Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Bài 6: Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc (Có lời giải)

 BÀI 6 : KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
1 . Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc
 Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị 
bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự 
đoán trước được.
2 . Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 ,x2 ,...,xn . 
Để hiểu rõ hơn về X, ta thường quan tâm tới xác suất để X nhận giá trị xk 
tức là các số P(X xk ) pk với k 1,2,...,n .
Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng sau đây :
 X x1 x2  xn
 P p1 p2  pn
 Bảng 1
 Bảng 1 được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. 
Người ta chứng minh được rằng trong bảng 1, tổng các số ở dòng thứ hai 
bằng p1 p2 ... pn 1 .
3 . Kì vọng
 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là x1 ,x2 ,...,xn . Kì vọng 
của X, kí hiệu là E(X) , là một số được tính theo công thức
 n
 E(X) x1p1 x2p2 ... xnpn xipi 
 i 1
ở đó pi P(X xi ), (i 1,2,...,n) .
 Ý nghĩa : E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X. 
Vì thế kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X.
Nhận xét : Kì vọng của X không nhất thiết thuộc tập các giá trị của X.
4 . Phương sai và độ lệch chuẩn
a . Phương sai
 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là x1 ,x2 ,...,xn . Phương 
sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức
 2 2 2
 V(X) (x1 ) p1 (x2 ) p2 ... (xn ) pn 
 n
 2
 (xi ) pi 
 i 1
 Ở đó pi P(X xi ) (i 1,2,...,n) và  E(X) . Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức 
độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng 
lớn thì độ phân tán này càng lớn.
b . Độ lệch chuẩn
 Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là (X) , được gọi là độ lệch chuẩn 
của X, nghĩa là
 (X) V(X) .
 BÀI TẬP
Một thùng phiếu có 30 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng. Một người 
bốc ngẫu nhiên 3 phiếu. Gọi X là số phiếu trúng thưởng mà người đó bốc 
được. Hãy lập bảng phân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên X.
 LỜI GIẢI
Gọi X là số phiếu trúng thưởng X 0,1,2,3 
Biến cố X 0 có nghĩa là trong 3 cả 3 vé đều không trúng. Vậy 
 C3 585
P X 0 27 . 
 3 812
 C30
Biến cố X 1 có nghĩa là trong 3 vé có 1 vé trúng và 2 vé không trúng. Vậy 
 C1C2 1053
P X 1 3 27 .
 3 4060
 C30
Biến cố X 2 có nghĩa là trong 3 vé có 2 vé trúng và 1 vé không trúng. Vậy 
 C2C1 81
P X 2 3 27 .
 3 4060
 C30
Biến cố X 3 có nghĩa là trong cả 3 vé đều được giải. Vậy 
 C3 1
P X 3 3 .
 3 4060
 C30
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2 3 
P 585 1053 81 1
 812 4060 4060 4060
 1. Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ, chọn 5 bi. Gọi X là số bi đỏ:
 a). Lập bảng phân phối xác suất của X.
 b). Số bi đỏ trung bình sau 1 lần lấy.
 LỜI GIẢI
 Gọi X là số bi đỏ X = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Biến cố (X = 0) có nghĩa là cả 5 viên bi được chọn không có bi đỏ. C5 1
 Vậy P X 0 6 
 5 42
 C10
 Biến cố (X= 1) có nghĩa là chọn được 1 bi đỏ và 4 bi xanh. 
 C1C4 5
 Vậy P X 1 4 6 
 5 21
 C10
 Biến cố (X = 2) có nghĩa là chọn được 2 bi đỏ và 3 bi xanh. 
 C2C3 10
 Vậy P X 2 4 6 .
 5 21
 C10
 C3C2 5 C4C1 1
 Lý luận tương tự ta có : P X 3 4 6 , P X 4 4 6 
 5 21 5 42
 C10 C10
 Bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3 4
 P 1 5 10 5 1
 42 21 21 21 42
Một nhóm có 7 người, trong đó gồm có 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 
người. Gọi X là số nữ được chọn.
a). Hãy lập bảng phân bố xác suất của X.
b). Tính kỳ vọng E X và phương sai V X .
 LỜI GIẢI
Gọi X là số nữ được chọn X 0,1,2,3 
Biến cố X 0 có nghĩa là, 3 người được chọn đều nam. Vậy 
 C3 4
P X 0 4 . 
 3 35
 C7
Biến cố X 1 có nghĩa là: chọn được 1 nữ và 2 nam. Vậy 
 C1C2 18
P X 1 3 4 .
 3 35
 C7
Biến cố X 2 có nghĩa là: chọn được 2 nữ và 1 nam. Vậy 
 C2C1 12
P X 2 3 4 .
 3 35
 C7
 C3 1
Biến cố X 3 có nghĩa là chọn được 3 bạn đều nữ. Vậy P X 3 3 .
 3 35
 C7
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2 3 4 18 12 1
P 
 35 35 35 35
 5 4 18 12 1 9
Kì vọng: 
 E X xipi 0. 1. 2. 3.
 i 1 35 35 35 35 7
 n 2
 2 4 18 12 1 9 24
Phương sai: 2 2 2 2 2 
 V X xi pi E X 0 . 1 . 2 . 3 . 
 i 1 35 35 35 35 7 49
 4. Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn 4 em đi lao động. Gọi X là số nữ:
 a). Lập bảng phân phối của X.
 b). Tính E(X).
 LỜI GIẢI
 4
a). Không gian mẫu chọn 4 bạn bất kỳ trong 10 bạn có n  C10 cách 
chọn.
 Tập các giá trị của X là {0, 1, 2, 3, 4} và giá trị của X là ngẫu nhiên 
 không đoán trước được nên X là một biến ngẫu nhiên rời rạc.
 Để lập bảng phân phối xác suất của X, ta lần lượt tính các xác suất 
 P X 0 , P X 1 , P X 2 , P X 3 , P X 4 .
 P X 0 là xác suất trong 4 bạn được chọn không có bạn nào là nữ, tức 4 
 C4 1
 bạn được chọn đều là nam: P X 0 6 
 4 14
 C10
 P X 1 là xác suất trong 4 bạn được chọn có 1 bạn nữ và 3 bạn nam: 
 C1C3 8
 P X 1 4 6 .
 4 21
 C10
 C2C2 3 C3C1 4
 Tương tự: P X 2 4 6 , P X 3 4 6 , 
 4 7 4 35
 C10 C10
 C4 1
 P X 4 4 .
 4 210
 C10
 X 0 1 2 3 4
 P 1 8 3 4 1
 14 21 7 35 210
b). Tính Kì vọng:
 5 1 8 3 4 1 8
 E X xipi 0  1 2. 3. 4. 
 i 1 14 21 7 35 210 5
Bài 3: Một nhóm trẻ gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Chọn ngẫu nhiên 3 bé. Gọi X 
là số bé gái trong 3 bé được chọn. a). Lập bảng phân phối xác suất của biến X.
b). Tính kỳ vọng E X và phương sai V X .
 LỜI GIẢI
Gọi X là số bé gái X 0,1,2,3 
Biến cố X 0 có nghĩa là trong 3 bé được chọn không có bé gái nào (chọn 
 C3 1
được cả 3 bé đều là bé trai). Vậy P X 0 6 . 
 3 6
 C10
Biến cố X 1 có nghĩa là trong 3 bé được chọn, có 1 bé gái và 2 bé trai. Vậy 
 C1 C2 1
P X 1 4 6 .
 3 2
 C10
Biến cố X 2 có nghĩa là trong 3 bé được chọn, có 2 bé gái và 1 bé trai. Vậy 
 C2C1 3
P X 2 4 6 .
 3 10
 C10
Biến cố X 3 có nghĩa là trong 3 bé được chọn đều là bé gái. Vậy 
 C3 1
P X 3 4 .
 3 30
 C10
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2 3 
 1 1 3 1
P 
 6 2 10 30
 5 1 1 3 1 6
Kì vọng: 
 E X xipi 0. 1. 2. 3.
 i 1 6 2 10 30 5
 n 2
 2 1 1 3 1 6 14
Phương sai: 2 2 2 2 2 
 V X xi pi E X 0 . 1 . 2 . 3 . 
 i 1 6 2 10 30 5 25
 5. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng hồng tâm là 0,3. Xạ thủ đó bắn 4 lần. 
 Gọi X là số lần bắn trúng hồng tâm. Lập bảng phân phối xác suất của X. 
 Tính E(X), V(X).
 LỜI GIẢI
 Gọi Ai là biến cố "Xạ thủ bắn trúng hồng tâm lần thứ i". Theo đề bài ta 
 có P Ai 0,3 P Ai 0,7 .
 P X 0 có nghĩa trong 4 lần bắn xạ thủ không bắn trúng hồng tâm lần nào.
 4
 P X 0 P A1 A2 A3 A4 P A1 .P A2 .P A3 .P A4 0,7 0,2401 P X 1 có nghĩa trong 4 lần bắn có 1 lần bắn trúng hồng tâm còn 3 lần 
 kia không trúng.
P X 1 P A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 
 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4 
 P A1 .P A2 .P A3 .P A4 P A1 .P A2 .P A3 .P A4 P A1 .P A2 .P A3 .P A4 
 3
 P A1 .P A2 .P A3 .P A4 4. 0,7 .0,3 0,4116 .
 Tương tự ta tính được : 
P X 2 P(A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 
A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4 ) .
 2 2
 P X 2 6. 0,3 . 0,7 0,2646 .
 3
 P X 3 4. 0,3 .0,7 0,0756
 4
 P X 4 0,3 0,0081
 Bảng phân phối xác suất của X:
 Bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3 4
 P 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081
 5
 E X xipi 0.0,2401 1.0,4116 2.0,2646 3.0,0756 4.0,0081 1,2 .
 i 1
 n
 2 2 2 2 2 2 2 2
V X xi pi E X 0 .0,2401 1 .0,4116 2 .0,2646 3 .0,0756 4 .0,0081 1,2 0,84
 i 1
 6. Ba xạ thủ độc lập cùng bắn vào một cái bia. Xác suất bắn trúng bia của 
 người 1, 2, 3 lần lượt là 0.6, 0.7, 0.8. Ký hiệu X là số viên đạn trúng bia.
 a). Lập bảng phân phối xác suất của X.
 b). Tính E(X), V(X).
 LỜI GIẢI
a). X là số viên đạn trúng bia X 0,1,2,3
 Gọi A là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia", theo đề có 
 P A 0,6 P A 0,4 .
 Gọi B là biến cố "Người thứ hai bắn trúng bia", theo đề có 
 P B 0,7 P B 0,3 .
 Gọi C là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia", theo đề có P C 0,8 P C 0,2 .
 P X 0 P A  B  C P A .P B .P C 0,4.0,3.0,2 0,024 .
P X 1 P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC 
 P A P B P C P A P B P C P A P B P C 
 0,6.0,3.0,2 0,4.0,7.0,2 0,4.0,3.0,8 0,188 .
P X 2 P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC 
 P A .P B .P C P A .P B .P C P A .P B .P C 
 0,6.0,7.0,2 0,6.0,3.0,8 0,4.0,7.0,8 0,452
 P X 3 P A  B  C P A .P B .P C 0,6.0,7.0,8 0,336 .
 Bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3
 P 0,024 0,188 0,452 0,336
b). Ta có :
 Kì vọng: 
 3
 E X xipi x0p0 x1p1 x2p2 x3p3 0.0,024 1.0,188 2.0,452 3.0,336 2,1
 i 0
 Phương sai: 
 n
 2 2 2 2 2 2 2
V X xi pi E X o .0,024 1 .0,188 2 .0,452 3 .0,336 2,1 0,61
 i 1
 7. Một người đi từ nhà đến cơ quan phải đi qua ngã tư A, B, C có điều 
 khiển giao thông. Xác suất để gặp đèn đỏ theo thứ tự ở các ngã tư A, B, C 
 lần lượt là 0.2, 0.4, 0.5. Gọi X là số lần gặp đèn đỏ ở các ngã tư A, B, C. 
 a). Lập bảng phân phối xác suất của X.
 b). Biết thời gian chờ đèn đỏ mỗi ngã tư là 1 phút. Hỏi trung bình mỗi lần 
 đi từ nhà đến cơ quan người đó phải chờ đèn đỏ mất bao nhiêu phút?
 LỜI GIẢI
 Gọi X là số lần gặp đèn đỏ ở các ngã tư A, B, C X 0,1,2,3 .
 Gọi A "Gặp đèn đỏ ở ngã tư A" P A 0,2 P A 0,8 .
 Gọi B "Gặp đèn đỏ ở ngã tư B" P B 0,4 P B 0,6 .
 Gọi C "Gặp đèn đỏ ở ngã tư C" P C 0,5 P C 0,5 .
 P X 0 P A  B  C P A .P B .P C 0,8.0,6.0,5 0,24 . P X 1 P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC 
 P A .P B .P C P A .P B .P C P A .P B .P C 
 0,2.0,6.0,5 0,8.0,4.0,5 0,8.0,6.0,5 0,46 .
P X 2 P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC 
 P A .P B .P C P A .P B .P C P A .P B .P C 
 0,2.0,4.0,5 0,2.0,6.0,5 0,8.0,4.0,5 0,26 .
 P X 3 P A  B  C P A .P B .P C 0,2.0,4.0,5 0,04 .
 Bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3
 P 0,24 0,46 0,26 0,04
b). Bước đầu tiên ta phải tính Kì vọng của X:
 E X 0.0,24 1.0,46 2.0,26 3.0,04 1,1
 Vậy thời gian người đó phải chờ đèn đỏ trung bình khi đi từ nhà đến cơ 
quan là 1,1.1 = 1,1 phút.
9. Một cổ bài tú lơ khơ rút ra 3 lá.
a). Tính xác suất để được một con ách.
b). Tính xác suất để được một con hình(con tây).
c). Gọi X là số con tây được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
d). Gọi Y là số con đỏ rút ra (gồm Rô và Cơ). Lập bảng phân phối xác 
suất của Y.
 LỜI GIẢI
 Một cổ bài tú lơ khơ có 52 lá bài, tổng các trường hợp rút 3 lá trong 52 
 3
 lá: n  C52 .
a). Gọi A là biến cố "Rút chỉ được một con ách". Có nghĩa là rút chỉ được 1 
 con ách trong 4 con ách và 2 con còn lại trong 48 con còn lại. Số trường 
 1 2
 hợp xảy ra thuận lợi cho A là: n A C4.C48 .
 n A C1 .C2 1128
 Vậy P A 4 48 0,204 .
 n  3 5525
 C52
b). Gọi B là biến cố "Rút chỉ được một con hình". Có nghĩa là rút chỉ được 1 
 con hình trong 12 con hình và 2 con còn lại trong 40 con còn lại. Số 
 1 2
 trường hợp xảy ra thuận lợi cho B là: n B C12.C40 .
 n B C1 .C2 36
 Vậy P B 12 40 0,4235 .
 n  3 85
 C52 c). Gọi X là số con tây được lấy ra thì X = {0, 1, 2, 3}.
 Trong bộ Tú lơ khơ có 12 con tây (J, Q, K) và 40 con còn lại không phải con 
 tây.
 C3 38
 Cả 3 con bài lấy ra đều không phải là tây: P X 0 40 
 3 85
 C52
 C1 .C2 36
 Có 1 con tây và 2 con kia không phải là tây: P X 1 12 40 
 3 85
 C52
 C2 .C1 132
 Có 2 con tây và 1 con kia không phải là tây: P X 2 12 40 .
 3 1105
 C52
 C3 11
 Cả 3 con đều là tây: P X 3 12 .
 3 1105
 C52
 Lập bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3
 P 38 36 132 11
 85 85 1105 1105
d). Gọi Y là số con đỏ rút ra thì Y = {0, 1, 2, 3}.
 Trong bộ Tú lơ khơ có 26 con đỏ (gồm Rô và Cơ) và 26 con còn lại đen 
 (gồm Chuồn và Pich).
 C3 2
 Cả 3 con đều là con đen: P Y 0 26 
 3 17
 C52
 C1 .C2 13
 Có 1 con đỏ và 2 con đen: P Y 1 26 26 
 3 34
 C52
 C2 .C1 13
 Có 2 con đỏ và 1 con đen: P Y 2 26 26 .
 3 34
 C52
 C3 2
 Cả 3 con đều đỏ: P Y 3 26 .
 3 17
 C52
 Bảng phân phối xác suất của Y:
 Y 0 1 2 3
 P 2 13 13 2
 17 34 34 17
 11. Xác suất của một người bắn trúng hồng tâm là 0,3
 a). Người này bắn 3 lần độc lập liên tiếp. Gọi X là số lần bắn trúng hồng tâm. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng của X. 
 b). Trong câu này giả sử người này bắn n lần độc lập liên tiếp. Tính n biết 
 rằng xác suất để bắn trúng ít nhất 1 lần trong n lần này là 0,7599.
 LỜI GIẢI
a). Gọi Ai là biến cố "Xạ thủ bắn trúng hồng tâm lần thứ i" với 1 i 3,i ¥ . 
 Theo đề bài ta có P Ai 0,3 P Ai 0,7 .
 P X 0 có nghĩa trong 4 lần bắn xạ thủ không bắn trúng hồng tâm lần nào.
 3
 P X 0 P A1  A2  A3 P A1 .P A2 .P A3 0,7 0,343 .
 P X 1 có nghĩa trong 3 lần bắn có 1 lần bắn trúng hồng tâm còn 2 lần 
 kia không trúng.
 P X 1 P A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 
 P A1  A2  A3 P A1  A2  A3 P A1  A2  A3 
 P A1 .P A2 .P A3 P A1 .P A2 .P A3 P A1 .P A2 .P A3 
 2
 3. 0,7 .0,3 0,441.
 Tương tự ta tính được : 
 2
P X 2 P(A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3) 3. 0,3 .0,7 0,189
 3
P X 3 P A1  A2  A3 0,3 0,027 .
 Bảng phân phối xác suất của X:
 X 0 1 2 3
 P 0,343 0,441 0,189 0,027
 Kì vọng của X:
 4
 E X xipi 0.0,343 1.0,441 2.0,189 3.0,027 0,9 .
 i 1
b).Gọi A là biến cố trong n lần bắn độc lập có ít nhất một lần bắn trúng 
 hồng tâm. Biến cố đối A trong n lần bắn độc lập không có lần nào bắn 
 trúng hồng tâm.
 Theo đề bài ta có P A 0,7599 P A 1 0,7599 0,2401
 Ngoài ra có P A 0,7n . 
 Từ đó suy ra 0,7n 0,2401 0,7n 0,74 n 4 .