Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ②: TỔ HỢP - XÁC SUẤT
 Chủ đề: TỔ HỢP-NEWTON- XÁC SUẤT 
 _ Vấn đề 1. Quy tắc cộng – Quy tắc nhân.
 -Phương pháp: 
 ❶. Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong m phương án A1, A2 ,..., Ak . Có n1 
 cách thực hiện phương án A1 ,n2 cách thực hiện phương án A2 ,...và nk cách thực hiện phương ánA k
 . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 n2 ... nk cách.
 Một công việc được thực hiện theo n phương án => sử dụng QUY TẮC CỘNG
 ❷. Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2 ,..., Ak . Công đoạn A1 có thể thực hiện 
 theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theon2 cách,..., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk 
 cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2...nk cách.
 Một công việc được thực hiện liên tiếptheo k công đoạn => sử dụng QUY TẮC NHÂN 
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ 
 hộp bút?
 Ⓐ. 7 . Ⓑ. 12 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 4 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
 Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách. . Công Việc lấy 1 cây bút từ hộp bút thực hiện 
 Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách. theo hai phương án. 
 Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ Phương án 1 hoặc phương án 2.
hộp bút là: 3 4 7 cách.  Pa1: chọn bút đỏ có 3 cách lấy.
 Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.  Pa2:chọn bút xanh có 4 cách 
 ĐS: 3 4 7 cách. 
Câu 2: Bạn muốn mua 2 cây bút gồm một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu 
 khác nhau, các cây bút chì có 9 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để mua?
 Ⓐ. 8! 9!. Ⓑ. 72 . Ⓒ.17 . Ⓓ.8!.9!
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B
 Số cách chọn một cây bút mực là 8.  . Phải mua 2 cây bút mới xong công việc nên 
 Số cách chọn một cây bút chì là 9 . phải thực hiện theo hai bước . 
 Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn là Bước 1 và bước 2.
 8.9 72 . Bước 1: chọn bút mực có 8 cách lấy.
 Bước 2:chọn bút chì có 9 cách
 ĐS: 8.9 72 cách. Câu 3: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con 
 đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 
 con đường. không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố Ⓑ. Hỏi có bao nhiêu 
 con đường đi từ thành phố A đến thành phố D:
 Ⓐ. 6.Ⓑ. 12 . Ⓒ. 18 . Ⓓ. 36.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B
  . Phải đi từ thành phố A đến Thành Phố D mới 
 xong công việc.
 có hai phương án đi từ A đến D
 Phương án 1: A->B->D 
 vì đi từ A đến D có hai bước.
 B1: A-> B có 3 cách 
 Trường hợp : Từ A - B - D có 3.2 6 con đường . B2: B->D có 2 cách
 Trường hợp : Từ A - C - D có 2.3 6 con đường . Nên: Có3.2 6 cách đi
 Vậy có tất cả 6 6 12 con đường. Phương án 2: A->C->D 
 vì đi từ A đến D có hai bước 
 B1: A-> C có 2 cách
 B2: C->D có 3 cách
 Nên: Có 2.3 6 cách đi
 CV thực hiện theo phương án nên
 ĐS: 6+6 =12 cách.
_Bài tập áp dụng: 
Câu 1: Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một 
 quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
 Ⓐ. 10. Ⓑ. 8. Ⓒ. 80. Ⓓ.18 .
Câu 2: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi 
 đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao 
 nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
 Ⓐ. 11. Ⓑ. 36. Ⓒ. 25 . Ⓓ. 18 .
Câu 3: Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở 
 cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
 một bộ quần và áo?
 Ⓐ. 27 . Ⓑ. 180. Ⓒ. 12 . Ⓓ. 15 .
Câu 4: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con 
 đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn 
 đường đi đến nhà Cường cùng Bình ? Ⓐ. 24 . Ⓑ. 10 . Ⓒ. 16 . Ⓓ. 36.
Câu 5: Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 
 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ 
 uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?
 Ⓐ. 100. Ⓑ. 13 . Ⓒ. 75. Ⓓ. 25 .
Câu 6: Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình 
 có 3con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách 
 chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu.
 A.8. Ⓑ. 4.. Ⓒ. 15. Ⓓ. 6.
Câu 7: Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và 
 nữ là 
 Ⓐ. 300 . Ⓑ. 25 . Ⓒ. 150. Ⓓ. 50.
Câu 8: Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách 
 giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
 A.3. Ⓑ. 45 . Ⓒ.5. Ⓓ. 12 .
Câu 9: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 
 chữ số đôi một khác nhau ?
 Ⓐ. 120. Ⓑ. 54. Ⓒ. 72 . Ⓓ. 69 .
Câu 10: Từ các chữ số của tập hợp A= {0;1;2;3;4;5;6} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số 
 đôi một khác nhau.
 Ⓐ. 418 . Ⓑ. 720 . Ⓒ. 300 . Ⓓ. 731.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?
 5 9 5 5
 A.C9 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. A9 . Ⓓ. 9 .
Câu 12: Cho các số 1,2,4,5,7 . Có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm ba chữ số khác nhau từ 5 chữ 
 số đã cho?
 Ⓐ. 120. Ⓑ. 24 . Ⓒ. 36. Ⓓ. 256 .
Câu 13: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay và 4 kiểu dây . Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ 
 gồm một mặt và một dây?
 Ⓐ.16 . Ⓑ. 4. Ⓒ.7. Ⓓ. 12.
Câu 14: Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu 
 phương án trả lời?
 Ⓐ. 410 Ⓑ. 40 Ⓒ. 104. Ⓓ. 4
Câu 15: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5chỗ ngồi. Số cách 
 sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là
 Ⓐ. 24. Ⓑ. 120. Ⓒ. 16. Ⓓ. 60.
Câu 16: Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng 
 đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu.
 Ⓐ. 319 . Ⓑ. 3014. Ⓒ. 310 . Ⓓ. 560 . Câu 17: Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra 
 về cách chọn toa của bốn khách là:
 Ⓐ. 232 . Ⓑ. 256 . Ⓒ. 1. Ⓓ. 24 .
Câu 18: Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu 
 vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
 A. 64 . Ⓑ. 210 . Ⓒ.120. Ⓓ.125.
Câu 19: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 cái áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Tìm 
 số cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng.
 Ⓐ. 29 . Ⓑ. 36. Ⓒ. 18. Ⓓ. 35.
Câu 20: Một người có 7 chiếc áo trong đó có 3 chiếc áo trắng và 5 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà 
 vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì 
 không chọn cà vạt màu vàng.
 Ⓐ. 29 . Ⓑ. 36. Ⓒ.18 . Ⓓ.35.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B
 11.D 12.B 13.D 14.A 15.A 16.D 17.B 18.D 19.A 20.A
 _ Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
 -Phương pháp: 
 ❶. Hoán vị: Cho một tập hợp A gồm n phần tử n 1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ 
 tự n phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của một 
 tập hợp có n phần tử n 1 kí hiệu là Pn .
 Pn n! n.(n 1). n 2 ...1 0! 1 
 ❷. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử n 1 và một số nguyên k với 1 k n . Khi lấy 
 ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k
 k
 của n phần tử của tập A.. Số các chỉnh hợp chập k của n được kí hiệu là An
 *
 k n! k,n ¥
 An với 
 n k ! k n
 ❸. Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 k n . Mỗi tập con của A có k 
 phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số tổ hợp chập kcủa n
 k
 phần tử được kí hiệu là Cn
 k n! k,n ¥
 Cn với 
 n k !.k! k n
 ❹. Hoán vị vòng tròn: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành 
 một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng tròn của n phần tử. Số các hoán vị vòng tròn 
 của n phần tử là
 Qn n 1 !
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Một lớp có 35 học sinh chọn ra 2 bạn đi thi văn nghệ. . hỏi có bao nhiêu cách chọn?
 2 2 3 2 3 2
 Ⓐ. C35 . Ⓑ. A35 . Ⓒ. A10 A8 . Ⓓ. C10 C8 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
  Số cách chọn ra 2 học sinh từ 35 học sinh là: . Công việc chọn 2 học sinh trong 35 học sinh. 
 2 2
 C35 . không phân biệt thứ tự nên ta chọn tổ hợp. C35
 2
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: C35 .
Câu 2: Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ 
trưởng và tổ phó.
 2 8 2 2
 Ⓐ. C10 . Ⓑ. A10 . Ⓒ. 10 . Ⓓ. A10 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
  Theo yêu cầu bài toán thì chọn ra 2 học sinh từ . Công việc chọn 2 học sinh trong 10 học sinh. 
10 học sinh có quan tâm đến chức vụ của mỗi để giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là có phân biệt 
người nên mỗi cách chọn sẽ là một chỉnh hợp chập 2
 thứ tự nên ta chọn chỉnh hợp A10
2 của 10 phần tử.
Câu 3: Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
 1 1 10
 Ⓐ. P10 . Ⓑ. C10 . Ⓒ. A10 . Ⓓ. C10 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B
  Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng  . có 10 học sinh lấy ra 10 học sinh sắp xếp 
ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử. theo thứ tự là hoán vị của 10 phần tử P10
Suy ra số cách sắp xếp là P10 . 
_Bài tập áp dụng: 
 Câu 1: Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch 
 và 1 thư ký là
 Ⓐ. 5600. Ⓑ. 13800. Ⓒ. 6900 . Ⓓ. Kết quả khác.
Câu 2: Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử được lấy ra từ tập A a;b;c;d;e; f ?
 Ⓐ. 10 . Ⓑ. 80. Ⓒ. 40 . Ⓓ. 20 .
Câu 3: Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách Toán, 3 quyển sách Văn. Có bao nhiêu cách sắp xếp các 
 quyển sách sao cho các quyển sách cùng môn thì được xếp cạnh nhau? 
 Ⓐ. 8!. Ⓑ. 2.5!.3!. Ⓒ. 5!.3!. Ⓓ. 2. 5! 3! .
Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi vào một bàn tròn.
 2
 Ⓐ. 10! Ⓑ. 9! Ⓒ. 8! Ⓓ. A10
Câu 5: Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo 
 thành từ các điểm này?
 Ⓐ. 8000. Ⓑ. 6480. Ⓒ. 1140. Ⓓ. 600.
Câu 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một 
 khác nhau 
 3 3 3 2
 Ⓐ. C9 . Ⓑ. A9 . Ⓒ. 9!. Ⓓ. A9 A8 . Câu 7: Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác 
 đã cho?
 4 4 2 2
 A.C2018 . Ⓑ.C1009 . Ⓒ.C2018 . Ⓓ.C1009 .
Câu 8: Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó 
 có cả nam và nữ.
 Ⓐ. 6. Ⓑ. 16 . Ⓒ. 20 . Ⓓ. 32.
Câu 9: Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các 
 đề thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu 
 bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề khác nhau.
 A.100 . Ⓑ. 36 . Ⓒ. 96 . Ⓓ. 60 .
Câu 10: Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ 
 thành hàng ngang sao cho nam nữ đứng xen kẽ.
 Ⓐ. 362880. Ⓑ. 144 . Ⓒ. 5760. Ⓓ. 2880 .
Câu 11: Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 
 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:
 Ⓐ. 420 cách. Ⓑ. 120 cách. Ⓒ. 252 cách. Ⓓ. 360 cách. 
Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất 
 thiết phải có mặt chữ số 0?
 Ⓐ. 7056 . Ⓑ. 120 . Ⓒ. 5040 . Ⓓ. 15120 .
Câu 13: Xếp 3 học sinh của lớp A, 2 học sinh của lớp B, 1 học sinh của lớp C thành một hàng dọc. Số cách 
 xếp sao cho hai bạn học sinh cùng lớp không đứng liền nhau là
 A. 72. Ⓑ. 120. Ⓒ. 186. Ⓓ. 160.
Câu 14: Từ các chữ số của tập hợp 0;1;2;3;4;5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số 
 đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
 Ⓐ. 120. Ⓑ. 504 . Ⓒ. 720 . Ⓓ. 480 .
Câu 15: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 
 bì thư và dán 3 tem thư đó ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao 
 nhiêu cách làm như vậy?
 Ⓐ. 1200. Ⓑ. 1800. Ⓒ. 1000. Ⓓ. 200.
Câu 16: Một nhóm 9 người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ và hai đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu 
 cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế dài sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai phụ nữ và không có 
 hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau?
 Ⓐ. 288 . Ⓑ. 864 . Ⓒ. 24 . Ⓓ. 576.
Câu 17: Trong không gian cho 20 điểm trong đó không có 4 điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm 
 trên?
 Ⓐ. 190 . Ⓑ. 6840 . Ⓒ. 380 . Ⓓ. 1140 .
Câu 18: Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác 
 đều?
 Ⓐ. 306 . Ⓑ. 153. Ⓒ. 9. Ⓓ. 58905 . Câu 19: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên 
 đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba 
 điểm trong các điểm nói trên?
 2 2 3 3 3 3 3
 Ⓐ. 18C20 20C18 . Ⓑ. 20C18 18C20 . Ⓒ. C38 . Ⓓ. C20.C18 .
Câu 20: Từ các chữ số của tập A 0;1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số 
 trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau?
 Ⓐ. 31203. Ⓑ. 12600. Ⓒ. 181440. Ⓓ. 27000.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D
 11.A 12.A 13.B 14.D 15.A 16.B 17.D 18.B 19.A 20.D
 _ Vấn đề 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ, chứng minh liên quan đến P, C, A
 -Phương pháp: 
 Pn n! n.(n 1). n 2 ...1
 *
 k n! k,n ¥
 vớiAn 
 n k ! k n
 k n! k,n ¥
 Cvớin 
 n k !.k! k n
 _Bài tập minh họa:
 2 1
Câu 1: Nghiệm của phương trình Ax Ax 3 là
 Ⓐ. x 1. Ⓑ. x 3. Ⓒ. x 1và x 3. Ⓓ. x 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
 x ¢ . Nhập máy A2 A1 3 sau đó calc các 
  Điều kiện : x x
 x 2 đáp án, đáp án nào cho bằng 0 ta chọn.
 2 1 x 1 l 
 Ax Ax 3 x x 1 x 3 
 x 3
Vậy x 3.
 * 3 3
Câu 2: Số các số n N thỏa mãn 6n 6 Cn Cn 1 là
 Ⓐ. 9số. Ⓑ. 11 số. Ⓒ. 10 số. Ⓓ. 8 số
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C
 *
 Điều kiện: n N , n 3 . Nhập máy : table
 3 3
 3 3
 f x 6n 6 Cn Cn 1 
 6n 6 Cn Cn 1
 n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) Start: 1
 6n 6 End: 20
 6 6
 Step: 1
 n(n 2) (n 1)n
 6 
 6 6 (vì n 1 0 ) ⇔ n 12 Nhận những giá trị của n tương ứng với 
Kết hợp với điều kiện ⇒ 3 n 12, n N * ⇒ Có 10 số f x 0 .
tự nhiên khác 0 thỏa mãn đầu bài
⇒ Đáp án C
 x x
 2Ay 5Cy 90
Câu 3: Giải hệ phương trình sau:
 x x
 5Ay 2Cy 80
 Ⓐ. x 1; y 5. Ⓑ. x 2; y 1. Ⓒ. x 2; y 5. Ⓓ. x 1; y 3.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C
  Điều kiện x, y ¥ ; x y . Casio
 x x x x
 x x x
  2Ay 5Cy 90 :5Ay 2Cy 80 , sau đó 
 2Ay 5Cy 90 Ay 20
Ta có: 
 x x x calc các đáp án, đáp án nào cho bằng 0 ta 
 5A 2C 80 C 10
 y y y chọn.
 20
Từ Ax x!C x suy ra x! 2 x 2
 y y 10
Từ
 2 2 y 4 (loai)
 Ay 20 y y 1 20 y y 20 0 
 y 5
Vậy x 2; y 5 .
_Bài tập áp dụng: 
 6 5
 n 3 An An
Câu 1: Cho Cn 1140 . Tính A 4
 An
 Ⓐ. 256. Ⓑ. 342. Ⓒ. 231. Ⓓ. 129.
 3
Câu 2: Nếu Cn 35 thì n có giá trị là
 Ⓐ. 5. Ⓑ. 7. Ⓒ. 6. Ⓓ. 8.
 2
Câu 3: Nếu Ax 110 thì:
 Ⓐ. x 10 . Ⓑ. x 11. Ⓒ. x 11hay x 10 . Ⓓ. x 0 .
Câu 4: Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
 n(n- 2)
 Ⓐ. A2 = n(n- 1). Ⓑ. A2 = . Ⓒ. A2 = 2n . Ⓓ. A2 = n!.(n- 2)!.
 n n 2 n n
 n k
Câu 5: Cho biết Cn 28. Giá trị của n và k lần lượt là:
 Ⓐ. 8 và 4 . Ⓑ. 8 và 3.
 Ⓒ. 8 và 2 . Ⓓ. Không thể tìm được.
Câu 6: Kết quả nào sau đây sai:
 0 n 1 n 1
 Ⓐ. Cn 1 1. Ⓑ. Cn 1.. Ⓒ. Cn n 1. Ⓓ. Cn 1..
 3 2
Câu 7: Nghiệm của phương trình 2x Cx Ax 1 là
 Ⓐ. x 9 . Ⓑ. x 8 . Ⓒ. x 11. Ⓓ. x 10 . 2 n 1
Câu 8: Số tự nhiên n thỏa mãn An Cn 1 5 là
 Ⓐ. n 3 . Ⓑ. n 5 . Ⓒ. n 6 . Ⓓ. n 4 .
 2 n 1
Câu 9: Số nguyên dương n thoả mãn An Cn 1 P2 2n 3 
 Ⓐ. 12 . Ⓑ. 11. Ⓒ. 10 . Ⓓ. 15 .
 2 3 *
Câu 10: Biết An Cn 50 n ¥ , khi đó giá trị của n là
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 5. Ⓒ. 6. Ⓓ. 7.
 2 2
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3Ax A2x 30 0 ?
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 0 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 2 .
 2
Câu 12: Nghiệm của phương trình P2.x P3.x 8 là
 Ⓐ. 4 và 6.. Ⓑ. 2 và 3. Ⓒ. -1 và 4. Ⓓ. -1 và 5.
 2 2
Câu 13: Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An 3Cn 15 5n .
 Ⓐ. 13. Ⓑ. 10. Ⓒ. 12. Ⓓ. 11.
Câu 14: Đa giác đều n đỉnh, n ¥ và n 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
 Ⓐ. n 15. Ⓑ. n 27. Ⓒ. n 8. Ⓓ. n 18.
 5 2 14
Câu 15: Giá trị của n ¥ bằng bao nhiêu, biết n n n .
 C5 C6 C7
 Ⓐ. n 2 hoặc n 4. Ⓑ. n 5. Ⓒ. n 4. Ⓓ. n 3.
 4
Câu 16: Tìm số nguyên dương n sao cho: Pn 1.An 4 15Pn 2
 A.3,4,5 . Ⓑ.5,6,7 . Ⓒ. 6,8,2. Ⓓ. 7,9,8.
 5
Câu 17: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) C n 1 C n A2
 n 2 n 2 2 n
 Ⓐ. n 2. Ⓑ. n 3. Ⓒ. n 5. Ⓓ. n 4.
 2
 Cn 1 3
Câu 18: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 2 n
 Cn 10
 Ⓐ. 2 n 4. Ⓑ. 0 n 2. Ⓒ. 1 n 5. Ⓓ. 2 n 5.
 y 1 y
 Cx 1 Cx 1
Câu 19: Giải hệ phương trình sau:
 y 1 y 1
 3Cx 1 5Cx 1
 Ⓐ. x 6; y 3. Ⓑ. x 2; y 1. Ⓒ. x 2; y 5 . Ⓓ. x 1; y 3.
Câu 20: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số 
 tập con gồm hai phần tử của Ⓐ. Tìm n
 Ⓐ. 20 . Ⓑ. 37 . Ⓒ. 18 . Ⓓ. 21.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.A 10.C
 11.B 12.C 13.D 14.D 15.D 16.A 17.A 18.D 19.A 20.C _ Vấn đề 4. Xác suất của biến cố 
 n A 
 -Phương pháp: Sử dụng công thức P(A) 
 n  
  n A là số kết quả thuận lợi cho biến cố A
  n  là số kết quả có thể xảy ra của phép thử
 -Chú ý: 
 . .0 P(A) 1
 . P() 1, P() 0
 . Xác suất của biến cố A của biến cố A là P A 1 P A 
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất để xuất hiện mặt chẵn chấm?
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 4 2 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C
 n A 
 . P(A) 
 Gọi A là biến cố “ Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” n  
 n(A) 3 1
 n() 6, A {2,4,6} n(A) 3 P(A) 
 n() 6 2
Câu 2: Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh 
 lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?
 219 219 442 443
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 323 323 506 556
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
 . Casio:
 Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và 
 nữ”, suy ra A là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là 
 nam hoặc toàn là nữ”
 Số phần tử của không gian mẫu là 
 4 
 n  C25 12650 .
 n A
 4 4 63
 Ta có n A C15 C10 1575 P A .
 n  506
 Vậy xác suất của biến cố A là 
 63 443
 P A 1 P A 1 .
 506 506
Câu 3: Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được 
 5 quả có đủ hai màu là
 13 132 12 250
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 143 143 143 273