Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 1: Giới hạn của dãy số (Có đáp án)

 CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
 BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.
 + Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.
 ❖ Kĩ năng
 + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.
 + Biết cách tính giới hạn của dãy số.
 + Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9
 Nhận xét:
1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số un có giới 
hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số un có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số 
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ 
 un có giới hạn 0.
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối 
 b) Dãy số không đổi un , với un 0 có giới hạn 
nhỏ hơn số dương đó.
 0.
Khi đó ta viết: limun 0 hoặc un 0. 
(Kí hiệu “ lim un 0 ”, đọc là dãy số un có giới 
 n 
hạn là 0 khi n dần đến vô cực).
1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:
 1
a) lim 0; 
 n
 1
b) lim 0; 
 n
 1
c) lim 0; 
 3 n
d) Dãy số không đổi un với un 0 có giới hạn 0.
e) Nếu q 1 thì lim qn 0. 
Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh 
một số dãy số có giới hạn 0.
Cho hai dãy số un và vn .
Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0. 
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét:
2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
 - Dãy số un có giới hạn là số thực L, khi và chỉ 
Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 
 khi khoảng cách từ điểm un đến điểm L là un L 
số thực L nếu lim un L 0. gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ 
Khi đó ta viết limun L hoặc un L. lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số 
 ta thấy khi n tăng thì các điểm un tụ tại quanh 
Tức là limun L lim un L 0.
 điểm L.
2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số
 - Có những dãy số không có giới hạn hữu hạn. 
Định lí 1: Giả sử limun L. Khi đó:
 Trang 2  lim u L và 3 u 3 L . n
 n n Chẳng hạn dãy số 1 , tức là dãy số: 
 *
 Nếu un 0,n ¥ thì L 0 và lim un L. 1;1; 1;1;... 
Định lí 2: Giả sử limun L;limvn M và c là một - Nếu C là hằng số thì limC C. 
hằng số.
Khi đó
 lim un vn L M.  lim un vn L M. 
 lim un .vn L.M.  lim cun cL. 
 u L
 lim n (nếu M 0 ).
 vn M
Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số 
 un , vn , wn và số thực L. Nếu un vn wn với 
mọi n và limun lim wn L thì limvn L. 
Định lí 4:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có 
công bội q thỏa mãn điều kiện q 1. 
Tổng các số hạng:
 u
S u u u ... u u q u q2 u q3 ... 1 , 
 1 2 3 1 1 1 1 1 q
 q 1 . 
3. Dãy số có giới hạn vô cực
 Nhận xét: Nếu limun thì lim un . 
3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực
 Chú ý:
Định nghĩa:
  Các dãy số có giới hạn là hoặc được 
 Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là nếu với gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay 
mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy dần đến vô cực.
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số  Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy 
dương đó. số có giới hạn hữu hạn.
Khi đó ta viết limun hoặc un . Nhận xét:
 Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:
 Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là nếu với 
 a) lim n .
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, 
 b) lim n . 
 Trang 3 kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm c) lim 3 n . 
đó. k
 d) lim n k 0 . 
Khi đó ta viết limun hoặc un . 
 e) lim qn q 1 . 
 1
  Định lí: Nếu lim un thì lim 0. 
 un
3.2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
 Nếu limun ;limvn thì lim un .vn .
 Nếu limun ;limvn thì lim un .vn . 
 Nếu limun ;limvn thì lim un .vn . 
 Nếu limun ;limvn thì lim un .vn . 
Quy tắc 2
 Nếu limun ;limvn L 0 
 khi L 0
thì lim un .vn . 
 khi L 0
 Nếu limun ;limvn L 0 
 khi L 0
thì lim un .vn . 
 khi L 0
Quy tắc 3
Nếu limun L 0 , limvn 0 thì
 khi v 0, n
 un n 
 Khi limun L 0 lim . 
 vn khi vn 0,n
 khi v 0, n
 un n 
 Khi limun L 0 lim . 
 vn khi vn 0,n
3.3. Một số kết quả Mở rộng:
 qn n qn nk
a) lim và lim 0, với q 1. Ta có lim và lim 0, với q 1 và k 
 n qn nk qn
 là một số nguyên dương.
b) Cho hai dãy số un và vn ,
 Nếu un vn với mọi n và limun thì 
limvn . 
 un
 Nếu limun L ¡ và lim vn thì lim 0. 
 vn
 Trang 4  Nếu limun (hoặc ) và limun L ¡ thì 
lim un vn (hoặc ). 
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 DÃY SỐ
 Định nghĩa Dãy số un có giới hạn 0 nếu với mọi 
 CÓ GIỚI HẠN 0
 số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số 
 hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào 
 đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ 
 hơn số dương đó.
 1
 lim 0 k 0 
 nk
 Trường hợp lim qn 0 với q 1
 thường gặp
 Cho hai dãy số un và vn 
 un vn
 limun 0
 limvn 0
 Trang 5 Dãy số có 
giới hạn
 Định nghĩa Dãy số un có giới hạn là số thực L nếu 
hữu hạn
 lim un L 0 
 lim un vn L M 
 lim un .vn L.M 
 Phép tính 
 giới hạn
 lim cun cL
 u L
 Các định lí lim n M 0 
 vn M
 Cho ba dãy số un , vn , wn 
 Nguyên lí un vn wn
 Nếu 
 kẹp giữa limun lim wn L
 Thì limvn L 
 Tổng của cấp số 
 2 3 u1
 S u1 u1q u1q q1q ... q 1 
 nhân lùi vô hạn 1 q
 Trang 6 Dãy số
 Dãy số u có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho 
có giới hạn n
 vô cực trước, mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn 
 hơn số dương đó.
Định nghĩa
 Dãy số un có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, 
 mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn 
 số âm đó.
 1
 limun ,limvn lim un .vn 
 limun ,limvn lim un .vn 
 limun ,limvn lim un .vn 
 limun ,limvn lim un .vn 
 2
 limun  khi L 0
  lim un .vn . 
 limvn L 0 khi L 0
Định nghĩa
 limun  khi L 0
  lim un .vn . 
 limvn L 0 khi L 0
 3
 khi v 0, n
 un n 
 limun L 0 lim .
 vn khi vn 0,n
 limun L 0 
 limvn 0 
 khi v 0, n
 un n 
 limun L 0 lim . 
 vn khi vn 0,n
 Trang 7 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Dãy số có giới hạn bằng định nghĩa
Bài toán 1. Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩa
 Phương pháp giải
Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
 Ví dụ: Chứng minh các dãy số un sau đây có 
Cách 2: Sử dụng các định lí sau:
 giới hạn là 0.
 1
 Nếu k là số thực dương thì lim 0. n
 k 1 sin 4n
 n a) u . b) u . 
 n 3n 2 n n 3
 Với hai dãy số u và v .
 n n hướng dẫn giải
nếu un vn với mọi n và limvn 0 và limun 0. a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có
 n n
 Nếu q 1 thì lim q 0. 1 1 1
 u  
 n 3n 2 3n 2 3n
 1 1 
 n 2 . 
 3  
 1 *
 Đặt n0 1 thì n0 ¥ và un ,n n0. 
 3 
 Vậy limun 0. 
 b) Ta có n ¥ * thì
 sin 4n 1 1 1
 sin 4n 1 u . 
 n n 3 n 3 n n
 Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương 
 1 1
 cho trước thì lim 0 ” ta được lim 0. 
 nk n
 Từ đó suy ra limun 0. 
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.
 n
 1 sin n4 1 1
 a) u . b) u . 
 n 4n 5 n 2n 1 5n 1
hướng dẫn giải
 1 sin n4 2 2 1
a) Ta có n ¥ * thì sin n4 1 u .
 n 4n 5 4n 5 4n 2n
 Trang 8 1 1
Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim 0 ” ta được lim 0. Từ đó suy ra 
 nk n
limun 0. 
 n
 1 1 1 1 1 1 1
b) Ta có u ,n ¥ . 
 n 2n 1 5n 1 2n 1 5n 1 2n 1 2n 1 2n
 n
 1 1 
Vì lim n lim 0. 
 2 2 
Từ đó suy ra limun 0. 
Bài toán 2. Giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức
 Phương pháp giải
Để tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát 1
 Ví dụ: Chứng minh rằng: lim 0. 
 u n 1
dạng phân thức: lim n . 
 vn Hướng dẫn giải
 Nếu u ;v là hàm đa thức theo biến n thì chia cả 1 1 1
 n n Ta có 0 và lim 0. 
 n 1 n n
tử số và mẫu số cho n p , trong đó p là số mũ lớn 
 Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
 1
nhất. Sau đó áp dụng: lim 0 (với k 0 ).
 nk
 Nếu un ;vn là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu 
cho an với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng 
công thức: lim qn 0 với q 1. 
Chú ý: Thông thường, ta sẽ biến đổi các dãy số 
tổng quát về dãy số có giới hạn 0 quen thuộc như 
trên.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
 a) un 2n 3 2n . b) un n 2 n 2 .
Hướng dẫn giải
 2 2
a) Ta có 2n 3 2n 2n 3 2n 2n 3 2n 3 
 3
 2n 3 2n . 
 2n 3 2n
 3 3 3 3 3
Mà và lim 0. 
 2n 3 2n 2n 2n 2 2n n n
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
 Trang 9 b) Ta có n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4 
 4
 n 2 n 2 . 
 n 2 n 2
 4 2 2
Mà và lim 0. 
 n 2 n 2 n 2 n 2
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
 n 
 cos
 cos n
 a) u . b) u 5 . 
 n n 4 n 4n
 n 
 n sin
 1 cos n 5
 c) un . d) un .
 n2 1 1,01 n
Hướng dẫn giải
 cos n 1 1 1
a) Ta có và lim 0. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
 n 4 n 4 n n
 n
 1 cos n cos n 1 1 1
b) Ta có và lim 0. 
 n2 1 n2 1 n2 1 n2 n2
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
 n 
 cos n n
 5 1 1 1 1
c) Ta có n n và lim 0 (do 1).
 4 4 4 4 4
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
 n 
 sin n n
 5 1 1 1 
d) Ta có n n và lim 0. 
 1,01 1,01 1,01 1,01 
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.
 2n 3n an
 a) lim 0. b) lim 0. 
 4n n!
hướng dẫn giải
 n n
 2n 3n 2 3 2 3
a) Ta có lim n lim lim 0 0 0 (do 1 và 1).
 4 4 4 4 4
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m 1 a . Khi đó với mọi n m 1. 
 Trang 10