Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Bài 5: Bài tập tổng hợp cấp số cộng cấp số nhân (Có lời giải)

 BÀI TẬP TỔNG HỢP CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
2/24. Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng các số hạng 
thứ nhất của hai dãy số đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số 
giữa các số hạng thứ ba của CSN và CSC là 9 . Tìm ba số hạng của hai cấp 
 5
số thỏa tính chất trên.
 LỜI GIẢI
Gọi u1 ,u2 ,u3 là ba số hạng liên tiếp của CSC.
Gọi a1 ,a2 ,a3 là ba số hạng liên tiếp của CSN.
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
 u a 3 1 
 u1 a1 3 u1 a1 3 1 1
 u2 a2 u1 d a1q 3 d 3q 2 
 2
 a3 9 5a3 9u3 5 a q 9 u 2d 3
 1 1 
 u3 5
Từ (2) có d 3q 3 thay vào (3) được: 
 3
15q2 9 3 6q 6 5q2 18q 9 0 q 3  q 
 5
Chọn q 3 (vì dãy tăng) d 6
Kết luận: 3 số hạng của CSC cần tìm: u1 3,u2 9,u3 15
 3 số hạng của CSN cần tìm: a1 3,a2 9,a3 27 .
3/24. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một CSC, ba 
số hạng sau thành lập CSN. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối 
là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36. Tìm bốn số đó.
 LỜI GIẢI
Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d.
Theo đề bài có a, b, c là ba số hạng liên tiếp của CSC. Ta có: a c 2b (1)
Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của CSN. Ta có: b.d c2 (2)
 a d 37 (3)
Theo giả thuyết đề bài ta có hệ phương trình: 
 b c 36 (4)
Từ (4) có: b 36 c thay vào (1) được a c 72 2c a 72 3c , thay a vào 
(3) được: 
d 37 72 3c d 35 3c .
Thay b, d vào (2) được: 
 63
 36 c 35 3c c2 4c2 143c 1260 0 c 20  c 
 4
Với c 20 b 16,a 12,d 95 . 63 81 99 49
Với c b ,a ,d .
 4 4 4 4
4/25. Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp 
của một CSN, hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của 
một CSC. Tìm các số đó.
 LỜI GIẢI
Gọi u1 ,u2 ,u3 là ba số hạng liên tiếp của CSN, với công bội là q.
Theo đề bài u1 a1 ,u2 a4 ,u3 a25 , với a1 ,a4 ,a25 là các số hạng của một cấp 
số cộng với công sai d.
 a a 3d 8a 8a 24d (1)
Ta có 4 1 4 1 . Lấy phương trình (1) (2) được: 
 a25 a1 24d a25 a1 24d (2)
8a4 a25 7a1 8u2 u3 7u1
 2 2
 8u1q u1q 7u1 q 8q 7 0 q 1 q 7
Vì u1 ,u2 ,u3 khác nhau nên chọn q 7 .
Theo đề bài có: 
 2 2
u1 u2 u3 114 u1 u1q u1q 114 u1 1 q q 114 u1 2
Kết luận ba số cần tìm: u1 2,u2 14,u3 98 .
6/25. Ba số khác nhau có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của 
một CSN hoặc là các số hạng thứ 2 thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải 
lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC để tổng của chúng là 820?
 LỜI GIẢI
Gọi u1 ,u2 ,u3 là ba số hạng liên tiếp của CSN, với công bội là q.
Theo đề bài u1 a2 ,u2 a9 ,u3 a44 , với a2 ,a9 ,a44 là các số hạng của một cấp 
số cộng với công sai d.
 a a 7d 6a 6a 42d (1)
Ta có 9 2 9 2 . Lấy phương trình (1) (2) được: 
 a44 a2 42d a44 a2 42d (2)
6a9 a44 5a2 6u2 u3 5u1
 2 2
 6u1q u1q 5u1 q 6q 5 0 q 1 q 5
Vì u1 ,u2 ,u3 khác nhau nên chọn q 5 .
Theo đề bài có: 
 2 2
u1 u2 u3 217 u1 u1q u1q 217 u1 1 q q 217 u1 7
Suy ra u2 u1q 35 .
 a 7 a d 7 a 3
Ta có 2 1 1
 a9 35 a1 8d 35 d 4
 n
Theo đề bài ta có S 820 2a n 1 d 820
 n 2 1 n 6 4n 4 1640 4n2 2n 1640 0 n 20
Kết luận phải lấy 20 số hạng đầu tiên để tổng của chúng bằng 820.
7/25. Một CSN và CSN đều có số hạng đầu tiên là bằng 5, số hạng thứ hai 
của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 của 
hai cấp số thì bằng nhau. Tìm cấp số đó.
 LỜI GIẢI
Gọi u1 ,u2 ,u3 là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của CSC, với công sai d.
Gọi a1 ,a2 ,a3 là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của CSN, với công bội q.
Theo đề bài ta có: 
 u a 5 u a 5 u a 5 u a 5
 1 1 1 1 1 1 1 1
 u2 a2 10 u1 d a1q 10 5 d 5q 10 d 5 5q (2)
 u a 2 2 2
 3 3 u1 2d a1q 5 2d 5q 5 2d 5q (3)
Thế (2) vào (3) được: q2 2q 3 0 q 3  q 1
Với q 3 d 20 . Vậy u1 5,u2 25,u3 45 và a1 5,a2 15,a3 45 .
Với q 1 d 0 . Vậy u1 u2 u3 5 và a1 5,a2 5,a3 5 .
9/25. 1). Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN với công bội 
q q 1 , đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự đó lập thành một CSC với 
công sai d d 0 . Hãy tìm q và d.
 LỜI GIẢI
 1
Ta có x 3z 2.2y x 3xq2 4xq 3q2 4q 1 0 q .
 3
3). Các số x 6y,5x 2y,8x y theo thứ tự đó thành lập một CSC. Đồng thời 
các số x 1,y 2,x 3y theo thứ tự đó lập thành CSN. Hãy tìm x và y.
 LỜI GIẢI
Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình:
 x 6y 8x y 2 5x 2y x 3y (1)
 2
 2 
 x 1 x 3y y 2 x 1 x 3y y 2 2 
 2
Thay (1) vào (2) được: 3y 1 6y y 2 17y2 10y 4 0
4). Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN. Ba số x, y – 4 , z theo 
thứ tự đó lập thành CSN. Đồng thời các số x, y – 4 , z – 9 theo thứ tự đó lập 
thành CSC. Tìm x, y, z?
 LỜI GIẢI Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình: 
 x.z y2 (1)
 x.z (y 4)2 (2)
 x (z 9) 2(y 4) (3)
 2
Từ (1) và (2) ta có y2 y 4 16 8y 0 y 2
Thay y = 2 vào (3) được: x z 5 . Có x z 5 và x.z 4 suy ra giá trị của x 
và z là nghiệm của phương trình 
X2 SX P 0 X2 5X 4 0 X 4  X 1
 x 4,z 1 x 1,z 4
Có 2 bộ (x,y,z) thỏa yêu cầu là (1,2,4) và (4,2,1).
3.24:Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng 
và a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a b c 30. 
 LỜI GIẢI
 a c 2b 1 
Theo đề bài ta có: a.b c2 2 
 a b c 30 3 
Thay(1) vào (3) được 3b 30 b 10 
 2
 c 2
 c 20 c 10c 200 0
 a c 20 10 
thay b 10 vào (1) và (2): 2 
 2 2 c
 10a c c a .
 a 10
 10
 c 10 a 10 loai 
 c 20 a 40
Kết luận: a 40; b 10;c 20. 
4) Ba số dương a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và đồng 
thời
 a b c 7
 1 1 1 7 
 a b c 4
 LỜI GIẢI
 a b c 7
 Theo đề: 1 1 1 7 1 
 a b c 4
 2
 a a.q a.q2 a 1 q q 7 
 1 1 1 1 7 q2 q 1 7 
 2 2 
 a a.q a.q 4 a.q 4 2
Lấy đươc: a2 .q2 4 a.q 22 a.q 2. 
 2
Với a.q 2 a thay vào được:
 q
2 1
 1 q q2 7 2q2 5q 2 0 q 2  q= . 
q 2
 1
 q 2 a 1 b 2;c 4 q a 4; b 2;c 1.
 2
Với a.q 2 a và q trái dấu.
Nếu q 0 a 0 b a.q 0 (loại)
Vì a, b, c phải là 3 số dương.
Nếu q 0 a 0 (loại)
5)a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a,b,c là ba số hạng 
liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a.b.c 125. 
 LỜI GIẢI
 a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, nên có: a c 2b. 
 b,c,a là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có: b.a c2 . 
 a c 2b 1 
Ta có hệ phương trình: b.a c2 2 
 a.b.c 125 3 
Thay (2) vào (3) được: c3 125 c 5 
Thay c 5 vào (1) và (2):
 b 5 a 5
 a 5 2b a 2b 5 a 2b 5 
 2 5
 a.b 25 2b 5 b 25 2b 5b 25 0 b a 10.
 2
 5
Vậy: a b c 5 hoặc a 10; b ;c 5.
 2
6) a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và a,b,c 4 là ba số hạng 
liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời a,b 1,c 5 là ba số hạng liên tiếp 
của một cấp số nhân.
 LỜI GIẢI
Có a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: a.c b2 . 
Có a,b,c 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, nên: a c 4 2b. 
Có a,b 1,c 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: 
 2
a. c 5 b 1 . a.c b2 1 
Ta có hệ phương trình: a c 4 2b 2 
 2
 a c 5 b 1 3 
 5a 1
Thay (1) vào (3): b2 5a b2 2b 1 5a 2b 1 b 
 2
Thay vào (2) được: a c 4 5a 1 c 4a 5. 
 2
 5a 1 
Thay b và c theo a vào (1) được: a 4a 5 
 2 
 1
 16a2 20a 25a2 10a 1 9a2 10a 1 0 a 1  a=
 9
Với a 1 b 3;c 9. 
 1 7 49
Với a b ;c . 
 9 9 9
7) a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và a,b 2,c 9 là ba số 
hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời a,b 2,c là ba số hạng liên 
tiếp của một cấp số nhân.
 LỜI GIẢI
Vì a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên có: a.c b2 . 
Vì a,b 2,c 9 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, có:
a c 9 2 b 2 . 
 2
Vì a,b 2,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân,có: a.c b 2 .
 a.c b2 1 
 2
Ta có hệ phương trình: a c 9 2 b 2 2 
 2
 a.c b 2 3 
 2
Thay (1) vào (3) được: b2 b 2 b 1 
 a.c 1
thay b 1 vào (1) và (2) được: .Vậy a, c là nghiệm của phương 
 a c 7
 7 3 5 7 3 5
 a a 
 2 2 2
trình: X 7X 1 0  
 7 3 5 7 3 5
 c c 
 2 2
Tìm m để phương trình x4 2 m 2 x2 2m 3 0 (i) có 4 nghiệm phân 
biệt lập thành một cấp số cộng.
 LỜI GIẢI ● Đặt t = x2, (t ³ 0) thì (i) Û g(t) = - t 2 + 2(m + 2)t - 2m - 3 (ii)
● Để i có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x 3, x 4 (x1 < x2 < x 3 < x 4 ) Û (ii) 
có hai nghiệm dương phân biệt: 
 ïì D ' = m2 + 2m + 1 > 0 ì
 ï ï 3
 ï ï m > -
 Û 0 0 Û íï * 
 1 2 ï ï 2 ( )
 ï P = 2m + 3 > 0 ï m ¹ - 1
 îï îï
 ïì t + t = 2m + 4 1
 ï 1 2 ( )
● Theo Viét: íï . Khi đó bốn nghiệm của (i) được xếp 
 ï t t = 2m + 3 2
 îï 1 2 ( )
theo thứ tự tăng dần là: x1 = - t 2 < x2 = - t1 < x 3 = t1 < x 4 = t 2 .
● Theo đề x1, x2, x 3, x 4 lập thành cấp số cộng 
Û x2 - x1 = x 3 - x2 = x 4 - x 3
 Û - t1 + t 2 = t1 + t1 = t 2 - t1 Û t 2 = 3 t1 Û t 2 = 9t1 (3)
 ì
 ï m + 2
 ï t1 =
 ïì t + t = 2m + 4 ï 5
 ï 1 2 ï
 ï ï 9
(1),(2),(3) Þ í 9t - t = 0 Û í t = (m + 2) 
 ï 1 2 ï 2 5
 ï t t = 2m + 3 ï
 îï 1 2 ï m + 2 9
 ï . (m + 2) = 2m + 3
 îï 5 5
 13
 Û 9m2 - 14m - 39 = 0 Û m = 3 Ú m = - (thỏa (*) )
 9
Tìm m để phương trình x3 5 m x2 6 5m x 6m 0 (i) có 3 nghiệm 
phân biệt lập thành cấp số nhân ?
 LỜI GIẢI
 2   .
 i x 2 x 3 m x 3m 0 x 2 x 3 x m
 m 2
 i có ba nghiệm phân biệt ii . Do các nghiệm này lập thành 
 m 3
cấp số nhân và ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy 
số sau:
 2 4
 - 3; - 2; m lập thành cấp số nhân Û - 3.m = (- 2) Û m = - .
 3
 2
 - 3; m; - 2 lập thành cấp số nhân Û - 3.(- 2) = m Û m = ± 6 . 2 9
 m; - 3; - 2 lập thành cấp số nhân m.(- 2) = (- 3) Û m = - .
 2
 9 4
● So với (ii), các giá trị m cần tìm là: m = - Ú m = - Ú m = ± 6 .
 2 3
Tìm tham số m để phương trình x3 3m 1 x2 2mx 0 (i) có ba nghiệm 
phân biệt lập thành một cấp số cộng.
 LỜI GIẢI
 2   
 i x x 2m 1 x 2m 0 x 0 x 1 x 2m
 m 0
 2m 0 
● i có ba nghiệm phân biệt 1 ii 
 2m 1 m 
 2
● Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng nên ta sắp xếp các nghiệm này 
theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau: 
 1
+2m; 0; 1 lập thành cấp số cộng Û 2m + 1 = 2.0 Û m = - (thỏa 
 2
(ii)).
 1
+0; 2m; 1 lập thành cấp số cộng Û 0 + 1 = 2.2m Û m = (thỏa (ii) ).
 4
+0; 1; 2m lập thành cấp số cộng Û 0 + 2m = 2.1 Û m = 1 (thỏa (ii) ).
 1 1
● Vậy m = - Ú m = Ú m = 1 là các giá trị cần tìm.
 2 4
 Lưu ý
Trong bài giải trên, ta đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình bằng 
nguyên tắc nhẩm nghiệm. Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không 
đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét hai bài tập nhỏ sau:
 Bài toán không tìm được nghiệm nào của phương trình:
Tìm m để phương trình x3 3x2 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt và các 
nghiệm đó thành lập cấp số cộng.
Bài giải
x 3 - 3x2 - 9x + m = 0 
Gọi x1 ,x2 ,x3 ; x1 x2 x3 là ba nghiệm của phương trình . Khi đó, ta sẽ 
phân tích được: 
 3 2
x - 3x - 9x + m = (x - x1)(x - x2 )(x - x 3 ) 3 2
= x - (x1 + x2 + x 3 )x + (x1x2 + x2x 3 + x 3x1)x - x1x2x 3 và đồng nhất hệ 
 2
số của x , ta được: x1 + x2 + x 3 = 3, (i) . Do x1, x2, x 3 lập thành một cấp số 
cộng theo thứ tự đó nên x1 + x 3 = 2x2 (ii) . Thế (ii) vào (i), ta được: 
x2 = 1.
Thế x2 = 1 vào (* ) được m = 11 . Do đây chỉ là điều kiện cần, ta xét thêm 
điều kiện đủ, nghĩa là khi m = 11 thì (*) Û x 3 - 3x2 - 9x + 11 = 0 
 2
Û (x - 1)(x - 2x - 11) = 0 Û x1 = 1- 2 3 Ú x2 = 1 Ú x 3 = 1+ 2 3 luôn 
có x1 + x 3 = 2x2 nên m = 11 là giá trị cần tìm của bài toán.
Cần nhớ: nếu đa thức bậc ba f (x) = ax 3 + bx2 + cx + d, (a ¹ 0) có các 
nghiệm x1, x2, x 3 khi f (x) = 0 thì ta luôn phân tích được thành tích số dạng: 
 3 2
ax + bx + cx + d = a(x - x1)(x - x2 )(x - x 3 ) .
Chứng minh rằng, với mọi m phương trình x3 m2 3 x2 m2 3 x 1 0 
luôn có 3 nghiệm và ba nghiệm này lập thành cấp số nhân.
 LỜI GIẢI
Ta có x3 m2 3 x2 m2 3 x 1 0 x 1 x2 m2 2 x 1 0 (1)
 2 2 
 x 1 x3 hoặc x m 2 x 1 0 (2).
 2
 2 4 2  
Có (2) m 2 4 m 4m 0, m phương trình (2) luôn có 2 
 2
nghiệm x1 ,x2 . Ngoài ra có x1.x2 1 x3 (đpcm).