Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Bài 4: Cấp số nhân (Có lời giải)

 CẤP SỐ NHÂN
 TÓM TẮT GIÁO KHOA
1). Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số 
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 
một số q không đổi, nghĩa là:
 un là cấp số nhân n 2,un un 1.q 
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
2). Định lý 1: Nếu un là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình 
phương của mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) 
 2
bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: uk uk 1.uk 1 k 2 .
Hệ quả: Nếu a, b, c là ba số khác 0, thì “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập 
thành một cấp số nhân khi và chỉ khi b2 ac ”.
3). Định lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q 0 thì 
 n 1
số hạng tổng quát un của nó được tính bởi công thức: un u1.q .
4). Định lý 3: Giả sử (un ) là một cấp số nhân có công bội q. Gọi 
 n
Sn  uk u1 u2 ... un (Sn là tổng cuản số hạng đầu tiên của cấp số 
 k 1
nhân). Ta có: 
 Nếu q=1 thì Sn nu1 .
 n
 u1 1 q 
 Nếu q 1 thì S 
 n 1 q
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1: Chứng minh một dãy un là cấp số nhân.
PHƯƠNG PHÁP
 Chứng minh n 1,un 1 un .q trong đó q là một số không đổi.
 un 1
 Nếu un 0 với mọi n N * thì ta lập tỉ số T 
 un
 T là hằng số thì un là cấp số nhân có công bội q T .
 T phụ thuộc vào n thì un không là cấp số nhân.
Ví dụ 1: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) 
tìm công bối của cấp số nhân đó: 
 u1 3
 u1 2 
a). u ( 3)2n 1 b). u ( 1)n .53n 2 c). d). 9 
 n n 2 u 
 un 1 un n 1
 un
 LỜI GIẢI u ( 3)2n 3
a). Ta có n 1 ( 3)2 9 (không đổi). Kết luận u là cấp số 
 2n 1 n 
 un ( 3)
nhân với công bội q 9 .
 u ( 1)n 1.53(n 1) 2
b). Ta có n 1 1.53 125 (không đổi). Kết luận u là 
 n 3n 2 n 
 un ( 1) .5
cấp số nhân với công bội q 125 .
 2 2 2 u2 4
c). Ta có u2 u1 4 , u3 u2 16 , u4 u3 256 , suy ra 2 và 
 u1 2
u4 256 u2 u4
 16 . Do đó un không là cấp số nhân.
u3 16 u1 u3
 9
 un 1 un un 1
d). un 1 un 1 ,n 2 . Do đó có:
 un 9 un
 un 1
 u1 u3 u5 .... u2n 1.... (1)
Và u2 u4 u6 .... u2n ... (2)
 9
Theo đề bài có u1 3 u2 3 (3)
 u1
Từ (1), (2) ,(3) suy ra u1 u2 u3 u4 u5 .... u2n u2n 1.... Kết luận 
 un là cấp số nhân với công bội q 1 .
 u1 2
Ví dụ 2: Cho dãy số un được xác định bởi ,n 1. Chứng 
 un 1 4un 9
minh rằng dãy số vn xác định bởi vn un 3,n 1 là một cấp số nhân. 
Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
 LỜI GIẢI
Vì có vn un 3 (1) vn 1 un 1 3 (2) .
Theo đề un 1 4un 9 un 1 3 4 un 3 (3).
 vn 1
Thay (1) và (2) vào (3) được: vn 1 4vn ,n 1 4 (không đổi). Kết 
 vn
luận vn là cấp số nhân với công bội q 4 và số hạng đầu v1 u1 3 5 .
DẠNG 2: Xác định số hạng đầu công bội, xác định số hạng thứ k, tính 
tổng của n số hạng đầu tiên:
PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng 
đầu u1 , giải hệ phương trình này tìm được q và u1 . k 1
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: uk u1.q .
 1 qn
Để tính tổng của n số hạng , ta sử dụng công thức: S u . ,q 1 . Nếu 
 n 1 1 q
 q 1 thì u1 u2 u3 ... un , do đó Sn nu1 .
Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
 u u 51 u u u 135 u 6
a) 1 5 b) 1 2 3 c) 2 
 u2 u6 102 u4 u5 u6 40 S3 43.
 LỜI GIẢI
 4 4 
 u u 51 u u q 51 u1 1 q 51 
a). 1 5 1 1 
 5 4
 u2 u6 102 u q u q 102 u q 1 q 102 
 1 1 1 
 4
 u1q 1 q 102 51 51
Lấy q 2 u 3. 
 4 51 1 1 q4 17
 u1 1 q 
Kết luận có công bội q 2 và số hạng đầu tiên u1 3 .
Kết luận: u1 3 và q 2 
 u u u 135 u u q u q2 135
b) 1 2 3 1 1 1
 u u u 40 3 4 5
 4 5 6 u1.q u1q u1q 40
 2 
 u1 1 q q 135 
 u q3 1 q q2 40 
 1 
 3 2
 u1q 1 q q 40 8 2
Lấy q3 q 
 2 135 27 3
 u1 1 q q 
 135 1215
 u . 
 1 1 q q2 19
 2 1215
Kết luận có công bội q và số hạng đầu tiên u .
 3 1 19
 u 6 u q 6 u q 6
c) 2 1 1
 2
 S3 43 u1 u2 u3 43 u1 u1q u1q 43
 u1q 6 u q 6
 . Lấy 1 
 u 1 q q2 43 2 43
 1 u1 1 q q 
 1
 43q 6 1 q q2 6q2 37q 6 0 q 6  q 
 6
 1
Với q 6 u 1 . Với q u 36. 
 1 6 1 1
 q 6 q 
Kết luận hoặc 6
 u1 1 
 u1 36
 u1 u5 51
Ví dụ 2: Cho CSN un có các số hạng thỏa: 
 u2 u6 102
a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN.
b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?
c). Số 12288 là số hạng thứ mấy?
 LỜI GIẢI
 u u 51 u u q4 51 u (1 q4 ) 51 ( )
a). Ta có 1 5 1 1 1
 u u 102 5 4
 2 6 u1q u1q 102 u1q(1 q ) 102 ( )
 ( ) u q(1 q4 ) 102
Lấy 1 q 2 u 3 .
 ( ) 4 51 1
 u1(1 q )
 1 qn 1 2n
b). Có S 3069 u . 3069 3. 3069 2n 1024 n 10 . Kết 
 n 1 1 q 1 2
luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.
 k 1 k 1 k 1 12
c).Có uk 12288 u1.q 12288 3.2 12288 2 4096 2
 k 1 12 k 13 . Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.
Ví dụ 3: Tính các tổng sau:
 2 3 n
a). Sn 2 2 2  2 
 1 1 1 1
b). Sn  
 2 22 23 2n
 2 2 2
 1 1 n 1 
c). Sn 3 9  3 
 3 9 3n 
d). Sn 6 66 666  666...6 
 n so 6
 LỜI GIẢI
a). Ta có dãy số 2,22 ,23 ,,2n là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng 
 22 1 qn 1 2n
đầu u 2 và công bội q 2 . Do đó S u . 2. 2 2n 1 .
 1 2 n 1 1 q 1 2 1 1 1 1
b). Ta có dãy số , , ,, là một cấp số nhân với n số hạng, có số 
 2 22 23 2n
 1
 1 2 1
hạng đầu u và công bội q 2 . Do đó 
 1 2 1 2
 2
 n
 1 
 n 1 
 1 q 1 2 1
S u . . 1 .
 n 1 1 q 2 1 n
 1 2
 2
 2 2 2
 1 1 n 1 
c). Sn 3 9  3 
 3 9 3n 
 1 1 1
 32 2 34 2  32n 2 
 32 34 32n
 1 1 1 
 32 34  32n  2 2 2  2
 2 4 2n 
 3 3 3 n
 Có dãy số 32 ,34 ,,32n là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu 
 34 1 qn 1 9n 9
 2 n 
u1 3 và công bội q 9 . Do đó S1 u1. 9. 9 1 .
 32 1 q 1 9 8
 1 1 1
 Có dãy số , ,, là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu 
 32 34 32n
 1
 n 1 n
 1 1 1 q 1 9n 1 1 9 1
u và công bội q . Do đó S u . . 1 
 1 2 9 1 1 1 q 9 1 8 n n
 3 1 9 8.9
 9
.
 n n 1
 9 9n 1 9 1 9 1 
 n 
Vậy Sn 9 1 2n 2n .
 8 8.9n 8.9n
 6 
d). S 6 66 666  666...6 9 99 999  999...9 
 n   
 n so 6 9 n 
 2
 (10 1) (100 1) (1000 1)  (10n 1) 
 3 
 2 2 10n 1 20 2n
 2 3  n n .
 10 10 10 10 n 10. n 10 1 
 3 3 10 1 27 3
 DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số nhân, chứng minh đẳng thức:
Ví dụ : Cho a, b, c, d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng 
minh: 3 3
a). ab bc ca abc a b c 
 2
b). a2 b2 b2 c2 ab bc 
c). a b c a b c a2 b2 c2
 2 2 2 2
d). b c c a d b a d 
 2 2 2 1 1 1 3 3 3
e). a b c a b c
 a3 b3 c3 
 LỜI GIẢI
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac b2 .
 3 3 3 3
a). Ta có abc a b c b3 a b c ab b2 bc ab bc ca (đpcm).
b). Ta có: a2 b2 b2 c2 a2 b2 a2c2 b4 b2c2 a2 b2 2b4 b2c2
 2
 a2 b2 2ab.bc b2c2 ab bc (đpcm).
 2 2
c). Ta có a b c a b c a c b a c b a c b
 a2 2ac c2 b2 a2 2b2 c2 b2 a2 b2 c2 (đpcm).
d). Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có: a.d bc,a.c b2 ,b.d c2
 2 2 2
Khai triển: b c c a d b a2 2b2 2c2 d2 2bc 2ca 2bd
 a2 2b2 2c2 d2 2ad 2b2 2c2
 a2 2ad d2
 2
 a d 
 2 2 2 2 2 2
 2 2 2 1 1 1 b c a c a b
e). Có: a b c (1). Ta có 
 a3 b3 c3 a b c
 ac3 b2c2
ac b2 a3c b2a2
 2 2 4
 a c b
 3 4 3
 2 2 2 1 1 1 ac b a c 3 3 3
 1 a b c a b c (điều phải chứng minh).
 a3 b3 c3 a b c
 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Cho cấp số nhân un . Tìm u1 và q, biết rằng: 35
 u2 u3 u4 
 2
 u u u 65
1) u u 25 2) 1 3 5 3)
 1 5 
 u1 u7 325.
 u 0 i 1,...,5
 i 
 u u u 42
 2 4 6
 u3 u5 20
 u u u u 15
 1 2 3 4
4) u1 u6 165; u3 u4 60. 5). 2 2 2 2 
 u1 u2 u3 u4 85.
 u u u 13 8u 5 5u 0 u u u 1728
6) 1 2 3 7) 2 5 8) 1 2 3 
 u u u 351 3 3 u u u 63
 4 5 6 u1 u3 189 1 2 3
 u1 u3 3 u1 u2 u3 7
9). 2 2 10). 2 2 2
 u1 u3 5 u1 u2 u3 21
 LỜI GIẢI
 35
 u2 u3 u4 
 2 2 3 35
 u1.q u1.q u1.q 1 
1). u1u5 25 2 
 4 
 u 0 i 1,,,5 u1.u1.q 25 2 
 i 
 2 2 2 5
 2 u1.q 5 u1.q 5 u1 thay vào (1) được:
 q2
 5 35 1
 q q2 q3 2 1 q q2 79 2q2 5q 2 0 q 2  q .
 q2 2 2
 5 1
Với q 2 u . Với q u 20. 
 1 4 2 1
 2 4 2 4 
 u u u 65 u u q u q 65 u1 1 q q 65 1 
2). 1 3 5 1 1 1 
 u u 325. u u q6 325. u 1 q6 325 2
 1 7 1 1 1 
 6 2 2 4
 2 1 q 325 1 q 1 q q 3
Lấy: 5 vi 1+q6 1 q2 
 1 1 q2 q4 65 1 q2 q4 
 1 q2 5 q2 4 q 2.
 65 65
Với . Với 
 q 2 u1 2 4 5 q 2 u1 2 4 5.
 1 2 2 1 2 2 
 3 5 2 4 
 u u u 42 u .q u .q u .q 42. u1.q 1 q q 42 1 
3). 2 4 6 1 1 1 
 2 4 2
 u3 u5 20 u .q u .q 20 u .q 1 q 20 2
 1 1 1 1 1 q2 q4 21
Lấy: 10 10q2 10q4 21q 21q3 
 2 q 1 q2 10
 21 10
 10q4 21q3 10q2 21q 10 0 10q2 21q 10 10
 q q2
 1 1 
 10 q2 21 1 10 0 
 2 
 q q 
 2
 1 1 1
Đặt: 2 2 2 Điều kiện 
 t q t q q 2 t 2. t 2
 q q q
 5 2
 10 t2 2 21t 10 0 10t2 21t 10 0 t=  t (loại).
 2 5
 5 1 5 1
Với t q 2q2 5q 2 0 q  q 2 
 2 q 2 2
 1 20 20
 Nếu 
 q u1 2 4 2 4 64
 2 q q 1 1 
 2 2 
 20 20
 Nếu q 2 u 1. 
 1 q2 q4 22 24
4). u1 u6 165; u3 u4 60. 
 5 5
 u u q 165 u1 1 q 165 1 
 1 1 
 u q2 u q3 60 2 
 1 1 u1q 1 q 60 2 
 2 3 4
 1 1 q5 11 1 q 1 q q q q 11
Lấy 
 2 q2 1 q 4 q2 1 q 4
 4 1 q q2 q3 q4 11q2 4q4 4q3 7q2 4q 4 0
 4q4 4q3 7q2 4q 4 1 1 
 0 4 q2 4 q 7 0 
 2 2 2 2 2 2 
 q q q q q q q 
 2
 1 1 1
Đặt: 2 2 2 Điều kiện: 
 t q t q q 2 t 2. t 2.
 q q q
 5 3
 4 t2 2 4t 7 0 4t2 4t 15 0 t  t (loại).
 2 2
 5 1 5 1
Với t q 2q2 5q 2 0 q 2  q = 
 2 q 2 2
 165 165 1 165 165
 với với 
 q 2 u1 5 2 5 5 q u1 2 5 160.
 1 q 1 2 2 1 q 1 
 1 
 2 u u u u 15 u u q u q2 u q3 15
5). 1 2 3 4 1 1 1 1 
 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6
 u1 u2 u3 u4 85. u1 u1 q u1 q u1q 85.
 2
 u 1 q q2 q3 15 2 2 3 2
 1 u1 1 q q q 15 1 
 u 2 1 q2 q4 q6 85. u 2 1 q2 q4 q6 85 2 .
 1 1 
 2 2
 2 3 2
 1 1 q q q 45 1 q q 1 q 45
Lấy 
 2 1 q2 q4 q6 17 1 q2 q4 1 q2 17
 2
 2 2 2 2 2
 1 q 1 q 45 1 q 1 q 45 1 2q q 1 q 45
 1 q2 1 q4 17 1 q4 17 1 q4 17
 17 1 q2 2q 2q3 q2 q4 45 1 q4 
 28q4 34q3 34q2 34q 28
 28q4 34q3 34q2 34q 28 0 0 (vì dễ 
 q2 q2 q2 q2 q2
dàng thấy q 0 )
 34 1 1 
 28q2 34q 34 28 0 14 q2 17 q 17 0 
 2 
 q q q 
 2
 1 1 1
Đặt 2 2 2 . Điều kiện: 
 t q t q q 2 t 2 t 2.
 q q q
 5 9
 14 t2 2 17t 17 0 14t2 17t 45 0 t  t (loại)
 2 7
 5 1 5 1
Với t q 2q2 5q 2 0 q 2  q = 
 2 q 2 2
 1 15
 với q 2 u 1. với q u 8. 
 1 2 1 1 q q2 q3
 2 
 u u u 13 u1 1 q q 13 
6). 1 2 3 
 3 2
 u4 u5 u6 351 u q 1 q q 351 
 1 
 13 13
Lấy q3 27 q 3 u 1. 
 1 1 q q2 1 3 9
 8u2 5 5u5 0
7). 1 
 3 3 
 u1 u3 189.
 3
 3 3 8 2 2
 4 
 8u q 5 5u q 0 8 5 5q q q 
 1 1 5 5 5 5
 1 3 
 3 2
 u u q 189. 3 6 3 189
 1 1 u 1 q 189 u 125 u 5.
 1 1 6 1
 1 q u u u 1728
8). 1 2 3 1 
 u1 u2 u3 63
 2 3 3 
 u .u .q.u .q 1728 u1q 12 u1q 12
 1 1 1 1 
 2 2 2
 u u q u q 3 u 1 q q 63 u1 1 q q 63
 1 1 1 1 
 12
 u 12
 1 q 4 u1 3
 q u1 
 q 1
 12 2 2 q u1 48.
 1 q q 63 12q 51q 12 0 4
 q
 2
 u 1 q2 3 2 2 
 u1 u3 3 1 u1 1 q 9 
9). 
 2 2 4 2 4
 u1 u3 5 u 1 q 5 u 1 q 5 
 2 1 
 2
 2
 1 q 9
Lấy . Đặt: t q2 ,t 0. 
 1 q4 5
 2 1
 5 1 t 9 1 t2 4t2 10t 4 0 t 2  t = 
 2
Với t 2 q 2 
 3 3
 q 2 u 1 q 2 u 1
 1 1 q2 1 1 q2
 1 2
Với t q 
 2 2
 2 3 2 3
 q u 2 q u 2.
 2 1 1 q2 2 1 1 q2
 u u q u q2 7
 u1 u2 u3 7 1 1 1
10). 2 2 
 u 2 u 2 u 2 21 u 2 u q u q2 21
 1 2 3 1 1 1 
 2
 u 1 q q2 7 2 2
 1 u1 1 q q 49 
 . Lấy được: 
 u 2 1 q2 q4 21 u 2 1 q2 q4 21 
 1 1 
 2
 2
 1 q q 49
 21 1 q2 q4 2q 2q2 2q3 49 1 q2 q4 
 1 q2 q4 21
 21 1 2q 3q2 2q3 q4 49 1 q2 q4 28q4 42q3 14q2 42q 28 0.
 28q4 42q3 14q2 42q 28 42 28
 0 28q2 42q 14 0
 q2 q2 q2 q2 q2 q q2