Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Bài 3: Cấp số cộng (Có lời giải)

 CẤP SỐ CỘNG
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Cấp số cộng là một dãy số ( vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số 
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và 
một số d không đổi, nghĩa là:
( un ) là cấp số cộng n 2,un un 1 d 
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
2.Định lý 1: Nếu ( un ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số 
hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng 
 u u
của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là u k 1 k 1 
 k 2
 Hệ quả: Ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng 
 a c 2b .
1). Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số 
hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức sau: un u1 n 1 d 
2). Định lý 3: Giả sử un là một cấp số cộng có công sai d. 
 n
Gọi Sn  uk u1 u2 ... un 
 k 1
( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có :
 n 2u n 1 d 
 n u1 un 1 
S .
 n 2 2
 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
DẠNG 1: Chứng minh một dãy số un là cấp số cộng.
PHƯƠNG PHÁP
Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét A un 1 un
 Nếu A là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai d A .
 Nếu A phụ thuộc vào n thì un không là cấp số cộng.
Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và 
công sai của cấp số cộng đó:
a). Dãy số un với un 19n 5 b). Dãy số un với un 3n 1
 2 n
c). Dãy số un với un n n 1 d). Dãy số un với un 1 10n
 LỜI GIẢI
a). Dãy số un với un 19n 5 Ta có un 1 un 19 n 1 5 19n 5 19 . Vậy un là một cấp số cộng với 
công sai d 19 và số hạng đầu u1 19.1 5 14 .
b). Dãy số un với un 3n 1
Ta có un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3 . Vậy un là một cấp số cộng với 
công sai d 3 và số hạng đầu u1 3.1 1 2 .
 2
c). Dãy số un với un n n 1
 2 2
Ta có un 1 un n 1 n 1 1 n n 1 2n 2 , phụ thuộc vào n
Vậy un không là cấp số cộng.
 n
d). Dãy số un với un 1 10n
Ta có 
 n 1 n n n n
u u 1 10 n 1 1 10n 1 10 1 10 2 1 , phụ 
 n 1 n 
thuộc vào n. Vậy un không là cấp số cộng.
DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng 
thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.
PHƯƠNG PHÁP
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương 
trình này tìm được u1 và d.
Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng công 
thức: uk u1 k 1 d .
Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng 
 k u1 uk k 2u1 (k 1)d 
công thức: S 
 k 2 2
Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số 
hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng: 
 u 19 u u u 10 u u 14 u 8
a) 5 b) 2 3 5 c) 3 5 d) 6
 2 2
 u9 35 u4 u6 26 s12 129 u2 u4 16
 LỜI GIẢI
 u5 19
a) 1 . Áp dụng công thức un u1 n 1 d , ta có: 
 u9 35
 u 4d 19 u 3
 1 1 1
 u1 8d 35 d 4
Vậy số hạng đầu tiên u1 3 , công sai d 4 .
Số hạng thứ 20: u20 u1 19d 3 19.4 79 . 20 2u 19d 
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S 1 10 2.3 19.4 820
 20 2
 u2 u3 u5 10
b) 1 . Ta cũng áp dụng công thức un u1 n 1 d : 
 u4 u6 26
 u d u 2d u 4d 10 u 3d 10 u 1
 1 1 1 1 1 1 
 2u 8d 26 d 3.
 u1 3d u1 5d 26 1 
Vậy số hạng đầu tiên u1 1, công sai d 3 .
Số hạng thứ 20: u20 u1 19d 1 19.3 58 .
 20 2u 19d 
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S 1 10 2.1 19.3 590
 20 2
 u3 u5 14
c) 1 . Áp dụng công thức un u1 n 1 d , 
 s12 129
 n 2u1 (n 1)d 
 S Ta có: 
 n 2
 5
 u 
 u 2d u 4d 14 1
 1 1 2u1 6d 14 2
 1 
 6 u u 129 12u 66d 129 3
 1 12 1 d .
 2
 5 3
Vậy số hạng đầu tiên u , công sai d .
 1 2 2
 5 3
Số hạng thứ 20: u u 19d 19. 31 .
 20 1 2 2
 20 2u1 19d 5 3 
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S20 10 2. 19. 335
 2 2 2 
 u 5d 8 u 8 5d
 u6 8 1 1
d) 2 2 2 2 
 u 2 u 2 16 
 2 4 u1 d u1 3d 16 8 5d d 8 5d 3d 16
 u1 8 5d
 2 2
 8 4d 8 2d 16 
 14
Giải : 20d2 96d 112 0 d  d = 2 . 
 5
 14
Với d u 6 
 5 1
 14 236
Số hạng thứ 20: u u 19d 6 19. .
 20 1 5 5
 20 2u1 19d 14 
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S20 10 2.( 6) 19. 412
 2 5 
Với d 2 u1 2 Số hạng thứ 20: u20 u1 19d 2 19.2 36 .
 20 2u 19d 
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S 1 10 2.( 2) 19.2 340
 20 2
DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức:
Ví dụ: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh 
rằng:
a). a2 2bc c2 2ab 
 2
b). a2 8bc 2b c 
c). a2 ab b2 ,a2 ac c2 ,b2 bc c2 là cấp số cộng.
 LỜI GIẢI
a). Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: 
a c 2b a 2b c 
Ta có: a2 2ab a2 a a c ac c 2b c c2 2bc 
Vậy a2 2ab c2 2bc a2 2bc c2 2ab. 
 2
b). Ta có a2 8bc 2b c 8bc 
 2
 4b2 4bc c2 8bc 4b2 4bc c2 2b c . 
c). Ta cần chứng minh:
 a2 ab b2 b2 bc c2 2 a2 ac c2 
 2b2 ab bc a2 2ac c2 
 2
 2b2 b a c a c 
 2
 2b2 2b2 2b 
 4b2 4b2 (đúng).
 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
 u 27 u 5u u u u 7
a). 7 b). 9 2 c). 2 4 6 
 u15 59 u13 2u6 5 u8 u7 2u4
 u u 8 u u 60 u 2 u 2 u 2 155
d). 3 7 e). 6 7 f). 1 2 3 
 2 2
 u2 .u7 75 u4 u12 1170 s3 21
 LỜI GIẢI
Gọi số hạng đầu là u1 và công sai là d . 
 u 27 u 6d 27 u 3
a). 7 1 1 
 u15 59 u1 14d 59 d 4 
 u 5u u1 8d 5 u1 d 4u 3d 0 u 3
b). 9 2 1 1 
 u 2u 5 u 2d 5 d 4
 13 6 u1 12d 2 u1 5d 5 1 
 u u u 7
c) 2 4 6 1 
 u8 u7 2u4
 u1 d u1 3d u1 5d 7 u d 7 u 5
 1 1 1 
 2u 5d 0 d 2.
 u1 7d u1 6d 2 ul 3d 1 
 u u 8
d) 3 7 1 
 u2 .u7 75
 u1 2d u1 6d 8 4d 8 d 2
 1 
 u d u 6d 75 u 2 u 12 75 
 u1 d u1 6d 75 1 1 1 1 
 2 u1 3
Giải u1 14u1 51 0 
 u1 17
 u 3 u 17
Vậy 1 hoặc 1
 d 2 d 2.
 u6 u7 60
e). 2 2 1 
 u4 u12 1170
 2u 20d 60
 u1 6d u1 14d 60 1
 1 2 2
 u 2 u 2 1170 
 4 12 u1 3d u1 11d 1170
 u1 30 10d
 2 2
 30 10d 3d 30 10d 11d 1170 
 2 2 21
Giải : 30 7d 30 d 1170. 50d2 360d 630 0 d  d = 3
 5
 21
Với d u 12 . Với d 3 u 0 
 5 1 1
 u 2 u 2 u 2 155
f). 1 2 3
 s3 21
Ta có: S3 21 u1 u2 u3 21 u1 u1 d u1 2d 21 d 7 u1. 
 2 2 2 2 2 2
Ta có: u1 u2 u3 155 u1 u1 d u1 2d 155 
 2 2 2 2 2
 u1 u1 7 u1 u1 14 2u1 155 u1 49 14 u1 155
 2u1 28u1 90 0 u1 9  u1 5
Với u1 9 d 2 . Với u1 5 d 2 
Câu 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: S 12 u u u 9 u u u u 16
1) 3 2) 1 2 3 3) 1 2 3 4 
 2 2 2 2 2 2 2
 S5 35 u1 u2 u3 35 u1 u2 u3 u4 84
 S 20
 S 5 4
4) 5 5) 1 1 1 1 25 
 u1.u2 .u3 .u4 .u5 45 
 u1 u2 u3 u4 24
 5
 u u 
 1 5
 u1 u2 u3 u4 u5 20 u1 u2 u3 12 3
6) 7) 8) 
 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 170 u .u .u 8 65
 1 2 3 4 5 1 2 3 u .u 
 3 4 72
 LỜI GIẢI
 3
 2u 2d 12
 1 
 S3 12 2 2u1 2d 8 u1 1
1) 
 S 35 5 2u 4d 14 d 3.
 5 2u 4d 35 1 
 2 1
 u u d u 2d 9
 u1 u2 u3 9 1 1 1
2) 2 2
 u 2 u 2 u 2 35 2 
 1 2 3 u1 u1 d u1 2d 35
 u 3 d 
 1 u1 3 d u1 3 d
 2 2 
 2 2 
 3 d 3 3 d 35 d 4 d 2
Với d 2 u1 1 . Với d 2 u1 5. 
 u u u u 16 u u d u 2d u 3d 16
 1 2 3 4 1 1 1 1
3) 2 2 2 2 2 2 2 2
 u1 u2 u3 u4 84 u1 u2 u3 u4 84
 4u1 6d 16 1 
 2 2 2
 2 
 u1 u1 d u1 2d u1 3d 84 2 
 16 6d 3
Từ 1 u 4 d thay vào 2 được: 
 1 4 2
 2 2 2 2
 3 3 3 3 
 4 d 4 d d 4 d 2d 4 d 3d 84 
 2 2 2 2 
 2 2 2 2
 3 d d 3d 2 2
 4 d 4 4 4 84 64 5d 84 d 4 d 2
 2 2 2 2 
Với d 2 u1 1 . Với d 2 u1 7 
 5
 S 5 2u 4d 5 2u 4d 2 u 1 2d (1)
4) 5 2 1 1 1
 u .u .u .u .u 45
 1 2 3 4 5 
 u1 u1 d u1 2d u1 3d u1 4d 45 (2)
Thay (1) vào (2):
 1 2d 1 2d d 1 2d 2d 1 2d 3d 1 2d 4d 45 1 2d 1 d 1 d 1 2d 45 1 2d 1 2d 1 d 1 d 45
 1 4d2 1 d2 45. Đặt t d2 , t 0 
 1 4t 1 t 45 4t2 5t 44 0
 11
 t 4 (nhận) hoặc t ( loại) d2 4 d 2 
 4
Với d 2 u1 3 . Với d 2 u1 5. 
 S 20 2 2u 3d 20
 4 1
5). 1 1 1 1 25 1 1 1 1 25
 u u u u 24 
 1 2 3 4 u1 u2 u3 u4 24
 3
 u1 5 d
 2
 1 1 1 1 25
 2 
 3 3 3 3 24
 5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d
 2 2 2 2
 1 1 1 1 25 10 10 25
 2 
 3 3 d d 24 9d2 d2 24
 5 d 5 d 5 5 25 25 
 2 2 2 2 4 4
 d2
Đặt: t; t 0. 
 4
 10 10 25 2 25 t 2 25 9t 5 100 20t 5
 25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24
 145
 24 20 4t 25 9t 25 t 9t2 154t 145 0 t  t = 1 
 9
 145 145 145
 t d2 d 
 9 9 3
 145 145 145 145
Với d u 5 . Với d u 5 
 3 1 2 3 1 2
 t 1 d2 1 d 1 
 3 7 3 13
Với d 1 u 5 . Với d 1 u 5 . 
 1 2 2 1 2 2
 u u u u u 20 u u d u 2d u 3d u 4d 20
 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1
6) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 u1 u2 u3 u4 u5 170 u1 u2 u3 u4 u5 170
 5u1 10d 20 u1 4 2d
 2 2 2 2
 2 
 u1 u1 d u1 2d u1 3d u1 4d 170 2 
Thay: u1 4 2d vào 2 được: 2 2 2 2 2
 4 2d 4 2d d 4 2d 2d 4 2d 3d 4 2d 4d 170 
 2 2 2 2
 4 2d 4 d 42 4 d 4 2d 170
 80 10d2 170 d2 9 d 3.
Với d 3 u1 4 6 2 . Với d 3 u1 4 6 10. 
 u u u 12 u u d u 2d 12
7). 1 2 3 1 1 1
 u1.u2 .u3 8 u1.u2 .u3 8
 3u1 3d 12 u1 4 d 1 
 u u d u 2d 8 
 1 1 1 u1 u1 d u1 2d 8 2 
Thay (1) vào (2) ta được: 
 4 d 4 d d 4 d 2d 8 4 d d 4 2 
 d2 16 2 d2 18 d 3 2
Với d 3 2 u1 4 3 2 . Với d 3 2 u1 4 3 2. 
 5 5
 u1 u5 u1 u1 4d .
 3 3
8) 
 65 65
 u .u u 2d u 3d 
 3 4 72 1 1 72
 5 5 1
 u 2d 
 1 u1 2d u1 
 6 6 3
 5 5 65 5 13 1
 2d 2d 2d 3d d d .
 6 6 72 6 12 4
Câu 3: Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng 
sau, biết rằng:
 S 34 u 10 S S S S 2S
a). 12 b). 5 c). 20 10 5 d). 20 10
 S18 45 S10 5 5 3 2 S15 3S5
 LỜI GIẢI
 12 2u 11d 32
 1 u 
 34 1
 S12 34 2 6u1 33d 17 9
a). 
 S18 45 18 2u1 17d 2u1 17d 5 1
 45 d 
 2 9
 33 1
 u u n 1 d n 
 n 1 9 9
 u1 4d 10
 u5 10 u1 4d 10 u1 86
b). 10 2u 9d 
 1 
 S10 5 5 2u1 9d 1 d 19
 2
 un u1 n 1 d 105 19n 
 S S 20 2u1 19d 10 2u1 9d 
 20 10 
 S20 S10 S5 5 3 10 6
c). 
 5 3 2 S10 S5 10 2u1 9d 5 2u1 4d 
 3 2 6 4
 2u1 55d 0 u1 0
 un 0
 2u1 24d 0 d 0
 S 2S 20 2u1 19d 20 2u1 9d d 0
d). 20 10 u u ¡
 S 3S u ¡ n 1
 15 5 15 2u1 14d 15 2u1 4d 1
Câu 4: Cho cấp số cộng: u1 ; u2 ; u3 ;.... có công sai d.
1). Biết u2 u22 40. Tính S23 
2). Biết u1 u4 u7 u10 u13 u16 147. Tính u6 u11  u1 u6 u11 u16 
4). Biết u4 u8 u12 u16 224. Tính: S19 
5). Biết u23 u57 29 . Tính: u10 u70 u157 3u1 
 LỜI GIẢI
1). Biết u2 u22 40. Tính S23 
Ta có: u2 u22 40 u1 d u1 21d 40 2u1 22d 40 
 23 23
Mà S 2u 22d .40 460. 
 23 2 1 2
2). Biết u1 u4 u7 u10 u13 u16 147. Tính u6 u11  u1 u6 u11 u16 
Có: u1 u4 u7 u10 u13 u16 147. 
 u1 u1 3d u1 6d u1 9d u1 12d u1 15d 147.
 6u1 45d 147 2u1 15d 49.
Ta có: u6 u11 u1 5d u1 10d 2u1 15d 49. 
Ta có: u1 u6 u11 u16 u1 u1 5d u1 10d u1 15d 
 4u1 30d 2 2u1 15d 2.49 98.
4). Biết u4 u8 u12 u16 224. Tính: S19 
Có: u4 u8 u12 u16 224 
 u1 3d u1 7d u1 15d 224 4u1 36d 224 u1 9d 56
 19
Ta có: S 2u 18d 19 u 9d 19.56 1064. 
 19 2 1 1
5). Biết u23 u57 29 . Tính: u10 u70 u157 3u1 
Ta có: u23 u57 29 u1 22d u1 56d 29 2u1 78d 29. 
Ta có: 3u1 u10 u70 u157 3u1 u1 9d u1 69d u1 156d 6u1 234d 3 2u1 78d 3.29 87
Câu 5: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 
27 và tổng các bình phương của chúng là 293. 
 LỜI GIẢI
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u1 ; u2 ; u3 . Theo đề bài ta có:
 u1 u2 u3 27 1 
 2 2 2 
 u1 u2 u3 293 2 
 1 u1 u1 d u1 2d 27 3u1 3d 27 d 9 u1. 
 2 2 2
 2 u1 u1 d u1 2d 293 
 2 2 2 2 2
 u1 u1 9 u1 u1 18 2u1 293 u1 81 18 u1 293
 2
 2u1 36u1 112 0 u1 14  u1 4
Với u1 14 d 5 u2 9; u3 4. 
Với u1 4 d 5 u2 9; u3 14. 
Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của CSC là u1 u d,u2 u,u3 u d với 
công sai d
Câu 6: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích 
của chúng là 384.
 LỜI GIẢI
Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u1 ,u2 ,u3 ,u4 có công sai d.
 u1 u2 u3 u4 20 1 
Theo đề bài ta có: 
 u1.u2 .u3 .u4 384 2 
 1 u1 u1 d u1 2d u1 3d 20 
 20 6d 3
 4u 6d 20 u 5 d.
 1 1 4 2
 2 u1 u1 d u1 2d u1 3d 384. 
 3 3 3 3 
 5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d 384
 2 2 2 2 
 3 3 d d 9d2 d2 
 5 d 5 d 5 5 384 25 25 384.
 2 2 2 2 4 4 
 d2
Đặt t ,t 0. 
 4
 241
 25 9t 25 t 384 9t2 250t 241 0 t  t 1. 
 1 9 2
Cách 2: gọi u1 u 3d, u2 u d, u3 u d, u4 u 3d