Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Bài 1, Phần 2: Phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niu-tơn (Có lời giải)

 DẠNG 2: SẮP XẾP NGƯỜI HOẶC ĐỒ VẬT.
Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài, có bao nhiêu cách sắp xếp 
nếu:
a). 6 học sinh ngồi bất kỳ.
b). A và F luôn ngồi ở hai đầu ghế.
c). A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau.
d). A, B, C luôn luôn ngồi cạnh nhau.
e). A, B, C, D luôn luôn ngồi cạnh nhau.
f). A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau.
 LỜI GIẢI
a). Xếp 6 học sinh vào 6 ghế thành hàng ngang là hoán vị của 6 phần tử. Số 
cách xếp là 6! cách.
b). 
Bước 1: Xếp A và F ngồi ở hai đầu ghế có 2! cách xếp
Bước 2: Xếp 4 bạn còn lại vào 4 ghế còn lại có 4! cách xếp.
Theo quy tắc nhân có: 2!4! 48 cách xếp.
c). Vì A và F luôn ngồi cạnh nhau nên gom 2 bạn này thành nhóm X.
Bước 1: Xếp X và 4 bạn còn lại ngồi vào ghế có 5! cách xếp.
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 2! cách xếp các bạn trong 
nhóm X.
Theo quy tắc nhân có: 5!2! 240 cách.
d). Vì A, B, C luôn luôn ngồi cạnh nhau nên gom ba bạn này thành nhóm Y.
Bước 1: Xếp Y và 3 bạn còn lại ngồi vào ghế có 4! cách xếp. 
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 3! cách xếp các bạn trong 
nhóm Y.
Theo quy tắc nhân ta có: 4!3! 144 cách xếp.
e). Vì A, B, C, D luôn ngồi cạnh nhau, nên gom 4 người này thành một 
nhóm Z.
Bước 1: Xếp Z và hai người còn lại, có 3! cách xếp.
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 4! cách xếp các phần tử trong 
Z.
Theo quy tắc nhân có 3!4! 144 cách.
f). Bước 1: Xếp 4 bạn B, C, D, E ngồi vào ghế có 4! cách xếp.
Bước 2: Giả sử 4 bạn B, C, D, E là những vách ngăn. Giữa 4 bạn có 3 vị trí, 
thêm hai vị trí ở hai đầu, tổng cộng có 5 vị trí trống để xếp hai bạn A và F.
 2
Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí, sau đó xếp 2 bạn A và F , có A5 cách.
 2
Theo quy tắc nhân có: 4!A5 480 cách.
Một tổ có 5 nam và 3 nữ, trong đó có 2 bạn A và B. Hỏi có bao nhiêu cách 
xếp tổ trên thành một hàng ngang sao cho: a). A và B đứng cách nhau hai người.
b). Giữa 2 người nữ có đúng một người nam.
c). Không có 2 người nữ nào được đứng gần nhau.
 LỜI GIẢI
a).
 2
Bước 1: Chọn 2 người trong 6 người còn lại, có C6 cách chọn, để tao thành 
nhóm X thỏa điều kiện AabB đứng kề nhau với a và b là người vừa chọn.
Bước 2: Xếp X và 4 người còn lại (bỏ 4 người A, a, b, B) có 5! cách xếp.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 2 có 2! cách xếp hai người A và B, 
có 2! cách xếp hai người a và b.
 2
Theo quy tắc nhân có C6 .5!.2!.2! 7200 cách xếp thỏa yêu cầu.
b). 
Vì giữa 3 bạn nữ có 2 vị trí trống, để xếp thỏa yêu cầu phải có dạng AaBbC . 
Trong đó A, B, C là 3 bạn nữ, a, b là 2 bạn nam.
 2
Bước 1: Chọn 2 bạn nam trong 3 bạn nam, có C5 cách.
Bước 2: Gọi nhóm AaBbC là X. Xếp X và 3 bạn nam còn lại thành 1 hàng 
ngang có 4! cách.
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 2! cách xếp các bạn nam trong 
X và 3! cách xếp các bạn nữ trong X.
 2
Theo quy tắc nhân có C5 .4!.2!.3! cách xếp thỏa yêu cầu.
c). 
Bước 1: Xếp 5 bạn nam thành 1 hàng dọc có 5! cách xếp.
Bước 3: Coi 5 bạn nam là các vách ngăn, giữa 5 bạn nam có 4 vị trí trống và 
thêm 2 vị trí ngoài cùng, suy ra có 6 vị trí để xếp 3 người nữ, chọn 3 vị trí 
 3
trong 6 vị trí có A6 cách chọn.
 3
Theo quy tắc nhân có 5!.A6 14400 cách.
Có 5 ông già, 4 bà lão, 3 em bé. Có bao nhiêu cách sắp xếp vào một ghế dài 
nếu:
a). Ông già, bà lão, em bé ngồi bất kì.
b). 5 ông già ngồi cạnh nhau, 4 bà lão ngồi cạnh nhau, 3 em bé ngồi cạnh 
nhau.
c). 4 bà lão ngồi cạnh nhau, 3 em bé ngồi cạnh nhau.
 LỜI GIẢI
a). Xếp 12 người vào một ghế dài có 12! 479001600 cách xếp.
b). Bước 1: Xếp 5 ông già ngồi cạnh nhau, có 5! cách xếp.
Bước 2: Xếp 4 bà lão ngồi cạnh nhau, có 4! cách xếp
Bước 3: Xếp 3 em bé ngồi cạnh nhau có 3! cách xếp
Bước 4: Hoán vị 3 nhóm trên có 3! Cách. Theo quy tắc nhân có: 5!4!3!3! 103680 cách xếp.
Có 4 người đàn ông, 2 người đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy 
chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:
a). Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?
b). Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?
 LÒI GIẢI
a). Bước 1: Chọn 1 ghế xếp em bé, có 1 cách (vì ngồi xung quanh bàn tròn).
Bước 2: Xếp 2 người phụ nữ ngồi 2 ghế kề em bé, có 2! cách.
Bước 3: Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại, có 4! cách.
Theo quy tắc nhân có 2!.4! = 48 cách xếp.
 2
b). Bước 1: Chọn 2 người đàn ông trong 4 người, có C4 cách.
Bước 2: Chọn 1 ghế xếp em bé, có 1 cách (vì ngồi xung quanh bàn tròn).
Bước 3: Xếp 2 người đàn ông vừa chọn ngồi 2 ghế kề em bé, có 2! cách.
Bước 4: Xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại, có 4! cách.
 2
Theo quy tắc nhân có C4 .2!.4! 288 cách xếp.
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế mà không 
có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a). Ghế xếp thành hàng ngang? b). Ghế xắp quanh một bàn tròn?
 LỜI GIẢI
a). Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một dãy, có 6! cách.
Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 6 bạn nam có 5 vị trí 
và thêm 2 vị trí ở hai đầu. Tổng cộng có 7 vị trí để xếp 4 bạn nữ. Chọn 4 vị 
 4
trí trong 7 vị trí để xếp 4 bạn nữ, có A7 cách.
 4
Theo quy tắc nhân có 6!.A7 604800 cách.
b). Bước 1: Xếp 6 bạn nam ngồi quanh một bàn tròn, có 5! cách.
Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 6 bạn nam có 6 vị trí 
 4
để để xếp 4 bạn nữ. Chọn 4 vị trí trong vị trí để xếp 4 bạn nữ, có A6 cách.
 4
Theo quy tắc nhân có 5!.A6 43200 cách.
Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 
em này trên một hàng ngang trong mỗi yêu cầu sau đây:
a). Giữa hai bạn nữ bất kì đều không có một em nam nào?
b). Hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi 
cạnh nhau?
 LỜI GIẢI
a). Vì giữa 2 bạn nữ không có một bạn nam nào, có nghĩa 3 bạn nữ này 
đứng cạnh nhau.
Gọi nhóm 3 bạn nữ này là nhóm X.
Bước 1: Xếp X và 7 bạn nam trên một hàng ngang, có 8! cách xếp. Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 3! cách xếp các bạn nữ trong X.
Vậy có 8!.3! = 241920 cách xếp.
b). Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có 7! cách xếp.
Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có 6 vị trí 
 3
để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong 6 vị trí để xếp ba bạn nữ có A6 cách.
 3
Theo quy tắc nhân có 7!.A6 604800 cách.
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xung quanh một chiếc 
bàn tròn, sao cho không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
 LỜI GIẢI
Ta thực hiện các công đoạn sau:
Bước 1: Xếp 5 bạn nam ngồi quanh bàn tròn, có (5 – 1)! = 4! Cách.
Bước 2: giữa 5 bạn nam có 5 khoảng trống (xem 5 bạn nam là những vách 
 3
ngăn), sau đó xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 5 khoảng trống đó có A5 cách.
 3
Theo quy tắc nhân có 4!.A5 1440 cách.
Nhóm có 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc,sao cho 7 học sinh nam phải đứng 
liền nhau.
 LỜI GIẢI
Do 7 nam đứng cạnh nhau nên ta có thể xem họ như 1 vị trí x.
Bước 1: xếp x và 3 nữ có 4! cách 
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 7! cách xếp 7 nam trong x.
Do đó số cách sắp xếp cần tìm là 4!7! 120960 cách.
Xếp 3 nam, 2 nữ vào 8 ghế. Có bao nhiêu cách, nếu :
a. Nam và nữ được xếp ngồi tùy ý.
b. Xếp 5 người ngồi kề nhau.
c. Xếp 3 nam ngồi kề, 2 nữ ngồi kề và giữa hai nhóm có ít nhất một ghế 
trống.
 LỜI GIẢI
 5
a . Chọn 5 ghế trong 8 ghế và xếp 5 người ngồi vào : có A8 cách xếp.
b. Ta có 4 trường hợp sau :
 Ghế thứ 6, 7, 8 trống ;
 Ghế thứ 1, 7, 8 trống ;
 Ghế thứ 1, 2, 8 trống ;
 Ghế thứ 1, 2, 3 trống.
Mỗi cách xếp trên có 5! cách xếp 5 người ngồi vào. Vậy có tất cả 4.5! cách 
xếp.
Cách 2: Gọi nhóm 5 người này là nhóm A. Nhóm A chiếm 5 ghế còn lại 3 
ghế trống. Bây giờ ta xem nhóm A đã ngồi 1 ghế. Bước 1: Cách xếp A vào 4 ghế (3 ghế trống và 1 ghế đang ngồi), có 4 cách. Bước 2: Ứng với mỗi cách 
xếp ở bước 1, có 5! Cách xếp các bạn trong nhóm A. Theo quy tắc nhân có 
4.5! cách.
c). Xem ba ghế nam ngồi là một nhóm; 2 ghế nữ ngồi là một nhóm; mội ghế 
trống là một nhóm. Ta có 5 nhóm. Chọn 2 nhóm ghế để xếp nam và nữ có 
 2
A5 cách. Trong số đó có 8 cách xếp nhóm nam và nhóm nữ ngồi kề nhau. 
Do đó ta có 20 8 12 cách chọn vị trí để xếp nam và nữ thỏa bài toán. Ứng 
với mỗi cách xếp trên , ta có 3! cách xếp chỗ cho nam vào ba ghế dành cho 
nam và có 2! cách xếp 2 nữ ngồi vào 2 vị trí dành cho nữ. Vậy ta có tất cả 
12.3!.2! cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2: Gọi nhóm 3 nam là X, nhóm 2 nữ là Y. Tổng cộng hai nhóm này 
chiếm 5 ghế, vậy còn 3 ghế trống. (ta coi nhóm X ngồi 1 ghế, và nhóm Y 
ngồi 1 ghế).
Bây giờ bài toán trở thành xếp X và Y vào 5 ghế sao cho X và Y không ngồi 
gần nhau.
Trường hợp 1: Xếp X và Y bất kỳ.
 2
Bước 1: Chọn 2 ghế trong 5 ghế để xếp X và Y, có A5 cách. 
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 3! Cách xếp các phần tử trong 
X, và 2! Cách xếp các bạn nữ trong Y.
 2
Theo quy tắc nhân có A5 .3!.2! 240 cách.
Trường hợp 2: Xếp X và Y ngồi cạnh nhau.
Vì X và Y ngồi cạnh nhau, nên gom 2 nhóm này thành nhóm A.
Bước 1: Xếp A vào 1 trong 4 ghế có 4 cách
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1, có 2! Cách xếp 2 nhóm X và Y.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp bước 2, có 3! Cách xếp 3 bạn nam trong X, 
và 2! Cách xếp các bạn nữ trong Y.
Vậy có 4.2!.3!.2! 96 cách xếp hai nhóm X và Y ngồi cạnh nhau.
Kết luận có 240 – 96 = 144 cách xếp thỏa yêu cầu.
Có 4 người đàn ông , 2 người đàn bà và một đứa trẻ . Có bao nhiêu cách xếp 
thành hàng ngang :
a). Sao cho 2 người đàn bà và đứa trẻ đứng cạnh nhau .
b). Sao cho đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà .
c). Sao cho đứa trẻ đứng giữa hai người đàn ông .
d). Đứa trẻ không đứng giữa hai người đàn bà .
e). Hai người đàn bà và đứa trẻ không ai đứng gần nhau .
 LỜI GIẢI
a). Vì 2 người đàn bà và đứa trẻ đứng cạnh nhau nên gom 3 người này 
thành nhóm X .
Bước 1: Số cách xếp 4 người đàn ông và X là P5 5! 120 cách xếp . Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp trên có 3! 6 cách xếp 2 người đàn bà và đứa 
trẻ .
Theo qui tắc nhân ta có 120.6 720 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
b). Vì đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà có nghĩa 3 người này cũng đứng 
cạnh nhau nên gom 3 người này thành nhóm X .
Bước 1: Số cách xếp 4 người đàn ông và X là P5 5! 120 cách xếp .
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp trên có 2! 2 cách xếp 2 người đàn bà .
Theo qui tắc nhân ta có 120.2 240 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
 2
c). Đầu tiên chọn 2 người đàn ông trong 4 người đàn ông có C4 6 cách 
chọn .
Vì đứa trẻ đứng giữa hai người đàn ông có nghĩa 3 người này đứng cạnh 
nhau nên gom 3 người này thành nhóm X .
Số cách xếp 4 người gồm 2 đàn ông còn lại, 2 đàn bà và X là P5 5! 120 
cách xếp .
Ứng với mỗi cách xếp trên có 2! 2 cách xếp 2 người đàn ông .
Theo qui tắc nhân ta có 120.2.6 1440 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
d). Bước 1 : Xắp sếp 7 người bất kỳ là 7!
Bước 2 : Xếp đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà là 240 cách 
Suy ra số cách xếp hai đứa trẻ không đứng giữa hai người đàn bà : 
7! 240 4800 cách.
e). Hai người đàn bà và đứa trẻ không ai đứng gần nhau .
Bước 1: Xếp 4 người đàn ông thành một hàng, có 4! Cách xếp.
Bước 2: Xem 4 người đàn ông là những vách ngăn, giữa 4 người có 3 vị trí 
và thêm 2 vị trí ở hai đầu, tổng cộng có 5 vị trí để xếp 2 phụ nữ và 1 trẻ em. 
 3
Chọn 3 vị trí trong 4 vị trí để xếp, có A4 cách chọn.
 3
Theo quy tắc nhân có 4!.A4 576 cách xếp thỏa yêu cầu.
Xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng dọc . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 
:
a). Nữ luôn đứng cạnh nhau .
b). Nam nữ đứng xen kẽ .
c). Không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau .
d). Nữ luôn đứng thành 2 cặp và hai cặp này không đứng cạnh nhau .
 LỜI GIẢI
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a). Gọi 4 bạn nữ thành nhóm X . Cách xếp 6 bạn nam và X là 7! cách .
Ứng với mỗi cách xếp trên có 4! cách xếp bạn nữ .
Theo quy tắc nhân vậy có 7!.4! cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
c). Bước đầu tiên xếp 6 bạn nam có 6! cách . Vì các bạn nữ không đứng cạnh nhau , nên phải xếp các bạn nữ xen giữa các 
bạn nam . giữa 6 bạn nam có 5 vị trí và thêm 2 vị trí ở hai đầu , tổng cộng có 
 4
7 vị trí để xếp 4 bạn nữ . Vậy có tất cả A7 cách .
 4
Theo qui tắc nhân có 6!.A7 604800 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
 2
d). Có C4 6 cặp nữ . a,b,c,d a,b, c,d, a,c, b,d, a,d, b,c trong 6 
tập này có 3 cặp mà các phần tử trong mỗi tập đều khác nhau là a,bvà 
 c,d , a,c và b,d , a,d và b,c
Bước đầu tiên xếp 6 bạn nam có 6! cách. Giữa 6 bạn nam có 5 vị trí và thêm 
 2
2 vị trí ở hai đầu , tổng cộng có 7 vị trí để xếp 2 cặp bạn nữ , vậy có A7 
cách xếp . Ứng với mỗi cách xếp 2 cặp bạn nữ có 2! cách xếp cặp bạn nữ 
thứ nhất và có 2! cách xếp cặp bạn nữ thứ hai .
Vì cách xếp các cặp là như nhau 
 2
Theo quy tắc nhân có 3.6!.A7 .2!.2! 362880 cách xếp .
Có 4 người đàn ông , 2 người đàn bà và một đứa trẻ . Có bao nhiêu cách xếp 
thành hàng ngang :
a). Sao cho 2 người đàn bà và đứa trẻ đứng cạnh nhau .
b). Sao cho đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà .
c). Sao cho đứa trẻ đứng giữa hai người đàn ông .
d). Đứa trẻ không đứng giữa hai người đàn bà .
 LỜI GIẢI
a). Vì 2 người đàn bà và đứa trẻ đứng cạnh nhau nên gom 3 người này 
thành nhóm X .
Số cách xếp 4 người đàn ông và X là P5 5! 120 cách xếp .
Ứng với mỗi cách xếp trên có 3! 6 cách xếp 2 người đàn bà và đứa trẻ .
Theo qui tắc nhân ta có 120.6 720 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
b). Vì đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà có nghĩa 3 người này cũng đứng 
cạnh nhau nên gom 3 người này thành nhóm X .
Số cách xếp 4 người đàn ông và X là P5 5! 120 cách xếp .
Ứng với mỗi cách xếp trên có 2! 2 cách xếp 2 người đàn bà .
Theo qui tắc nhân ta có 120.2 240 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán .
 2
c). Đầu tiên chọn 2 người đàn ông trong 4 người đàn ông có C4 6 cách 
chọn .
Vì đứa trẻ đứng giữa hai người đàn ông có nghĩa 3 người này đứng cạnh 
nhau nên gom 3 người này thành nhóm X .
Số cách xếp 4 người gồm 2 đàn ông 2 đàn bà và X là P5 5! 120 cách xếp .
Ứng với mỗi cách xếp trên có 2! 2 cách xếp 2 người đàn ông .
Theo qui tắc nhân ta có 120.2.6 1440 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán . d). Bước 1 : Xắp sếp 7 người bất kỳ là 7!
Bước 2 : Xếp đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà là 240 cách 
Suy ra số cách xắp hai đứa trẻ không đứng giữa hai người đàn bà : 
7! 240 4800
Có 6 nam, 6 nữ trong đó có ba bạn tên A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 
thành một hàng dọc để vào lớp sao cho:
a). Các bạn nữ không ai đứng cạnh nhau.
b). Đầu hàng và cuối hàng luôn là nam.
c). Đầu hàng và cuối hàng luôn cùng phái.
d). Đầu hàng và cuối hàng luôn khác phái.
e). A, B, C luôn đứng gần nhau.
f). A, B, C không ai đứng gần nhau.
g). A, B đứng cách nhau đúng 1 người.
h). A, B cách nhau đúng 2 người.
 LỜI GIẢI
a). Các bạn nữ không ai đứng cạnh nhau.
Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành 1 hàng có 6! cách. 
Xem các bạn nam như các vách ngăn, giữa 6 bạn nam có 5 vách ngăn, và 
thêm 2 vị trí đầu và cuối tổng cộng có 7 vị trí để xếp các bạn nữ.
 6
Bước 2: Xếp chọn 6 vị trí trống trong 7 vị trí để xếp 6 bạn nữ vào, có A7 
cách.
 6
Theo quy tắc nhân có 6!.A7 3628800 cách xếp thỏa yêu cầu .
b). Đầu hàng và cuối hàng luôn là nam.
 2
Bước 1: Chọn 2 trong 6 bạn nam xếp vào đầu hàng và cuối hàng có A6 
cách.
Bước 2: Xếp 6 bạn nữ và 4 bạn nam còn lại vào ở giữa có 10! Cách xếp.
 2
Theo quy tắc nhân có A6 .10! 108864000 cách xếp.
c). Đầu hàng và cuối hàng luôn cùng phái.
Trường hợp 1: Đầu hàng và cuối hàng luôn là nam. Theo câu b) có 
108864000 cách xếp.
Trường hợp 1: Đầu hàng và cuối hàng luôn là nữ. Cách xếp hoàn toàn tương 
tự câu b) và số cách xếp cũng là 108864000 cách.
Theo quy tắc cộng có 108864000 108864000 217728000 cách.
d). Đầu hàng và cuối hàng luôn khác phái.
 Bước 1: Nếu đầu hàng là nam thì cuối hàng là nữ, còn nếu đầu hàng là nữ 
thì cuối hàng là nam. Vậy có 2 cách chọn giới ở đầu hàng. Có 6 cách chọn 
bạn nam để xếp vào đầu hàng hoặc cuối hàng, và có 6 cách chọn bạn nữ để 
xếp vào đầu hàng hoặc cuối hàng.
Bước 2: Còn lại 10 bạn xếp vào ở giữa có 10! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 2.6.6.10! 261273600 . e). A, B, C luôn đứng gần nhau.
Vì nhóm A, B, C luôn đứng gần nhau, nên gọi nhóm này là X.
Bước 1: Xếp X và 9 người còn lại vào thành một hàng dọc có 10! cách xếp.
Bước 2: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1 có 3! cách xếp 3 bạn trong nhóm 
X.
Theo quy tắc nhân có 10!.3! 21772800 cách.
f). A, B, C không ai đứng gần nhau.
Bước 1: Xếp 9 bạn còn lại (không có bạn nào là A, B, C) vào thành 1 hàng 
có 9! cách xếp.
Xem 9 bạn ở trên như các vách ngăn, giữa 9 bạn có 8 vách ngăn, và thêm 2 
vị trí đầu và cuối tổng cộng có 10 vị trí để xếp các 3 bạn A, B, C.
 3
Bước 2: Có A10 cách xếp 3 bạn A, B, C vào 10 vị trí.
 3
Theo quy tắc nhân có 9!.A10 261273600 cách xếp thỏa yêu cầu.
g). A, B đứng cách nhau đúng 1 người.
Bước 1: Chọn 1 người trong 10 người còn lại, có 10 cách chọn, để tao thành 
nhóm X thỏa điều kiện AaB đứng kề nhau với a là người vừa chọn.
Bước 2: Xếp X và 9 người còn lại (bỏ người A, a, B) có 10! cách xếp.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 2 có 2! cách xếp hai người A và B.
Theo quy tắc nhân có 10.10!.2! 72576000 cách xếp thỏa yêu cầu.
Cách 2: 
Bước 1: Xếp 10 người (bỏ A, B) thành một hàng dọc có 10! cách xếp.
Bước 2: Ta xem 10 người là 10 vách ngăn, vậy có 11 khoảng trống kề nhau 
tức có 10 cặp khoảng trống để xếp 2 bạn A và B vào. Tức có 10 cách xếp.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 2 có 2! cách xếp hai người A và B.
Theo quy tắc nhân có 10.10!.2! 72576000 cách xếp thỏa yêu cầu.
h). A, B cách nhau đúng 2 người.
 2
Bước 1: Chọn 2 người trong 10 người còn lại, có C10 cách chọn, để tao 
thành nhóm X thỏa điều kiện AabB đứng kề nhau với a và b là hai người 
vừa chọn.
Bước 2: Xếp X và 8 người còn lại (bỏ 4 người A, a, b, B) có 9! cách xếp.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 2 có 2! cách xếp hai người A và B, 
có 2! cách xếp hai người a và b.
 2
Theo quy tắc nhân có C10 .9!.2!.2! 65318400 cách xếp thỏa yêu cầu.
Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong 
đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh từ 50 học sinh 
trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm được chọn không 
có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm.
LỜI GIẢI
 3
Bước 1: Chọn 3 em trong 50 em bất kỳ có C50 cách. Bước 2: Chọn 3 em trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi. Đầu tiên chọn 1 cặp 
anh em sinh đôi có 4 cách chọn. sau đó chọn 1 em trong 48 em còn lại có 48 
cách. Vậy có 4.48 192 cách chọn 3 em trong đó có một cặp anh em sinh 
đôi.
 3
Vậy có C50 192 19408 cách chọn thỏa yêu cầu.
(ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện 
nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường 
A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong 
mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường 
với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
LỜI GIẢI
1). Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
 A B A B A B
 B A B A B A
 B A B A B A
 A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 
6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2).Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường 
A: có 6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B 
ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách.
Một đoàn tàu có ba toa chở khách : toa 1, toa 2, toa 3. Trên sân ga có 4 hành 
khách chuẩn bị đi tàu. Biết rằng mỗi toa có ít nhất một ghế trống. Hỏi có 
bao nhiêu :
a. cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó ?
b. cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên 
?
 LỜI GIẢI