Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Bài 4, Phần 1: Biến cố và xác suất của biến cố (Có lời giải)

 BÀI 4 : BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. Biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành 
động mà :
 Kết quả của nó không đoán trước được ; 
 Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép 
thử đó.
 Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.
 Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không 
gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga)
 Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không 
xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
 Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả 
thuận lợi cho A.
 Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A . Khi đó người ta 
nói biến cố A được mô tả bởi tập A. .
2. Xác suất của biến cố
 Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết 
quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T 
và A là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một 
số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức :
  n A 
 P(A) A .
  n  
 Từ định nghĩa trên ta suy ra
 0 P(A) 1 ;
 P() 1,P() 0 .
 BÀI 5 : CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1. Quy tắc công xác suất
a. Biến cố hợp
 Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A  B , 
được gọi là hợp của hai biến cố A và B.
 Tổng quát : 
 Cho k biến cố A1 ,A2 ,....,Ak . Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố 
A1 ,A2 ,...,Ak xảy ra”, kí hiệu là A1  A2  ...  Ak , được gọi là hợp của k 
biến cố đó.
b. Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu 
biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A  B  .
c. Quy tắc cộng xác suất
 Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là
 P(A  B) P(A) P(B) 
 Cho k biến cố A1 ,A2 ,...,Ak đôi một xung khắc. Khi đó
 P(A1  A2  ...  Ak ) P(A1) P(A2 ) ... P(Ak ) 
d. Biến cố đối
 Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A , 
được gọi là biến cố đối của A.
 Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là P(A) 1 P(A) 
2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
 Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, 
được gọi là giao của hai biến cố A và B.
 Tổng quát :
 Cho k biến cố A1 ,A2 ,...,Ak . Biến cố “Tất cả k biến cố A1 ,A2 ,...,Ak 
đều xảy ra”, kí hiệu là A1A2...Ak , được gọi là giao của k biến cố đó.
b. Biến cố độc lập
 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay 
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của 
biến cố kia.
 Tổng quát :
 Cho k biến cố A1 ,A2 ,...,Ak ; k biến cố này được gọi là độc lập với 
nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh 
hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.
c. Quy tắc nhân xác suất
 Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
 P(AB) P(A).P(B) 
 Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:
 P(A1A2...Ak ) P(A1)P(A2 )...P(Ak ) 
 BÀI TẬP
 1. Gieo một đồng tiền cân đối ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), 
 mặt ngửa (N).
 a). Xây dựng không gian mẫu.
 b). Xác định các biến cố: A: "Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sấp".
 B: "Ba lần xuất hiện các mặt như nhau".
 C: "Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp".
 D: "Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp".
 LỜI GIẢI
a). Không gian mẫu :  SSS,SSN,SNS,NSS,SNN,NSN,NNS,NNN .
b). Biến cố A: "Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sấp".
 A SSS, SSN, SNS, SNN
 Biến cố B: "Ba lần xuất hiện các mặt như nhau". B SSS, NNN
 Biến cố C: "Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp". B SSN, SNS, NSS
 Biến cố D: "Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp".
 D SSS,SSN,SNS,NSS,SNN,NSN,NNS \ NNN
 2. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp 
 (S), hoặc cả bốn lần ngửa (N) thì dừng lại.
 a). Mô tả không gian mẫu.
 b). Xác định các biến cố: 
 A: "Số lần gieo không vượt quá ba". B: "Số lần gieo là bốn".
 LỜI GIẢI
a). Mô tả không gian mẫu.  S, NS, NNS, NNNS, NNNN 
b). Biến cố A: "Số lần gieo không vượt quá ba". A S, NS, NNS
 Biến cố B: "Số lần gieo là bốn". B NNNS, NNNN 
 5. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để :
 a. Cả hai đồng xu đều sấp. b. Có ít nhất một đồng xu sấp.
 c. Có đúng một đồng xu ngửa.
 LỜI GIẢI
 Ta có không gian mẫu là :  (S;S);(S; N);(N;S);(N; N) .
 Đặt A,B,C là các biến cố được mô tả theo thứ tự ở các câu a, b, c. Ta có 
 :
 A (S;S) 
 B (S;S);(S; N); N;S) 
 C (N;S);(S; N) 
 Vậy ta tính được các xác suất sau : A 1 B 3 C 2 1
 P(A) ; P(B) ; P(C) .
  4  4  4 2
 6. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. 
 Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 
 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :
 a). Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
 b). Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa.
 LỜI GIẢI
a). Gọi X là biến cố " Đồng xu A xuất hiện mặt ngửa ".
 Gọi Y là biến cố " Đồng xu B xuất hiện mặt ngửa ".
 1
 Vì đồng xu A chế tạo cân đối nên P X .
 2
 Theo giả thuyết thì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu B gấp 3 lần 
 1
 xác suất xuất hiện mặt ngửa do đó P Y .
 4
 Biến cố cần tính cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là XY. Vì X, Y 
 1 1 1
 là hai biến cố độc lập nên P XY P X .P Y . .
 2 4 8
b). Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là 1 . Suy ra xác 
 8
 2
 1 1
 suất khi gieo hai lần thì cả hai lần hai đồng xu đều ngửa là .
 8 64
10. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho:
a). Tổng số chấm trong 2 lần gieo là số chẵn.
b). Tổng số chấm trong 2 lần gieo bằng 6.
c). Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm.
 LỜI GIẢI
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần
1)Mô tả không gian mẫu
2) Tính xác suất các biến cố: 
A: “ tổng số chầm bằng 7” B: “ tổng số chấm nhỏ hơn 6”
C: “ tổng số chấm chia hết cho 5” D: “ lần đầu là số nguyên tố, lần sau là 
số chẵn”
E: “ có đúng 1 mặt 6 chấm xuất hiện” F: “ có ít nhất mặt 6 chấm xuất hiện”
 LỜI GIẢI 1) Không gian mẫu  a; b : 1 a,b 6 . Trong đó a là số chấm trong lần 
gieo đầu, b là số chấm trong lần gieo thứ hai. Như vậy không gian mẫu  
có 36 phần tử. n  36
2) Biến cố A: “ Tổng số chấm bằng 7”. Số trường hợp thuận lợi cho A: 
 1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1 n A 6. 
 n A 6 1
 P A . 
 n  36 6
Biến cố B: “ Tổng số chấm trong 2 lần gieo nhỏ hơn 6”
Số trường hợp thuận lợi cho B:
 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 4,1 , 3,1 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 . 
 n B 10 5
 n B 10. Vậy P B . 
 n  36 18
Biến cố C: “ Tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 6”. Số trường 
hợp thuận lợi cho C: 
 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 5,1 , 4,1 , 3,1 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 4,2 , 3,2 , 3,3 .
 n C 15 5
 n C 15. Vậy P C . 
 n  36 12
Biến cố D: “ Tồng số chấm chia hết cho 5”. Số trường hợp thuận lợi cho D:
 2,3 , 3,2 , 1,4 , 4,1 , 5,5 , 6,4 , 4,6 n D 7. 
 n D 7
Vậy P D . 
 n  36
Biến cố E: “ Lần đầu là số nguyên tố, lần sau xuất hiện mặt chấm chẵn”. Số 
trường hợp thuận lợi cho E:
 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,2 , 3,4 , 3,6 , 5,2 , 5,4 , 5,6 n E 9. 
 n E 9 1
Vậy P E . 
 n  36 4
Biến cố F: “ Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện”. Số trường hợp thuận lợi 
cho F là:
 1,6 , 2,6 , 3,6 , 4,6 , 5,6 , 6,5 , 6,4 , 6,3 , 6,2 , 6,1 n F 10. 
 n F 10 5
Vậy P F . 
 n  36 18
Biến cố H: “ Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”. Số trường hợp thuận lợi 
cho H :
 11
 1,6 , 2,6 , 3,6 , 4,6 , 5,6 , 6,6 , 6,5 , 6,4 , 6,3 , 6,2 , 6,1 n H .
 36 a). Đặt A là biến cố "Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt có chấm chẵn".
 B là biến cố "Lần gieo thứ 2 xuất hiện mặt có chấm chẵn"
 Suy ra biến cố A "Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt có chấm lẻ". Biến cố 
B "Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt có chấm lẻ".
 C là biến cố "Tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn".
 Dễ dàng thấy C A  B  A  B . Ta thấy A  B và A  B là hai 
 biến cố xung khắc nên
 P C P A  B  A  B P A  B P A  B .
 Vì A, B là hai biến cố độc lập và A , B cũng là hai biến cố độc lập nên:
 1 1 1 1 1 1
 P A  B P A .P B  ; P A  B P A .P B  .
 2 2 4 2 2 4
 1 1 1
 Kết luận P C .
 4 4 2
Cách 2: Ta có :
 Không gian mẫu  m,n : 1 i, j 6 n  36 .
 Gọi C là biến cố "Tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn".
 Ta có C m,n : 1 m,n 6 và m n chan n C 18 .
 n C 18 1
 Do đó P C .
 n  36 2
b). Gọi D là biến cố "Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6". Các trường 
hợp xảy ra thuận lợi cho D là 1,5 ; 5,1 ; 2,4 ; 4,2 ; 3,3  n D 5 .
 n D 5
 Kết luận P D .
 n  36
c). Gọi E là biến cố "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm". Các trường 
hợp thuận lợi của E là 
 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 3,1 ; 4,1 ; 5,1 ; 6,1  n E 11.
 n E 11
 Kết luận P E .
 n  36
Cách 2: Gọi A1 là biến cố "Lần gieo đầu xuất hiện mặt 1 chấm".
 Gọi B1 là biến cố "Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 1 chấm".
 Gọi E là biến cố "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm". 
 Ta có E A1  B1 , và A1, B1 độc lập. Nên có : 1 1 1 1 11
 P E P A P B P A  B  
 1 1 1 1 6 6 6 6 36
 11. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và 
 một con màu xanh. Tính xác suất của các biến cố sau:
 a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".
 b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
 c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
 d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
 e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
 f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".
 LỜI GIẢI
 Không gian mẫu  a; b : 1 a,b 6 . Trong đó a là số chấm trên con 
 đỏ, b là số chấm trên con xanh. Như vậy không gian mẫu  có 36 phần 
 tử. n  36
 n A 6 1
a). Ta có A 6,b : 1 b 6 n A 6 . Vậy P A .
 n  36 6
 n B 6 1
b). Hoàn toàn tương tự câu a) có P B .
 n  36 6
 1
c). Ta có A  B 6,6 P A  B 
 36
 1 1 1 11
 Do đó P C P A  B P A P B P A  B 
 6 6 36 36
 11 25
d). Dễ thấy D chính là biến cố đối của C nên P D 1 P C 1 
 36 36
e). Các trường hợp thuận lợi của biến cố E : 
 n E 5
 2,6 , 6,2 , 3,5 , 5,3 , 4,4  n E 5 . Vậy P E .
 n  36
f). Ta có 
 F a,b :1 a,b 6, a b 2 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 , 6,4 , 5,3 , 4,2 , 3,1 
 n F 8 2
 Vậy n F 8 P F 
 n  36 9
 12. Gieo đồng thời 3 con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất :
 a). Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 3 con súc sắc bằng 9.
 b). Được mặt 6 chấm.
 c). Số chấm xuất hiện trên các mặt bằng nhau. d). Tổng số chấm xuất hiện của ba con súc sắc không nhỏ hơn 16.
 e). Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo 
 thứ 2 và thứ 3.
 LỜI GIẢI
 Không gian mẫu  a,b,c : 1 a,b,c 6 . Trong đó a là số chấm trên 
 con thứ nhất, b là số chấm trên con thứ hai, c số chấm trên con thứ ba. 
 Như vậy không gian mẫu  có 63 phần tử. n  63 216
a). Gọi biến cố A "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của ba con súc sắc bằng 
 9". Các trường hợp thuận lợi cho A là {(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (1,5,3), 
 (1,6,2), (2,1,6), (2,2,5), (2,3,4), (2,5,2), (3,1,5), (3,2,4), (3,3,3), (3,4,2), 
 (3,5,1), (4,1,4), (4,2,3), (4,3,2), (4,4,1), (5,1,3), (5,2,2), (5,3,1), (6,1,2), 
 (6,2,1),(2,6,1), (2,4,3). n A 25
 n A 25
 Vậy P A 
 n  216
d). Gọi A là biến cố "Tổng số chấm trên ba con súc sắc không nhỏ hơn 16". 
Ta xét các biến cố sau:
 A1: Tổng số chấm bằng 16, gồm các kết quả thuận lợi sau:
 5,5,6 , 5,6,5 , 6,5,5 , 6,6,4 , 6,4,6 , 4,6,6 
 A2: Tổng số chấm bằng 17, gồm các kết quả thuận lợi sau: 
 6,6,5 , 6,5,6 , 5,6,6 
 A3: Tổng số chấm bằng 18, có một kết quả thuận lợi (6, 6, 6).
 Ta có A A1  A2  A3 , các biến cố A1, A2, A3 xung khắc nhau từng đôi 
 6 3 1
 một. Do đó có: P A P A P A P A 0,0463 .
 1 2 3 216 216 216
e). Gọi E là biến cố " Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số 
chấm của lần gieo thứ 2 và thứ 3".
 Các trường hợp thuận lợi cho E là: E = {(2, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (4, 1, 
 3), (4, 3, 1), (4, 2, 2), (5, 1, 4), (5, 4, 1), (5, 2, 3), (5, 3, 2), (6, 1, 5), (6, 
 5, 1), (6, 2, 4), (6, 4, 2), (6, 3, 3)}.
 n E 15 5
 Vậy n E 15 . Xác suất cần tìm là P E .
 n  216 72
Bài 4: Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối đồng chất. Gọi X là tổng số 
chấm xuất hiện trên ba mặt con súc sắc sau khi gieo. Tính xác suất để X 
không nhỏ hơn 6.
 LỜI GIẢI  m,n,p : 1 m,n,p 6 n  63 216 ( trong đó m, n, p lần lượt là số 
chấm trên ba con xúc sắc).
Gọi biến cố A “X không nhỏ hơn 6”, với X m n p 6 
Gọi biến cố B “tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt con súc sắc sau khi gieo 
nhỏ hơn 6”. Các trường hợp thuận lợi cho B là 
 1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 2,1,1; 1,2,2; 2,1,2; 2,2,1 n B 7 .
 7 209
Dễ dàng thấy A và B là hai biến cố đối, do đó P A 1 P B 1 . 
 216 216
14. Gieo một con súc sắc được chế tạo cân đối đồng chất ba lần liên tiếp. 
Gọi A là biến cố: “ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc trong 
ba lần gieo bằng 9”.
a. Mô tả không gian mẫu.
b.Mô tả tập A các kết quả thuận lợi cho A.
c. Tính P A .
 LỜI GIẢI
a) Nếu kí hiệu a,b,c theo thứ tự là số chấm xuất hiện trên mặt con súc sắc ở 
 lần gieo thứ nhất, thứ hai và thứ ba thì mỗi kết quả của phép thử T ( gieo 
 một con súc sắc được chế tạo cân đối đồng chất ba lần liên tiếp) là một 
 bộ ba số (a,b,c) trong đó a,b,c là các số nguyên dương không lớn hơn 6. 
 Vậy  a,b,c 1 a,b,c 6 (a,b,c nguyên dương).
b)A a,b,c 1 a,b,c 6,a b c 9 (a,b,c nguyên dương).
c) Theo quy tắc nhân, ta có số kết quả có thể là  6.6.6 216. 
 Ta cần đếm số kết quả thuận lợi cho A. Ta cần liệt kê các bộ ba (a;b;c) 
 với a,b,c nguyên dương không lớn hơn 6 và có tổng bằng 9. Đó là
 + Bộ (1,2,6) và các hoán vị của nó. Có 6 bộ như vậy.
 + Bộ (1,3,5) và các hoán vị của nó. Có 6 bộ như vậy.
 + Bộ (1,4,4) và các hoán vị của nó. Có 3 bộ như vậy.
 + Bộ (2,2,5) và các hoán vị của nó. Có 3 bộ như vậy.
 + Bộ (2,3,4) và các hoán vị của nó. Có 6 bộ như vậy.
 + Bộ (3,3,3). Có 1 bộ
 Vậy số kết quả thuận lợi cho A là 6 6 3 3 6 1 25. 
 25
 Do đó P A . 
 216
Gieo một con súc sắc 3 lần. Gọi A là biến cố số chấm trong lần gieo thứ 2 
lớn hơn 4 và lớn hơn tổng số chấm trong lần gieo thứ nhất và thứ ba.
a). Mô tả biến cố A.
b). Tính xác suất của biến cố A. LỜI GIẢI
 a). Các trường hợp thuận lợi cho A là: { 1; 5;1 , 1; 5; 2 , 2; 5;1 , 1; 5; 3 , 3; 5;1 
 , 1;6;1 , 1;6; 2 , 2;6;1 , 1;6; 3 , 3;6;1 , 1;6; 4 , 4;6;1 }.
 b). Không gian mẫu  a; b;c : 1 a,b,c 6 . Trong đó a là số chấm gieo 
 lần một, b là số chấm gieo lần hai, c số chấm gieo lần ba. Như vậy không 
 gian mẫu có n  6.6.6 216 phần tử.
 Số trường hợp thuận lợi cho A là n A 12 .
 n A 12 1
 Xác suất cần tìm P A .
 n  216 18
 Bài 4: Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để:
 a). Số chấm xuất hiện trên các mặt bằng nhau.
 b). Được ít nhất một mặt 6 chấm.
 LỜI GIẢI
  m,n,p : 1 m,n,p 6 n  63 216 ( trong đó m,n,p lần lượt là số 
 chấm trên ba con xúc sắc).
 a). Gọi biến cố A “Số chấm xuất hiện trên các mặt bằng nhau”. Có 
 n A 6 1
 A a,a,a : 1 a 6 n A 6 . Xác suất cần tìm P A .
 n  216 36
 a). Gọi biến cố B “Được ít nhất một mặt 6 chấm”. Số trường hợp thuận lợi 
 cho B là:
 Trường hợp 1: Chỉ 1 con suất hiện mặt 6 chấm (hai con còn lại xuất hiện 
 1 1 1
 mặt từ 1 đến 5 chấm), có C3 .C5 .C5 75 cách.
 2 1
 Trường hợp 2: Hai con xuất hiện mặt 6 chấm, có C3 .C5 15 cách.
 Trường hợp 3: Cả ba con xuất hiện mặt 6 chấm, có 1 cách.
 Số thuận lợi cho B là n B 75 15 1 91 cách.
 n B 91
 Xác suất cần tìm P B .
 n  216
 18. Một bình đựng 6 viên bi khác về màu có 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ. Lấy 
 ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được:
 a). 2 viên bi xanh. b). 2 viên bi khác màu.
 LỜI GIẢI
 Tập hợp tất cả các trường hợp xảy ra khi lấy ra 2 viên bi trong 6 viên bi 
 2 2
là C6 . Vậy n  C6