH NGHĨA 1: Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương 
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở 
đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un 0 
 n 
hay lim un 0 hay un 0 khi n . Bằng cách sử dụng các kí hiệu 
toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau: 
lim un 0  0,n0 : n n0 un  .
Một số giới hạn đặc biệt:
a). Dãy số un có giới hạn là 0 dãy số un có giới hạn là 0.
b). lim 0 0 .
 1
c). lim 0, k 0 .
 nk
d). Nếu q 1 thì lim qn 0 .
ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói dãy số un có giới hạn là số thực a nếu 
lim un a 0 . Khi đó ta viết lim un a hay lim un a hay un a khi 
 n 
n . Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là dãy số có giới hạn hữu 
hạn. 
Nhận xét: 
a). lim un a un a nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn.
b). Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
Một số giới hạn đặc biệt:
a). lim c c (c là hằng số).
b). Nếu lim un a thì lim un a .
c). Nếu un 0, n thì a 0 và lim un a .
2). ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN : 
Định lí 1 : Với hai dãy số un và vn , nếu un vn , n và limvn 0 thì 
lim un 0 .
Định lí 2 : 
a). Giả sử lim un a và lim vn b và c là hằng số. Khi đó ta có :
 lim un vn a b 
 lim un vn a b lim un .vn a.b 
 u a
 lim n , b 0 
 vn b
 lim c.un c.a .
b). Cho ba dãy số un , vn và wn . Nếu un vn wn , n và 
lim un lim wn a, a ¡ thì lim vn a (gọi định lí kẹp).
c). Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
 3). TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Cho cấp số nhân un có công bội q và thỏa q 1. Khi đó tổng 
S u1 u2 u3  un  được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và 
 n
 u1 1 q u
S lim S lim 1 .
 n 1 q 1 q
4). GIỚI HẠN VÔ CỰC:
a). Dãy số có giới hạn : Dãy số un có giới hạn là khi và chỉ khi với 
mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng 
nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Ta viết lim un hoặc 
lim un hoặc un .
Ví dụ: lim n ,lim n ,lim 3 n ,lim n , 0 .
b). Dãy số có giới hạn : Dãy số un có giới hạn là khi và chỉ khi với 
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào 
đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Ta viết lim un hoặc lim un hoặc 
un .
Chú ý: 
 lim un lim un . 
 Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới 
hạn vô cực hay dần đến vô cực.
 1
 Nếu lim un thì lim 0 .
 un
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh dãy số có giới hạn là 0.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
Cách 2: Sử dụng các định lí sau: 1
 Nếu k là số thực dương thì lim 0 .
 nk
 Với hai dãy số un và vn , nếu un vn với mọi n và lim vn 0 thì 
lim un 0 .
 Nếu q 1 thì lim qn 0 .
Ví dụ: Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. 
 n n
 1 cos 4n 1 cos n3 1 1
a). un b). un c). un d). un 
 4n 5 n 3 2n 3 2n 1 3n 1
 LỜI GIẢI
a). Với mỗi số dương  tùy ý, cho trước, ta có 
 n
 1 1 1 1 1 
un  4n 5 n 5 . Suy ra với mỗi số dương 
 4n 5 4n 5  4  
 1 1 
cho trước, thì với mọi số tự nhiên n 5 ta đều có un  . Vậy 
 4  
lim un 0 .
 cos 4n 1 1 1
b). Ta có n ¥ * thì cos 4n 1 u .Áp dụng định 
 n n 3 n 3 n n
 1 1
lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim 0 ” ta được lim 0 . 
 nk n
Từ đó suy ra lim un 0 .
 1 cos n3 2 2 1
c). Ta có n ¥ * thì cos n3 1 u .Áp dụng 
 n 2n 3 2n 3 2n n
 1
định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim 0 ” ta được 
 nk
 1
lim 0 . Từ đó suy ra lim u 0 .
 n n
 n
 1 1 1 1 1 1 1
d). Ta có un ,n ¥ . Vì 
 2n 1 3n 1 2n 1 3n 1 2n 1 2n 1 2n
 n
 1 1 
lim lim 0 . Từ đó suy ra lim un 0 .
 2n 2 
VẤN ĐỀ 2: Dùng định nghĩa chứng minh dãy số un có giới hạn L.
PHƯƠNG PHÁP: Chứng minh lim un L 0 .
Ví dụ: Chứng minh: n n
 2n 3 1 4.3 5.2 2 2 
a). un b). lim c). lim n 2n n 1 .
 4n 5 2 6.3n 3.2n 3 
 LỜI GIẢI
 2n 3 1 2n 3 1 1 1
a). gọi u . n ¥ * ta có u . 
 n 4n 5 n 2 4n 5 2 8n 10 n
 1 1 1
Vì lim 0 nên lim un 0, suy ra lim un .
 n 2 2
 4.3n 5.2n 2 4.3n 5.2n 2
b). Gọi un . n ¥ * ta có un 
 6.3n 3.2n 3 6.3n 3.2n 3
 n
 12.3n 15.2n 12.3n 6.2n 7.2n 7.2n 7.2n 7 2 
  . 
 3(6.3n 3.2n ) 6.3n 3.2n 6.3n 3.2n 6.3n 6 3 
 n
 2 2 2
 Vì lim 0 nên lim un 0 . Do đó lim un .
 3 3 3
 2 2
c). Gọi u n 2n n . n ¥ * ta có u 1 n 2n (n 1) 
 n n
 2
 2 2 2 2
 n 2n (n 1) n 2n (n 1) n 2n (n 1)
 n2 2n (n 1) n2 2n (n 1)
 1 1 1 1
 . Vì lim 0 nên lim un 1 0 . 
 n2 2n (n 1) n2 2n (n 1) n n
Do đó lim un 1 .
 VẤN ĐỀ 3: Tìm giới hạn của dãy un có giới hạn hữu hạn:
 P n 
DẠNG 1: u là một phân thức hữu tỉ dạng u ( trong đó 
 n n Q n 
P n ,Q n là hai đa thức của n).
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa có số mũ lớn 
nhất của P n và Q n ( hoặc rút nk là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n 
và Q n ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết:
 2n2 3n 1 2n3 3n2 4 2n4 3n2 n
a). un b). un c). un 
 5n2 3 n4 4n3 n 2n 1 1 3n 2n2 1 2
 3
 1 1 2n 1 3 4n 2n n 1
d). u e). u f). u 
 n 2 2 n 3 2 n 2
 n 2n 2n 3 4n 2 2 n n 2 n 3
 LỜI GIẢI
a). Ta thấy n2 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của 
 2
 un cho n được:
 2n2 3n 1 3 1
 2 
 2n2 3n 1 2 n 2 3 1
 u n n . Ta có lim 0,lim 0 và 
 n 2 2 3 n 2
 5n 3 5n 3 5 n
 2
 n2 n
 3 2 0 0 2
 lim 0 nên lim un .
 n2 5 0 5
b). Dễ dàng thấy n4 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và 
 4
mẫu của un cho n được: 
 2n3 3n2 4 2 3 4
 2n3 3n2 4 4 n 2 4 2
 u n n n . Ta có lim 0, 
 n 4 3 4 3 4 1 n
 n 4n n n 4n n 1 
 3
 n4 n n
 3 4 4 1 0 0 0
 lim 0, lim 0 , lim 0 và lim 0 . Do đó lim un 0 .
 n2 n4 n n3 1 0 0
 2n4 3n2 n 3 1 
c). Có 2n4 3n2 n n4 n4 2 , 
 4 3 
 n n n 
 2n 1 1 1 3n 1 
 2n 1 n n 2 , 1 3n n n 3 và 
 n n n n 
 3 1 
 n4 2 
 2 3 
 2 2 2n 1 2 1 n n 
 2n 1 n n 2 . Từ đó u 
 2 2 n
 n n 1 1 2 1 
 n 2 n 3 n 2 
 n n n2 
 4 3 1 3 1
 n 2 2 
 n n3 n 3 3
 n . Vì lim 0 , 
 4 1 1 1 1 1 1 n
 n 2 3 2 2 3 2 
 n n n2 n n n2 
 1 1 1 2 0 0 1
 lim 0 , lim 0 và lim 0 . Nên lim un .
 n3 n n2 (2 0)(0 3)(2 0) 6
 1 1 n2 2n 3
d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu un . 
 n2 2n 2n2 3 n2 2n 2n2 3 n2 2n 3 2 3 
Ta có n2 2n 3 n2 n2 1 , 
 2 2 
 n n n 
 n2 2n 2 2n2 3 3 
 n2 2n n2 n2 1 và 2n2 3 n2 n2 2 . Từ đó 
 2 2 2 
 n n n n 
 2 2 3 2 3
 n 1 1 
 n n2 1 n 2 2 3
 u  n . Vì lim 0, lim 0, 
 n 2 2
 2 2 2 3 n 2 3 n n
 n 1 n 2 1 2 
 n n2 n n2 
 3 1 1 0 0
 lim 0 và lim 0 . Do đó lim un 0. 0 .
 n2 n2 (1 0)(2 0)
 2
 3 2 2
 2n 1 3 4n 2 2n 1 1 
e). u . Ta có 2n 1 n n2 2 , 3 4n3 
 n 3 2 
 4n 2 2 n n n 
 3 3 3
 3 4n 3 3 4n 2 2 
 n3 n3 4 , 4n 2 n n3 4 và 
 3 3 
 n n n n 
 2 2
 2 2 n 2 2 
 2 n n n 1 . 
 n n 
 2 2
 2 1 3 3 1 3 
 n 2 n 4 2 4 
 n n3 n n3 1
Từ đó u , mà lim 0, 
 n 3 2 3 2 n
 3 2 2 2 2 2 
 n 4 n 1 4 1 
 n n n n 
 2
 3 2 2 0 0 4 1
 lim 0 , lim 0 . Do đó lim u .
 3 n 3 2
 n n 4 0 0 2 16
 2 1
 2n n 1 
 2n n 1 2 n2 2 1
f). u n n . Mà lim 0, lim 0 , 
 n 2 2 2 3 2
 n 2 n 3 n 2 n 3 1 n n
 2
 n2 n n n
 2 3
 lim 0, lim 0 . 
 n n n2
 P n 
DẠNG 2: u là một phân thức hữu tỉ dạng u ( trong đó 
 n n Q n 
 P n ,Q n là các biểu thức chứa căn của n).
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết: 4n2 n 1 n 2n 1 n 3
a). un b). un 
 9n2 3n 4n 5
 4n2 1 3 8n3 2n2 3 n3 n 3 n3 3n
c). un d). un e). 
 16n2 4n 4 n4 1 4 16n4 1
 LỜI GIẢI
a). 
 4n2 n 1 
 n2 n 1 1 1 1
 2 2 n 4 n 4 1
 4n n 1 n n n n2 n n2
 un . 
 9n2 3n 9n2 3n 3 3
 n2 n 9 9 
 2 n n
 n 
 1 1 3 4 0 0 1 1
Vì có lim 0, lim 0, và lim 0 . Nên lim un .
 n n2 n 9 0 3
 2n 1 n 3 1 3
 n n n. 2 n. 1 
 2n 1 n 3 n n n n
b). un 
 4n 5 4n 5 5
 n n. 4 
 n n
 1 3
 2 1 
 1 3 5
 n n . Vì có lim 0, lim 0 và lim 0 . 
 5 n n n
 4 
 n
 2 0 1 0 2 1
Từ đó có lim un .
 4 0 2
 2 3 2 
 2 4n 1 3 8n 2n 3
 n 3 n 
 2 3 
 4n2 1 3 8n3 2n2 3 n n 
 c). Ta có un 
 2 4 4 2 4 
 16n 4n n 1 2 16n 4n 4 n 1
 n 4 n 
 2 4 
 n n 
 1 2 3 1 2 3
 n. 4 n.3 8 4 3 8 
 n2 n n3 n2 n n3 1
 . Vì có lim 0, 
 4 1 4 1 n2
 n. 16 n. 1 16 1 
 n n4 n n4
 2 3 4 1
 lim 0, lim 0, lim 0 và lim 0 . Từ đó suy ra 
 n n3 n n4
 4 0 3 8 0 0 4
 lim un .
 16 0 1 0 5 2 3 
 2 n n 3 n 3n
 n 3 n 
 2 3 
 n2 n 3 n3 3n n n 
d). Ta có un 
 4 4 4 
 16n 1 4 16n 1
 4 n 
 4 
 n 
 1 3 1 3
 n. 1 n.3 1 1 3 1 
 n n2 n n2 1 3
 . Vì có lim 0, lim 0, và 
 1 1 n n2
 n.4 16 4 16 
 n4 n4
 1 1 0 3 1 0 1
 lim 0 . Nên lim un .
 n4 4 16 0 2
 P n 
DẠNG 3: u là một phân thức hữu tỉ dạng u ( trong đó 
 n n Q n 
 P n ,Q n là các biểu thức chứa hàm mũ an ,bn ,cn ,. Chia cả tử và 
mẫu cho an với a là cơ số lớn nhất ).
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết:
 2n 4n 3.2n 5n 4n 2 6n 1
a). un b). un c). un 
 4n 3n 5.4n 6.5n 5n 1 2.6n 3
 n 2 n n 1
 2 1 3 4.5 2n 3n 4.5n 2
d). un e). un f). un 
 n 2.4n 3.5n 2n 1 3n 2 5n 1
 3 2 2
 LỜI GIẢI
 n
 n n n n 2 
 2 4 2 4 
 n n 1 n
 2 4 4n 4n 4n 4 2 
a).Ta có un . Ta có lim 0 và 
 4n 3n 4n 3n 4n 3n n 4 
 3 
 n n n 1 
 4 4 4 4 
 n
 3 0 1
 lim 0 . Nên lim un 1 .
 4 1 0
 n
 n n n n 2 
 3.2 5 3.2 5 
 n n 3 1
 3.2 5 5n 5n 5n 5 
b). Ta có un . Ta có 
 5.4n 6.5n 5.4n 6.5n 5.4n 6.5n n
 4 
 n n n 5 6
 5 5 5 5 
 n n
 2 4 3.0 1 1
 lim 0 và lim 0 . Do đó lim un .
 5 5 5.0 6 6 4n.42 6n.6 4n.42 6n.6
 n 2 n 1 n 2 n 
 4 6 4 .4 6 .6 6n 6n 6n
c). Ta có un 
 5n 1 2.6n 3 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63
 6n 6n 6n
 n
 2 4 
 4 6 n n
 6 4 5 
 . Ta có lim 0 và lim 0 . 
 n 6 6
 1 5 3 
 5 2.6
 6 
 42.0 6 1
Do đó lim un .
 5 1.0 2.63 72
 n n
 2.2 2 1 2 2 1
 n n 2. 
 n 2 1 n 3 n
 2 1 2 2 1 2.2 2 1 2 2
d). Ta có u 3 3 . Vì 
 n n n n n 2
 2 2 2 2 1 
 3 2 3 2 3 2 3 2 n
 n 3 2
 3 2
 n
 2 2 2 1 2 2.0 0
 1 lim 0 , lim 0 và lim 0 . Do đó lim un 0 . 
 3 3 n n 1 0
 3 2 3 2
 e). Ta có : 
 n n n
 3 20.5 ( 3)n 5n 3 
 n n 1 n n 20. 20
 3 4.5 3 20.5 n n n 5 
 u 5 5 5 , 
 n n n n n n n n n n
 2.4 3.5 2.4 3.5 2.4 3.5 4 5 
 2. 3. 4
 n n n 2. 3
 5 5 5 5 
 n n
 3 4 0 20 20
mà lim 0 và lim 0 . Do đó lim un . 
 5 5 2.0 3 3
 2n 3n 100.5n
 n n n 2 n n n
 2 3 4.5 2 3 100.5 5n
f). Ta có un 
 2n 1 3n 2 5n 1 2.2n 9.3n 5.5n 2.2n 9.3n 5.5n
 5n
 n n
 2n 3n 5n 2 3 
 100. 100 n n
 n n n 5 5 2 3 
 5 5 5 . Vì lim 0 và lim 0 nên 
 n n n n n 
 2 3 5 5 5 
 2. 9. 5. 2 3
 n n n 2. 9. 5
 5 5 5 5 5 
 0 0 100
 lim u 20 . 
 n 2.0 9.0 5 DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp: 
PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:
 a2 b2
 a b 
 2 2 
 a b a b a b a b 
 a2 b2
 a b 
 a b
 a3 b3 a3 b3
 a b a b .
 a2 ab b2 a2 ab b2
 2 
 3 3 3 2
 a b a a.b b 3
 a b
 3 a b .
 2 2
 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2
 2 
 3 3 3 2
 a b a a.b b 3
 a b
 3 a b 
 2 2
 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2
 2 
 3 2 3 3
 a b a a. b b 3
 a b
 a 3 b 
 2 2
 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 
 2 
 3 2 3 3
 a b a a. b b 3
 a b
 a 3 b 
 2 2
 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 
 2 2
 3 3 3 3 3 3 
 a b a a. b b 
 a b
 3 a 3 b .
 2 2 2 2
 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 
 2 2
 3 3 3 3 3 3 
 a b a a. b b 
 a b
 3 a 3 b 
 2 2 2 2
 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy un biết:
 2 2
a). un n 3n 5 n b). un 9n 3n 4 3n 2 
 3 3 2 3 3 2
c). un n 3n n d). un 8n 4n 2 2n 3 
 2 3 3 2 4 2 3 6 
e). u 4n 3n 7 8n 5n 1 f). lim n n 1 n 1 
 n 
 LỜI GIẢI