Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Bài 2, Phần 2: Nhị thức Niu-tơn (Có lời giải)

 3 4 5 n
11. Tính tổng S 1.2.3.Cn 2.3.4.Cn 3.4.5.Cn (n 2)(n 1)n.Cn 
 LỜI GIẢI
 k k 1
 Từ công thức kCn nCn 1 ta có: 
 k k 1
 (k 2)(k 1)kCn (k 2)(k 1)nCn 1
 k 1 k 2
 n(k 2)(k 1)Cn 1 n(k 2)(n 1)Cn 2
 k 2 k 3
 n(n 1)(k 2)Cn 2 n(n 1)(n 2)Cn 3 (1)
 Áp dụng công thức (1) 3 k n,k ¥ , có:
 3 0
 Với k 3 : 1.2.3.Cn n(n 1)(n 2)Cn 3 .
 4 1
 Với k 4 : 2.3.4.Cn n(n 1)(n 2)Cn 3 .
 5 2
 Với k 5 : 3.4.5.Cn n(n 1)(n 2)Cn 3 .
 n n 3
 Với k n : (n 2)(n 1)n.Cn (n 2)(n 1)n.Cn 3 .
 Từ đó suy ra:
 0 1 2 n 3 n 3 .
 S n(n 1)(n 2) Cn 3 Cn 3 Cn 3 ... Cn 3 n(n 1)(n 2).2
 1 1 1 1
1. Tính tổng S C0 C1 C2 ... Cn , n N* (THTT-12-2008-Tr 
 1 n 2 n 3 n n 1 n
14)
 LỜI GIẢI
 k k 1
 Theo công thức kCn nCn 1
 1 1
 Ta có (k 1)Ck 1 (n 1)Ck Ck 1 Ck 
 n 1 n n 1 n 1 k 1 n
 1 1 1 1 1 1 1
 Nên S C0 C1 C2 ... Cn C1 C2 ... Cn 1 
 1 n 2 n 3 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
 1
 S C1 C2  Cn 1 C1 C2  Cn 1 n 1 .S
 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
 0 1 2 n 1 0
 Cn 1 Cn 1 Cn 1  Cn 1 n 1 .S Cn 1
 n 1 0 n 1
 2 n 1 .S Cn 1 2 1 n 1 .S
 2n 1 1
 S 
 n 1
 1 1 1 1
2. Tính S .C0 .C1 .C2 ... .Cn 
 1.2 n 2.3 n 3.4 n (n 1)(n 2) n LỜI GIẢI
 1 1
 Sử dụng công thức .Ck .Ck 1
 (k 1) n (n 1) n 1
 1 1 1 1 1 1
 .Ck .Ck . .Ck 1 . .Ck 1
 (k 1)(k 2) n (k 2)(k 1) n (k 2) (n 1) n 1 (n 1) (k 2) n 1
 1 1
 . .Ck 2
 (n 1) (n 2) n 2
 1
 Như vậy S C2 C3 C4 ... Cn 2 
 (n 1)(n 2) n 2 n 2 n 2 n 2 
 1 1
 S 2n 2 C0 C1 2n 2 n 3
 (n 1)(n 2) n 2 n 2 (n 1)(n 2) 
 1 1 1 1
 3. Tính S .C0 .C1 .C2 ... .Cn
 1.2.3 n 2.3.4 n 3.4.5 n (n 1)(n 2)(n 3) n
 LỜI GIẢI
 Ta có : 
 1 k 1 1 k 1 k 1
 Cn Cn .Cn 1
 (k 1)(k 2)(k 3) (k 2)(k 3) k 1 (k 2)(k 3)(n 1)
 1 1 k 1 1 1 k 2 1 k 3
 . .Cn 1 . .Cn 2 .Cn 3
 (n 1)(k 3) k 2 (n 1)(k 3) n 2 (n 1)(n 2)(n 3)
 1
 Suy ra: S . C3 C4 ... Cn 3 
 (n 1)(n 2)(n 3) n 3 n 3 n 3 
 1 2n 4 n2 7n 14
 2n 3 C0 C1 C2 
 (n 1)(n 2)(n 3) n 3 n 3 n 3 2(n 1)(n 2)(n 3)
 TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT SỐ HẠNG
Tìm hệ số của số hạng thứ k trong các khai triển sau:
 14
1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển 2x y2 
 11
2). Tìm hệ số của x7 trong khai triển 1 x .
 19
3). Tìm hệ số của x9 trong khai triển 2 x .
 15
4). Tìm hệ số của x7 trong khai triển 3 2x .
5). Tìm hệ số của x5y8 trong khai triển x y 13 .
 15
6). Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển x3 xy .
 LỜI GIẢI 14
1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển 2x y2 
 k
 k n k k k 14 k 2
Ta có số hạng tổng quát Tk 1 Cna b C14 (2x) y . Để có số hạng 
thứ 9 thì k 1 9 k 8 . Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển là 
 8
 8 6 2 6 16
C14 (2x) y 192192x y .
 11
2). Tìm hệ số của x7 trong khai triển 1 x .
 11
 11
Ta có k k . Để có hệ số của 7 thì . Kết luận 7 .
 1 x C11x x k 7 a7 C11
 k 0
 19
3). Tìm hệ số của x9 trong khai triển 2 x .
 19 19
 19 k
Ta có k 19 k k k 19 k k . Để có hệ số của 9 thì 
 2 x C19 2 ( x) C19 2 1 x x
 k 0 k 0
 9 10 9 9 10
k 9 . Kết luận a9 C19 2 1 C19 2 .
 15
4). Tìm hệ số của x7 trong khai triển 3 2x .
 15 15
 15 k
Ta có k 15 k k k 15 k k . Để có hệ số của 7 
 3 2x C15 3 ( 2x) C15 3 2 x x
 k 0 k 0
 7 8 7
thì k 7 . Kết luận a7 C15 3 2 .
5). Tìm hệ số của x5y8 trong khai triển x y 13 .
 13
 13 k 13 k k 5 8 13 k 5
Ta có x y C13x y . Để có hệ số của x y thì 
 k 0 k 8
 5 8 8
 k 8 (đúng). Kết luận hệ số của x y là C13 .
 15
6). Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển x3 xy .
 15 15
 3 15 k 3 15 k k k 45 2k k
Ta có x xy C15 x xy C15x y . Để có hệ số của 
 k 0 k 0
 25 10 45 2k 25 25 10 10
x y thì k 10 (đúng). Kết luận hệ số của x y là C15 .
 k 10
16). Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển:
 6 9 19
a). 3 15 b). 3 3 2 c). 3 3 2 
 LỜI GIẢI 6 6 6 k k 6 6 k k
a). k k 
 3 15 C6 3 15 C6 3 3 5 
 k 0 k 0
 6 6 6 k
 k 6 k k k k 6 k k
 k k k 3 2 . Để có 
 C6 1 3 3 5 C6 1 3 5 C6 1 3 5
 k 0 k 0 k 0
 k k2
số hạng chứa số nguyên thì là số nguyên, có nghĩa 
 2 0 k 6; k ¢
 k 0,2,4,6 . 
 0 3 2 3 4 3 2 6 3 3
Vậy số hạng nguyên là C6 3 C6 3 5 C6 3 5 C6 3 5 15552 .
 9 k k
 9 9 9 k 9 1 1 9 9 k k
 b). 3 3 2 Ck 3 3 2 Ck 32 2 3 Ck 3 2 2 3 . Để có số 
  9  9  9
 k 0 k 0 k 0
 (9 k)2
hạng chứa số nguyên thì k3 k 3,9 . 
 0 k 9
 3 3 9 3
Vậy số hạng nguyên là C9 3 2 C9 2 4544 .
 19 19 k
 c). 3 k 3
 3 2 C19 3 2 
18) 
 14
 10 2 2 
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x ; x 0
 x 
 9
 3 2 1 
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x ; x 0 
 3x 
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển nhị thức 
 9
 1 3 
 2x ; x 0
 x 
 7
 8 4 2 
d) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 2x ; x 0
 x 
 11
 x3 2 
e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18 trong khai triển nhị thức 
 x 2 ; x 0
 3 x 
 LỜI GIẢI
 14
 10 2 2 
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x ; x 0
 x 
 14 14 k 14
 2 14 k 2 k
 Ta có 2 k 2 k 28 2k k
 x C14 x C14x 2 x
 x k 0 x k 0 14
 k
 k 28 3k . Để có hệ số của 10 thì . Kết luận hệ 
 C14 2 x x 28 3k 10 k 6
 k 0
 10 6 6
số của x là C14 2 192192 . 
 9
 3 2 1 
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x ; x 0 
 3x 
 9 k
 1 9 9 k 1 9 1 9 1
Ta có x2 Ck x2 Ckx18 2k x k Ck x18 3k
  9  9 k  9 k
 3x k 0 3x k 0 3 k 0 3
. Để có hệ số của x3 thì 18 3k 3 k 5 . Kết luận hệ số của x3 là 
 5 1 14
C9 . 
 35 27
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển nhị thức 
 9
 1 3 
 2x ; x 0
 x 
 9 9 9 k 9
 1 1 k 9 k
Ta có 3 k 3 k k k 9 3k
 2x C9 2x C9 1 2 x x
 x k 0 x k 0
 9
 9 k
 k k 4k 9 . Để có hệ số của 15 thì . Kết luận 
 C9 1 2 x x 4k 9 15 k 6
 k 0
 15 6 3 6
hệ số của x là C9 1 2 5376 . 
 7
 8 4 2 
d) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 2x ; x 0
 x 
 7 7 k 7
 2 7 k 2 7 k k
Ta có 4 k 4 k 28 4k k 
 2x C7 2x C7 2 x 2 x
 x k 0 x k 0
 7
 7 k k
 k 28 5k . Để có hệ số của 8 thì . Kết luận 
 C7 2 2 x x 28 5k 8 k 4
 k 0
 8 4 3 4
hệ số của x là C7 2 ( 2) 4480 . 
 11
 x3 2 
e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18 trong khai triển nhị thức 
 x 2 ; x 0
 3 x 
 11 11 k
 3 11 3 k 11
 x 2 x 2 1 k
Ta có Ck Ck x33 3k 2 x 2k 
 2  11 2  11 11 k 
 3 x k 0 3 x k 0 3
 11
 1 k
 Ck 2 x33 5k . Để có hệ số của x18 thì 33 5k 18 k 3 . Kết 
  11 11 k 
 k 0 3
 18 3 1 3 440
luận hệ số của x là C11 ( 2) .
 38 2187 2 20 2 20
 4. Cho P(x) 1 x 2 1 x ... 20 1 x a0 a1x a2x ... a20x . 
 Tính a15 .
 LỜI GIẢI
 15 16 20
 Hệ số của x15 trong 1 x , 1 x ,..., 1 x lần lượt là 
 15 15 15 15 15 15
 C15 ,C16 ,C17 ,C18 ,C19 ,C20 .
 15 15 15 15 15 15
 Suy ra a15 15C15 16C16 17C17 18C18 19C19 20C20 400995. 
 2 3 5 2
 5. Đặt f(x) (1 x x x ) a0 a1x a2x ... a15 
 1). Tính a10 ; 2). Tính a0 a1 ... a15 ; 3). Tính 
 a0 a1 a2 ... a15 
 LỜI GIẢI
 5 5
 2 2 5 2 5
1). Ta có : f(x) (1 x) x (1 x) (1 x)(1 x ) (1 x) (1 x ) 
 Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: 
 5 5 5 5
 k k m 2m k m k 2m
 f(x) C5x .C5 x C5.C5 .x (1)
 k 0 m 0 k 0m 0
 k 2m 10
 k 0 k 2 k 4
 Để có số hạng chứa x10 thì 0 k,m 5   
 m 5 m 4 m 3
 k,m ¥
 0 5 2 4 4 3
 Vậy a10 C5C5 C5C5 C5C5 1 50 50 101 .
 5
2). Ta có f(1) (1 1 1 1) a0 a1 a2 ... a15 . 
 5
 Vậy a0 a1 a2 ... a15 4 1024 .
 5
3). Ta có f( 1) (1 1 1 1) a0 a1 a2 ... a15 . 
 Vậy a0 a1 a2 ... a15 0 .
 Nhận xét : Ta hay sử dụng kết quả sau :
 n n 1
 Với đa thức :P(x) anx an 1x ... a1x a0, 
 a a a ... a P(1)
 Khi đó 0 1 2 n
 n
 a0 a1 a2 ... ( 1) an P( 1)
 n
 8 1 5 
 1. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu tơn x , biết 
 x3 
 tổng các hệ số của khai triển trên bằng 4096 (với n là số nguyên dương và x > 0).
 LỜI GIẢI
 n
 1 5 
 Đặt f x x . 
 x3 
 Chọn x = 1 thay vào f(x) ta được tổng hệ số của khai triển.
 n
 Ta có f 1 1 1 2n Theo đề bài ta có 2n 4096 n 12
3. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 
 14 2 14
+ + (1 + x) có dạng khai triển là: P(x) = a 0 + a1x + a2x + + a14x . 
Hãy tính hệ số a9.
 LỜI GIẢI
 9 9 9 9 9 1 2 3 4 5
 a9 = 1 + C10 C11 C12 C13 C14 = 1 + C10 C11 C12 C13 C14
 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10
 = 1 + 10 + = 3003
 2 6 24 120
4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: 
 11 7
 1 2 1 
A x x 
 x2 x 
 LỜI GIẢI
 Công thức khai triển của biểu thức là:
 11 k 7 11 7
 1 7 n 1 k
 A Ck .x11 k . Cn . x2 . 1 .Ck .x11 3k Cn .x14 3n
  11 2  7 n  11  7
 k 0 x n 0 x k 0 n 0
 11 3k 5 k 2
 Để số hạng chứa x5 thì 
 14 3n 5 n 3
 5 2 3
 Kết luận hệ số của x là C11 C7 90 .
5. Khai triển và rút gọn biểu thức 1 x 2(1 x)2 ... n(1 x)n thu được 
 n
đa thức P(x) a0 a1x ... anx . Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên 
 1 7 1
dương thoả mãn .
 2 3
 Cn Cn n
 LỜI GIẢI
 n 3
 1 7 1 
 Ta có 
 2 3 2 7.3! 1
 C C n 
 n n n(n 1) n(n 1)(n 2) n n 3
 (nhận).
 2 n 9
 n 5n 36 0
 8 9
 Suy ra hệ số của a8 nằm trong biểu thức 8(1 x) 9(1 x) .
 8 8
 Đó là 8.C8 9.C9 89.
 6
Tìm a để trong khai triển 1 ax 1 3x hệ số của hạng chứa x3 bằng 405.
 LỜI GIẢI
 6 6
 6 6 6 k m
Có k m 
 1 ax 1 3x 1 3x ax 1 3x C6 3x ax. C6 3x 
 k 0 m 0
 6 6
 k m
 k k m m 1 . Để có số hạng chứa 3 thì 
 C6 3 .x  C6 .a. 3 .x x
 k 0 m 0
 k 3 k 3
 m 1 3 m 2
Vậy hệ số của số hạng chứa x3 là 
 3 3 2 2
a3 C6 . 3 C6 .a. 3 540 135a 405 a 7 .
 6
 3 1 2 
Tìm hạng số thứ 4 trong khai triển 8a x theo lũy thừa tăng dần của 
 2 
x.
 LỜI GIẢI
 6 k k
 1 6 6 k 1 6 6 k 1 
Có 3 2 k 3 2 k 3 2k (1)
 8a x C6 8a x C6 8a .x
 2 k 0 2 k 0 2 
Với k = 0 thay vào (1) được số hạng thứ nhất, tiếp theo thay k = 1 được số 
hạng thứ 2, thay k = 2 được số hạng thứ 3. Vậy khi thay k = 3 được số hạng 
 3
 3 1 
 3 3 6 9 6
thứ 4 là C6 . 8a x 1280a x . 
 2 
 5 10
Tìm hệ số của x5 trong khai triển: P x 1 3x x2 1 2x 
 LỜI GIẢI
 5 10
 5 10 k m
Ta có 2 k 2 m 
 P x 1 3x x 1 2x xC5 3x x  C10 2x 
 k 0 m 0
 5 10
 k m 
 k k 1 m m 2
 C5 3 x  C10 2 x
 k 0 m 0
 k 1 5 k 4
Để cố hệ số của x5 thì (thỏa).
 m 2 5 m 3 5 4 4 3 3
Kết luận hệ số của x là a5 C5 3 C10 2 1365 . 
 n
 2 2 
Bài 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x , biết 
 x3 
 2 1
rằng n là số tự nhiên thỏa phương trình: 2Cn 5Cn 40 0 .
 LỜI GIẢI
 n! n!
Ta có 2C2 5C1 40 0 2. 5. 40 0 n n 1 5n 40 0 
 n n 2! n 2 ! n 1 !
 n2 6n 40 0 n 10 (nhận).
 n 10 k
 2 2 10 10 k 2 10
Ta có x2 x2 Ck x2 Ck .2k.x20 5k
 3 3  10 3  10
 x x k 0 x k 0
Để có số hạng không chứa x thì 20 5k 0 k 4 . 
 4 4
Vậy hệ số của số hạng không chứa x là C10 .2 3360 
 n
 3 2 
 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x . Biết rằng số 
 x 
 6 7 8 9 8
 nguyên dương n thỏa mãn Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2
 LỜI GIẢI
 6 7 8 9 8 6 7 7 8 8 9 8
 Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn 2 Cn Cn 2 Cn Cn Cn Cn 2Cn 2
 7 8 9 8 7 8 8 9 8
 Cn 1 2Cn 1 Cn 1 2Cn 2 Cn 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 2Cn 2
 8 9 8 9 8
 Cn 2 Cn 2 2Cn 2 Cn 2 Cn 2 n 15
 n k 30 5k
 2 15 15 k 2 15
 3 k 3 k k 6
 Khi đó x  C15 x  C15 2 x
 x k 0 x k 0
 30 5k
 Để có số hạng không chứa x thì 0 k 5 .
 6
 6 6
 Hệ số của số hạng không chứa x phải tìm C15 .2 320320 .
 n 3 2 1 n 2
 8. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn : Cn Cn 1 Cn 1Cn 3 . Tìm hệ số 
 của số hạng chứa x11 trong khai triển nhị thức NiuTon của biểu thức 
 n
 3 n 8 n 
 P x x .
 3x 
 LỜI GIẢI
 Điều kiện n ¥ ,n 3 n! n 1 ! n 1 ! n 1 !
 Ta có Cn 3 C2 C1 Cn 2 .
 n n 1 n 1 n 3 3! n 3 ! 2! n 3 ! n 2 ! n 2 !
 n n 1 n 2 3 n 1 n 2 6 n 1 n 3 
 n n 2 3 n 2 6 n 3 
 n 1 lo¹i 
 n2 11n 12 0 
 n 12 nhËn 
 12 12 k 12
 4 12 k 4 k
 3 4 3 k 4 k 51 5k
 Khi đó P x x x  C12 . x .  C12 4 .x
 x k 0 x k 0
 k k 51 5k
 Số hạng tổng quát của khai triển là C12 4 .x
 Để có số hạng chứa x11 thì 51 5k 11 k 8
 Kết luận hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển là 
 8 8
C12 . 4 32440320
 1 2 3 n 1 n
 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn Cn  Cn Cn 255 . 
 Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển nhị thức Niu tơn 
 n
 P(x) 1 x 3x2 .
 LỜI GIẢI
 Với n là số nguyên dương ta có:
 0 1 2 3 n 1 n n n
 Cn Cn Cn Cn  Cn Cn 1 1 2
 1 2 3 n 1 n n
 Cn Cn Cn  Cn Cn 2 1 .
 Theo giả thuyết ta có 2n 1 255 2n 256 2n 28 n 8 .
 8 8 k
 2 k 2 
 P(x) 1 x 3x  C8 3x x 
 k 0
 k k k m k
 2 m 2 m m k m 2k m 
 Ngoài ta ta có 3x x  Ck 3x x  Ck .3 .x 0 m k 
 m 0 m 0
 8 k 8 k
 k m k m 2k m k m k m 2k m
 Vậy P(x)  C8  Ck .3 .x   C8 Ck .3 .x
 k 0 m 0 k 0 m 0
 2k m 14
 m 0 m 2
 Theo yêu cầu bài toán 0 m k 8  
 k 7 k 8
 m,k ¥
 14 7 0 7 8 2 6
 Kết luận hệ số của số hạng chứa x là C8 .C7 .3 C8 .C8 .3 .