Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: DÃY SỐ - CẤP SỐ
 Chủ đề: CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
 _ Dạng 1. Nhận dạng CSC; CSN; Số hạng tổng quát; Số hạng thứ n; Công bội; Công sai
 -Phương pháp: 
 . Nhận dạng CSC; CSN:
 Nếu un 1 un d , với d là hằng số un là CSC
 Nếu un 1 unq , với q là hằng số un là CSN.
 . Số hạng tổng quát; Số hạng thứ n:
 Cho un là CSC số hạng tổng quát là un u1 n 1 d .
 n 1
 Cho un là CSN số hạng tổng quát là un u1q .
 . Công bội; Công sai :
 Cho un là CSC có công sai là d un 1 un .
 un 1
 Cho un là CSN có công bội là q . 
 un
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
 Ⓐ. 1; 2; 3; 4; 5. Ⓑ. 1; 2; 4; 8; 16 . Ⓒ. 1; 1; 1; 1; 1. Ⓓ. 1; 2; 4; 8; 16 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A 
 Xét phương án A, ta có:  Lấy số sau chia số trước liền kề.
 u
Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d 1 . q n 1
 un
 1 1
Câu 2: Cho một cấp số cộng có u ; d . Hãy chọn kết quả đúng.
 1 2 2
 1 1 1 1 1
 Ⓐ. Dạng khai triển : ;0;1; ;1.... Ⓑ. Dạng khai triển : ;0; ;0; .....
 2 2 2 2 2
 1 3 5 1 1 3
 Ⓒ. Dạng khai triển : ;1; ;2; ;..... Ⓓ. Dạng khai triển: ;0; ;1; .....
 2 2 2 2 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D 
  Công thức u u n 1 d
 1 1 n 1 
 Ta có: u , u u d 0, u u d , 
 1 2 2 1 3 2 2 Casio: Với dòng lệnh: 
 3 x x 1: A (x 1)D : A A sau đó Calc
u u d 1, u u d .
 4 3 5 4 2 X=0;A=u1=-0.5;D=d=0.5 và ấn =
 Ấn = là tự kiểm tra. Chọn D
Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 2 và công sai d 7 . Công thức của số hạng tổng quát là 
 n 1
 Ⓐ. un 2.7 . Ⓑ. un 2 7n . Ⓒ. un 7n 9 . Ⓓ. un 2n 9 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn C
  Công thức u u n 1 d
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là n 1 
 un 2 n 1 7 7n 9 .
Câu 4: Cho dãy số un là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Đẳng thức nào sau đây 
 sai?
 n 1
 Ⓐ. un 1 unq , n 1 . Ⓑ. un u1q , n 2 .
 n 2
 Ⓒ. un u1q , n 2 . Ⓓ. uk uk 1uk 1 , k 2 .
Chọn C PP nhanh trắc nghiệm
 Cho dãy số un là một cấp số nhân có số hạng đầu 
 n 1
  Công thức đúng un u1q
 u1 và công bội q . 
Từ định nghĩa của cấp số nhân ta có các kết quả sau:
 n 1 2
 un 1 unq , n 1 , un u1q , n 2 , uk uk 1uk 1 , 
 k 2 .
Kết quả của đáp án C là sai.
 1
Câu 5: Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Tìm q ?
 n 1 2 7
 1
 Ⓐ. q 2 . Ⓑ. q 4 . Ⓒ. q 1. Ⓓ. q .
 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
 n 1 6
 Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN, ta có:  Casio: un u1q u7 u1.q
 n 1 6
 un u1q u7 u1.q 1 6 6 q 2
 32 .q q 64 .
 2 q 2
Câu 6: Cho một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm d ?
 Ⓐ. d 5 . Ⓑ. d 7 . Ⓒ. d 6 . Ⓓ. d 8.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn C
 Ta có:  Casio: 
 u6 27 u1 5d 27 3 5d 27 d 6 .
_Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 5 và công bội q 2 . Số hạng thứ sáu của un là
 Ⓐ. u6 160 . Ⓑ. u6 320 . Ⓒ. u6 160 . Ⓓ. u6 320 .
Câu 2: Cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3, công sai d 5, số hạng thứ tư là
 Ⓐ. u4 8 . Ⓑ. u4 14 . Ⓒ. u4 23. Ⓓ. u4 18 .
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là
 Ⓐ. un 5(n 1) . Ⓑ. un 5n. Ⓒ. un 5 n . Ⓓ. un 5.n 1.
Câu 4: Cho dãy số un , biết un 2n 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 Ⓐ. un là cấp số cộng. Ⓑ. un là cấp số nhân.
 Ⓒ. un là dãy số giảm. Ⓓ. un là dãy số bị chặn trên.
 n
Câu 5: Cho dãy số un , biết un 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 Ⓐ. un là cấp số cộng. Ⓑ. un là cấp số nhân.
 Ⓒ. un là dãy số giảm. Ⓓ. un là dãy số bị chặn trên.
 1 1
Câu 6: Cho cấp số nhân u có u 1, công bội q . Hỏi là số hạng thứ mấy của u ?
 n 1 10 102017 n
 Ⓐ. Số hạng thứ 2018. Ⓑ. Số hạng thứ 2017.
 Ⓒ. Số hạng thứ 2019. Ⓓ. Số hạng thứ 2016.
 u1 2 u2
Câu 7: Cho cấp số nhân un có và công bội q 3. Số hạng là
 Ⓐ. u2 6 . Ⓑ. u2 6. Ⓒ. u2 1. Ⓓ. u2 18 . Câu 8: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
 u1 1 u1 3
 Ⓐ. un : . Ⓑ. un : .
 un 1 un 2, n 1 un 1 2un 1, n 1
 Ⓒ. un : 1; 3 ; 6 ; 10; 15; . Ⓓ. un : 1; 1; 1; 1; 1; .
Câu 9: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
 Ⓐ. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
 Ⓑ. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
 Ⓒ. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
 Ⓓ. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
Câu 10: Cho cấp số cộng un có số hạng tổng quát là un 3n 2 . Tìm công sai d của cấp số cộng.
 Ⓐ. d 3. Ⓑ. d 2 . Ⓒ. d 2 . Ⓓ. d 3 .
 u3 12 u7 192 u10
Câu 11: Cấp số nhân un có công bội âm, biết , . Tìm .
 Ⓐ. u10 3072 . Ⓑ. u10 1536 . Ⓒ. u10 1536 . Ⓓ. u10 3072 .
 1 1
Câu 12: Cho cấp số nhân u với u 1; q . Số là số hạng thứ mấy của u ?
 n 1 10 10103 n
 Ⓐ. Số hạng thứ105 . Ⓑ. Không là số hạng của cấp số đã cho.
 Ⓒ. Số hạng thứ 103 . Ⓓ. Số hạng thứ 104 .
Câu 13: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;....Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
 n n 1
 Ⓐ. un 1. Ⓑ. un 1. Ⓒ. un ( 1) . Ⓓ. un 1 .
Câu 14: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0;2;4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
 Ⓐ. un 2n . Ⓑ. un n 2 . Ⓒ. un 2n 2 . Ⓓ. un 2n 2 .
 1 1 1 1 1
Câu 15: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; ; ; ; ; .Số hạng tổng quát của dãy số này là?
 3 32 33 34 35
 1 1 1 1 1
 Ⓐ. u . Ⓑ. u . Ⓒ. u . Ⓓ. u .
 n 3n 1 n 3 3n 1 n 3n n 3n 1
Câu 16: Dãy số un nào dưới đây là cấp số nhân, nếu biết công thức tổng quát un của nó là
 1 1
 Ⓐ. u 3n 2 . Ⓑ. u . Ⓒ. u n2 1. Ⓓ. u 1.
 n n 2n 1 n n 3n 1
 1 2 3 4
Câu 17: Cho dãy số u có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;....Số hạng tổng quát của dãy số này là
 n 2 3 4 5
 n 1 n n 1 n2 n
 Ⓐ. u . Ⓑ. u . Ⓒ. u . Ⓓ. u .
 n n n n 1 n n n n 1
Câu 18: Cho u là một cấp số cộng có u 1; d 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 n 1
 Ⓐ. Dạng khai triển: 1;1;2;3;4..... Ⓑ. Dạng khai triển: 0;1;2;3;4;..... .
 Ⓒ. Dạng khai triển: 1;0;2;3;4;..... . Ⓓ. Dạng khai triển: 1;0;1;2;3;..... Câu 19: Cho un là một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm công sai d ?
 Ⓐ. d 6 . Ⓑ. d 7 . Ⓒ. d 5 . Ⓓ. d 8 .
Câu 20: Cho cấp số cộng un có u5 15;u20 60 . Tìm u1 và công sai d của cấp số cộng?
 Ⓐ. u1 35,d 5. Ⓑ. u1 35,d 5. Ⓒ. u1 35,d 5. Ⓓ. u1 35,d 5 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.A
 11.C 12.D 13.C 14.D 15.A 16.B 17.C 18.D 19.A 20.B
 _ Dạng 2. Tổng n số hạng đầu của CSC; CSN
 -Phương pháp: 
 ❶. CSC - Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức
 n n
 S u u ... u u u 2u n 1 d .
 n 1 2 n 2 1 n 2 1 
 ❷. CSN - Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức 
 1 qn
 S u u ... u u .
 n 1 2 n 1 1 q
 ❸. Ứng dụng CSC, CSN.
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2 6 , u4 24. Tính tổng của 12 
 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
 Ⓐ. 3.212 3 . Ⓑ. 212 1. Ⓒ. 3.212 1. Ⓓ. 3.212 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
 Gọi công bội của CSN bằng q . 1 q12
 2  Công thức S12 u1.
Suy ra u4 u2.q q 2 . 1 q
Do CSN có các số hạng không âm nên q 2 .
 u
Từ đó ta có u 2 3
 1 q
 12 12
 1 q 1 2 12
 S12 u1. 3. 3 2 1 . 
 1 q 1 2
Câu 2: Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 3, công bội q 2 . Biết Sn 765 . Tìm n ?
 Ⓐ. n 8 . Ⓑ. n 9 . Ⓒ. n 6 . Ⓓ. n 7 . 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
  Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có:  Casio
 n n
 u1 1 q 3. 1 2 
 S 765 n 8 .
 n 1 q 1 2
 Câu 3: Cho dãy số un là một cấp số cộng có u1 3 và công sai d 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy 
 số un là Sn 253 . Tìm n .
 Ⓐ. 9. Ⓑ. 11. Ⓒ. 12. Ⓓ. 10. 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B
  Ta có  Casio: solve
 n 2u1 n 1 d n 2.3 n 1 .4 
 S 253
 n 2 2
 n 11
 2 
 4n 2n 506 0 23 n 11. Hoặc table
 n 
 2
_Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho dãy số un là một cấp số cộng có u1 3 và công sai d 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy 
 số un là Sn 300 . Tìm n .
 A. 9. Ⓑ. 12. Ⓒ. 11. Ⓓ. 10.
Câu 2: Cho cấp số nhân un có u1 3 và q 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã 
cho.
 Ⓐ. S10 511. Ⓑ. S10 1025. Ⓒ. S10 1025. Ⓓ. S10 1023.
Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
 Ⓐ. n 20 . Ⓑ. n 21. Ⓒ. n 22 . Ⓓ. n 23 .
Câu 4: Cho cấp số cộng un thỏa mãn u2 u23 60. Tính tổng S24 của 24 số hạng đầu tiên của cấp số 
cộng đã cho.
 Ⓐ. S24 60. Ⓑ. S24 120. Ⓒ. S24 720. Ⓓ. S24 1440.
Câu 5: Cho cấp số cộng un có u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
 Ⓐ. n 20 . Ⓑ. n 23 . Ⓒ. n 22 . Ⓓ. n 21.
 1 1
Câu 6: Cho cấp số cộng u có: u ; d . Khẳng định nào sau đây đúng?
 n 1 4 4
 5 4 5 4
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 5 4 5 5 5 4 5 5
Câu 7: Cho cấp số cộng un và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7 77 và S12 192 . Tìm 
số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó Ⓐ. un 5 4n . Ⓑ. un 3 2n . Ⓒ. un 2 3n . Ⓓ. un 4 5n .
 u1 u4 8
Câu 8: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn . Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên.
 u3 u2 2
 Ⓐ. 100 . Ⓑ. 110 . Ⓒ. 10. Ⓓ. 90 .
Câu 9: Cho cấp số cộng un có u4 12 ; u14 18. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
 Ⓐ. S 24 . Ⓑ. S 25. Ⓒ. S 24 . Ⓓ. S 26 .
Câu 10: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
 Ⓐ. 4 080 399 . Ⓑ. 4 800 399 . Ⓒ. 4 399 080 . Ⓓ. 8 154 741. 
Câu 11: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D 
và góc A bằng 30o . Tìm các góc còn lại?
 Ⓐ. 75o ; 120o ; 165o . Ⓑ.72o ; 114o ; 156o . Ⓒ. 80o ; 110o ; 135o . Ⓓ. 70o ; 110o ; 150o .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D