Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 3 - Bài 2: Dãy số (Có lời giải)

 DÃY SỐ
 TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1). Dãy số: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* 
được gọi là một dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là là dãy số). Mỗi giá trị của hàm 
số u được gọi là một số hạng của dãy số, u 1 được gọi là số hạng thứ nhất 
( hay số hạng đầu), u 2 được gọi là số hạng thứ hai Người ta thường kí 
hiệu các giá trị u 1 ,u 2 tương ứng bởi u1 ,u2, ,
2).Người ta thường kí hiệu dãy số u u n bởi un và gọi un là số hạng 
tổng quát của dãy số đó. Người ta cũng thường viết dãy số un dưới dạng 
khai triển: u1 ,u2 ,...,un ,... Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm số u xác định 
trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên( m tùy ý thuộc N*) là một 
dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng ( m số 
hạng: u1 ,u2 ,...,um ). Vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn, u1 gọi là 
số hạng đầu và um gọi là số hạng cuối.
3). Các cách cho một dãy số:
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
 2
Ví dụ: Cho dãy un với un 2n 3n 2 
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay quy nạp):
 Cho số hạng thứ nhất u1 ( hoặc một vài số hạng đầu).
 Với n 2 , cho một công thức tính un nếu biết un 1 ( hoặc vài số hạng 
đứng ngay trước nó).
 u 1
 1  
Ví dụ: Cho dãy số un xác định bởi 3 n 1. 
 un 1 un n
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
Ví dụ: Cho đường tròn O bán kính R. Cho dãy un với un là độ dài cung 
 2 
tròn có số đo là của đường tròn O . 
 n
4). Dãy số tăng: un là dãy số tăng n N*,un un 1. 
5). Dãy số giảm: un là dãy số giảm n N*,un un 1.
6). Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu . Tính 
chất tăng, giảm của một dãy số được gọi chung là tính chất đơn điệu của dãy 
số đó.
7). Dãy số bị chặn trên: un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một 
số M sao cho n N*,un M . 8). Dãy số bị chặn dưới: un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại 
một số m sao cho n N*,un m .
9). Dãy số bị chặn: un được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, 
vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho 
n N*,m un M 
 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát un theo n
PHƯƠNG PHÁP:
 n
 Nếu un có dạng un a1 a2 ... ak ... an (kí hiệu un ak ) thì biến đổi 
 k 1
ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .
 Nếu dãy số un được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu 
của dãy số ( chẳng hạn tính u1 ,u2 ,... ), từ đó dự đoán công thức tính un theo 
n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng 
có thể tính hiệu un 1 un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.
VÍ DỤ
 n
Ví dụ 1: Cho dãy số . Đặt . Tính và xác định 
 an un ak u1 ,u2 ,u3 ,u4
 k 1
công thức tính un theo n trong các trường hợp sau:
 1 1 1 1
a). ak b). ak c). ak d). ak 
 k k 1 k k 4 4k2 1 k k 1 k 2 
 LỜI GIẢI
 1 1 1 1 2
a). u a ; u a a 
 1 1 1.2 2 2 1 2 2 2.(2 1) 3
 2 1 3
 u a a a u a 
 3 1 2 3 2 3 3 3(3 1) 4
 3 1 4
 u a a a a u a 
 4 1 2 3 4 3 4 4 4.5 5
 1 1 1
Ta có a , do đó: 
 k k k 1 k k 1
 n 1 1 1 1 1 1 1 1
u a 1 ... 1 .
 n  k 
 k 1 2 2 3 n 1 n n n 1 n 1
b). 
 1 1 1 1 17
u a ; u a a 
 1 1 1.(1 4) 5 2 1 2 5 2(2 4) 60 17 1 139
 u a a a u a 
 3 1 2 3 2 3 60 3(3 4) 420
 139 1 1127
 u a a a a u a 
 4 1 2 3 4 3 4 420 4.(4 4) 3360
 1 1 1 1 
Ta có ak . Do đó 
 k k 4 4 k k 4 
 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 u a [ 1 ... 
 n  k 
 k 1 4 5 2 6 3 7 4 8 5 9 n 5 n 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ]
 n 4 n n 3 n 1 n 2 n 2 n 1 n 3 n n 4 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 un 1 
 4 2 3 4 n 1 n 2 n 3 n 4 
 1 25 1 1 1 1 
 4 12 n 1 n 2 n 3 n 4 
 1 1
c). ak 
 4k2 1 2k 1 2k 1 
Ví dụ 2: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo 
 u 3 u 2
n của các dãy số sau : a). 1 b). 1 
 un 1 un 2 un 1 2un .
 LỜI GIẢI
 u 3
a). 1 
 un 1 un 2
Ta có: 
 u2 u1 2 3 2 5. 
 u3 u2 2 5 2 7. 
 u4 u3 2 7 2 9. 
 u5 u4 2 9 2 11. 
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:
 un 2n 1 n 1 
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức 
đúng.
Với n 1; u1 2.1 1 3 (đúng). Vậy đúng với n 1. 
Giả sử đúng với n k. Có nghĩa ta có: uk 2k 1 2 
Ta cần chứng minh đúng với n k 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1 2 k 1 1 2k 3. 
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo 2 ta có:
uk 1 uk 2 2k 1 2 2k 3. 
Vậy đúng khi n k 1. Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.
 u 2
b). 1 
 un 1 2un .
Ta có:
 2
u2 2u1 2.2 4 2 
 3
u3 2u2 2.4 8 2 
 4
u4 2u3 2.8 16 2 
 5
u5 2u4 2.16 32 2 
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: 
 n
un 2 n 1 
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức 
đúng.
 1
Với n 1, có: u1 2 2 (đúng). Vậy đúng với n 1 
 k
Giả sử đúng với n k , có nghĩa ta có: uk 2 2 
Ta cần chứng minh đúng với n k 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:
 k 1
uk 1 2 . 
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo 2 ta có:
 k k 1
uk 1 2.uk 2.2 2 . 
Vậy đúng với n k 1. Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.
 u 1
 1  
Ví dụ 3: Dãy số un được xác định bằng cộng thức: 3 n 1. 
 un 1 un n
a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số.
 LỜI GIẢI
 3 3
a). Ta có: un 1 un n un 1 un n . 
Từ đó suy ra:
u1 1 
 3
u2 u1 1 
 3
u3 u2 2 
 3
u4 u3 3 .............. 
 3
un 1 un 2 n 2 
 3
un un 1 n 1 
Cộng từng vế n đẳng thức trên:
 3 3 3 3 3
u1 u2 u1 u3 u2 ... un 1 un 2 un un 1 1 1 2 3 ... n 2 n 1 
 3 3 3 3 3
 un 1 1 2 3 ... n 2 n 1 . 
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 
 2 2
 3 n 1 .n
13 23 33 ... n 1 
 4
 2
 n2 n 1 
Vậy u 1 
 n 4
 1002.992
b). u 1 24502501. 
 100 4
VẤN ĐỀ 2: 
Tính tăng, giảm của dãy số.
PHƯƠNG PHÁP
Cách 1: Xét dấu của biểu thức un 1 un 
 Nếu n N*,un 1 un 0 thì un là dãy số tăng;
 Nếu n N*,un 1 un 0 thì un là dãy số giảm.
 un 1
Cách 2: Khi n N*,un 0 thì có thể so sánh với 1
 un
 un 1
 Nếu 1 thì un là dãy số tăng;
 un
 un 1
 Nếu 1 thì un là dãy số giảm.
 un
Cách 3: Nếu dãy số un được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử 
dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh un 1 un (hoặc 
un 1 un )
Chú ý:
 Nếu k N* : uk 1 uk thì dãy số un không giảm.
 Nếu k N* : uk 1 uk thì dãy số un không tăng.
Ví dụ 1 : Xét tính tăng giảm của dãy số un biết:
 1 n 1 n n
a). un 2 b). un c). un ( 1) 2 1 
 n n 1 3n
d). u e). u 2n 4n2 1
 n 2n 1 n
 LỜI GIẢI
 1 1 1 1 1
a). un 1 un 2 2 0 n ¥ *
 n 1 n n 1 n n(n 1)
Kết luận dãy số un là dãy số giảm.
 n 1 2
b). u 1 
 n n 1 n 1
 2 2 1 1 1
Ta có un 1 un 1 1 0 n ¥ *
 n 2 n 1 n 1 n 2 (n 1)(n 2)
Kết luận dãy số un là dãy số tăng.
 n n
c). un ( 1) 2 1 
Ta có u1 3,u2 5,u3 9 , từ đó suy ra dãy số un là dãy không tăng 
không giảm.
 3n
d). u . Dễ thấy u 0 n N 
 n 2n 1 n
 u 3n 2n 2 2
Xét tỉ số: n . Vậy là một dãy số tăng.
 n 1 . n 1 1. un un 1 un 
 un 1 2 3 3
 2
e). un 2n 4n 1
 4n2 4n2 1
 2 1
Ta có: un 2n 4n 1 
 2n 4n2 1 2n 4n2 1
 1 1
Ta có: un 1 un ;n N * 
 2 2
 2 n 1 4 n 1 1 2n 4n 1
 2
Vì: 2 n 1 4 n 1 1 2n 4n2 1;n N* 
 1 1
 0;n N *
 2 2
2 n 1 4 n 1 1 2n 4n 1
 un 1 un 0,n N * . Vậy: dãy số un giảm.
Ví dụ 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số un được cho bởi hệ thức truy 
hồi sau:
 u1 3
 u2 2 
a). b). 2u 
  u n
 un 1 2un 3, n N n 1
 3 un
 LỜI GIẢI u2 2
a). 
  
 un 1 2un 3, n N
Vì u2 2u1 3 7 u1 , ta dự đoán un 1 un với mọi n 1. 
Ta có đúng với n 1. 
Giả sử ta có: uk uk 1. Khi đó ta có:
uk 1 2uk 3 2uk 1 3 uk ( do uk uk 1 ) 
Suy ra đúng với mọi n N , suy ra un là dãy số tăng.
 u 3
 1
b). 2u 
 n
 un 1
 3 un
Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy un 0 với mọi n N 
 2u1 6
Ta có: u2 1 u1. 
 3 u1 6
Ta dự đoán un 1 un với mọi n N .
Ta có đúng khi n 1. Giả sử có uk uk 1 
 2uk 2uk 6 6 6
Khi đó uk 1 2 . 
 3 uk 3 uk uk 3
 6 6 6
Vì uk uk 1 nên uk 1 2 uk . 
 uk 3 uk 1 3 uk 1 3
Suy ra đúng với mọi n N . Vậy un là dãy số giảm.
VẤN ĐỀ 3: Dãy số bị chặn.
PHƯƠNG PHÁP
 n
1). Nếu un ak thì:
 k 1
 Thu gọn un , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un .
 n
 Ta cũng có thể chặn tổng ak bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn 
 k 1
trên, chặn dưới của nó.
2). Nếu dãy số (un ) ho bởi một hệ thức truy hồi thì:
 Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng 
minh quy nạp.
 Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình 
un 1 un dựa vào đó chặn (un ).
 2n 1
Ví dụ 1: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : u ; n N * 
 n n 3 LỜI GIẢI
Ta có: 
 2n 1 2n 1 2n2 7n 3 2n2 7n 4 7
u u 0;n N *
 n 1 n n 4 n 3 n 4 n 3 n 4 n 3 
Vậy: un là dãy số tăng.
 2n 1 2(n 3) 7 7
Ta có u 2 , suy ra:
 n n 3 n 3 n 3
n ¥ *,un 2 nên un bị chặn trên. Vì un là dãy số tăng
 1
n ¥ *,u u Nên u bị chặn dưới. Vậy u bị chặn.
 1 4 n n n
 n
Ví dụ 2: Cho dãy số un với un 1 n 1 .2 
a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b). Tìm công thức truy hồi.
c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.
 LỜI GIẢI
a).Ta có:
 1
u1 1 1 1 .2 1 
 2
u2 1 2 1 .2 5 
 3
u3 1 3 1 .2 17 
 4
u4 1 4 1 .2 49 
 5
u5 1 5 1 .2 129 
 n 1 n
b). Xét hiệu: un 1 un 1 n.2 1 n 1 .2 
 n n n n n
 2n.2 n 1 .2 2n n 1 .2 n 1 .2 un 1 un n 1 2 . 
 u1 1
Vậy công thức truy hồi: n 1. 
 n
 un 1 un n 1 .2
 n
c). Ta có: un 1 un n 1 .2 0 n 1. Từ đó suy ra dãy số un là dãy số 
tăng.
 n
Ta có: un 1 n 1 .2 1 n 1. Kết luận un là dãy số bị chặn dưới.
 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Cho dãy số un xác định bởi: u1 2 và un 1 5un với mọi n 1. 
a). Hãy tính u2 ,u4 và u6 . n 1
b). Chứng minh rằng un 2.5 với mọi n 1. 
 LỜI GIẢI
a). Ta có: 
u2 5u1 5.2 10. 
u3 5.u2 5.10 50. 
u4 5.u3 5.50 250. 
u5 5.u4 5.250 1250. 
u6 5.u5 5.1250 6250. 
 n 1
b). Ta sẽ chứng minh: un 2.5 1 với mọi n 1 , bằng phương pháp quy 
nạp
 0
Với n 1, ta có: u1 2.5 2 (đúng). Vậy 1 đúng với n 1. 
 k 1
Giả sử 1 đúng với n k k N . Có nghĩa là ta có: uk 2.5 . 
Ta phải chứng minh 1 đúng với n k 1. 
 k
Có nghĩa ta phải chứng minh: uk 1 2.5 . 
Từ hệ thức xác định dãy số : un và giả thiết quy nạp ta có:
 k 1 k
uk 1 5.uk 2.5 .5 2.5 (đpcm).
Câu 1: Cho dãy số un xác định bởi: u1 1 và un 1 un 7 với mọi n 1 
a) Hãy tính u2 ,u4 và u6 . 
b) Chứng minh rằng: un 7n 6 1 với mọi n 1 
 LỜI GIẢI
a). Ta có: 
u2 u1 7 1 7 8. 
u3 u2 7 8 7 15. 
u4 u3 7 15 7 22. 
u5 u4 7 22 7 29. 
u6 u5 7 29 7 36. 
b). Với n 1, ta có: u1 7.1 6 1 (đúng). Vậy 1 đúng với n 1. 
Giả sử 1 đúng với n k k N . Có nghĩa là ta có: uk 7k 6. 
Ta phải chứng minh 1 đúng với n k 1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:
uk 1 7 k 1 6. 
Từ hệ thức xác định dãy số un và giả thiết quy nạp ta có:
uk 1 uk 7 7k 6 7 7 k 1 6 (đúng). Câu 3: Cho dãy số un với u1 1 và un 1 3un 10 với mọi n 1. 
 n
Chứng minh rằng: un 2.3 5 n 1. 
 LỜI GIẢI
 n
Ta sẽ chứng minh un 2.3 5 1 bằng phương pháp quy nạp.
 1
Với n 1 , ta có: u1 2.3 1 1 (đúng). Vậy 1 đúng với n 1. 
 k
Giả sử 1 đúng với n k k N . Có nghĩa là ta có: uk 2.3 5 2 
Ta phải chứng minh 1 đúng với n k 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
 k 1
un 1 2.3 5. 
Từ hệ thức xác định dãy số un và từ (2) ta có:
 k k k 1
uk 1 3uk 10 3. 2.3 5 10 2.3 .3 15 10 2.3 5 (đpcm).
 2
Câu 4 : Cho dãy số un , biết u1 3,un 1 1 un với n 1,n ¥
a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương 
pháp quy nạp.
 LỜI GIẢI
a). Ta có:
 2
u2 1 u1 10
 2
u3 1 u2 11
 2
u4 1 u3 12
 2
u5 1 u4 13
b). Ta có: u1 1 8,u2 2 8,u3 3 8,u4 4 8,u5 5 8 .
Ta dự đoán un n 8 1 
Với n 1, có: u1 1 8 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n 1 
Giả sử (1) đúng với n k , có nghĩa ta có: uk k 8 2 
Ta cần chứng minh (1) đúng với n k 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:
uk 1 k 9 
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo 2 ta có:
 2 2
uk 1 1 uk 1 ( k 8) k 9 
Vậy (1) đúng với n k 1. Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.
 1 1 1 1
Câu 5 : Cho tổng S  
 n 1.2 2.3 3.4 n n 1