Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 2 - Bài 1, Phần 1: Phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niu-tơn (Có lời giải)

 PHÉP ĐẾM, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP, NHỊ THỨC NIU 
 TƠN
 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 BÀI 1: HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
1 . Quy tắc cộng:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương 
án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. 
Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n m cách.
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án :
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án 
A1 ,A2 ,...,Ak . Có n1 cách thực hiện phương án A1 , n2 cách thực hiện 
phương án A2 ,  và nk cách thực hiện phương án Ak . Khi đó công việc 
có thể được thực hiện bởi n1 n2 ... nk cách.
2 . Quy tắc nhân:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A 
có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn 
B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn :
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 ,A2 ,...,Ak . Công 
đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo 
n2 cách,  và công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công 
việc có thể thực hiện theo n1n2 ...nk cách.
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng quy tắc cộng, 
ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để thực hiện công 
việc A (có nghĩa công việc A có thể hoàn thành một trong các phương án 
A1, A2,...,An).
Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ,x2 ,...,xn trong các phương án A1 ,A2 ,...,An .
Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công 
việc A là: x x1 x2  xn .
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân, ta 
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành 
để thực hiện công việc A (giả sử A chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công 
đoạn A1 ,A2 ,...,An hoàn thành).
Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ,x2 ,...,xn trong các công đoạn A1 ,A2 ,...,An .
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công 
việc A là: x x1.x2 ..xn . VÍ DỤ
Ví dụ 1: Một trường trung học phổ thông, có 26 học sinh giỏi khối 12, có 
43 học sinh giỏi khối 11, có 59 học sinh giỏi khối 10. Vậy nhà trường có 
bao nhiêu cách chọn 1 học sinh giỏi để đi dự thi trại hè.
 LỜI GIẢI
Có các phương án sau thỏa yêu cầu đề bài
Cách 1: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 12, có 26 cách chọn.
Cách 2: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 11, có 43 cách chọn.
Cách 3: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 10, có 59 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có 26 43 59 128 cách chọn thỏa yêu cầu đề bài.
Ví dụ 2: Bạn B đi học từ nhà đến trường; biết rằng từ nhà đến bến phà có 3 
tuyến đường; từ bến phà đến trạm xe buýt có 6 tuyến đường; từ trạm xe buýt 
có 4 tuyến đường đến trường. Vậy bạn B có bao nhiêu cách chọn tuyến 
đường đi học.
 LỜI GIẢI
Ta chia việc đi học của bạn B thành ba công đoạn sau:
Công đoạn 1: Bạn B chọn 1 trong 3 con đường để đi từ nhà đến phà, có 3 
cách chọn.
Công đoạn 2: Bạn B chọn 1 trong 6 con đường để đi từ phà đến trạm xe 
buýt, có 6 cách chọn.
Công đoạn 3: Bạn B chọn 1 trong 4 con đường để đi từ trạm xe buýt đến 
trường, có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.6.4 72 cách.
Ví dụ 3: Một lớp học có 19 học sinh nam, 11 học sinh nữ( tất cả đều hát rất 
hay). Vậy lớp học đó có bao nhiêu cách chọn 1 đôi song ca ( 1nam, 1 nữ) 
để dự thi văn nghệ của trường.
 LỜI GIẢI
Có hai công đoạn sau, để chọn được một đôi song ca có cả nam và nữ:
Công đoạn 1: Chọn 1 sinh nam, có 19 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ, có 11 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 19.11 209 cách chọn một đôi song ca gồm một nam 
và một nữ.
Ví dụ 4: Một trường trung học phổ thông có 26 học sinh giỏi khối 12, có 43 
học sinh giỏi khối 11, có 59 học sinh giỏi khối 10. Vậy nhà trường có bao 
nhiêu cách chọn 3 học sinh giỏi đủ 3 khối để đi dự trại hè.
 LỜI GIẢI
Có ba công đoạn sau, để chọn được một đội có 3 người có đầy đủ cả ba 
khối:
Công đoạn 1: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 12, có 26 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 11, có 43 cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 10, có 59 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 26.43.59 65962 cách chọn một nhóm ba bạn có đầy đủ 
3 khối. Ví dụ 5: Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, mỗi câu có 4 
phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời.
 LỜI GIẢI
Có các công đoạn sau, đề hoàn thành bài thi trắc nghiệm:
Công đoạn 1: Chọn đáp áp cho câu hỏi 1, có 4 phương án trả lời.
Công đoạn 2: Chọn đáp áp cho câu hỏi 2, có 4 phương án trả lời.
Công đoạn 3: Chọn đáp áp cho câu hỏi 3, có 4 phương án trả lời.
..
Công đoạn 10: Chọn đáp áp cho câu hỏi 10, có 4 phương án trả lời.
 10
Vậy theo quy tắc nhân có 4.4...4 4 phương án trả lời.
 10 so 4
 BÀI 2 : HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
1 . Hoán vị
Cho tập A có n (n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, 
ta được một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là 
 Pn n! n(n 1)(n 2)...1. 
2 . Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Khi lấy ra k 
phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp 
chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k n là
 n!
 Ak n(n 1)(n 2)...(n k 1) .
 n n k !
3 . Tổ hợp 
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Mỗi tập con của A 
có k phần tử được được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( 
gọi tắt là một tổ hợp chập k của A ).
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là
 Ak n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!
 Ck n 
 n k! k! k! n k !
 k
4. Hai tính chất cơ bản của số Cn 
Tính chất 1:
 k n k
Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n . Khi đó Cn Cn .
Tính chất 2:
 k k k 1
Cho các số nguyên n và k với 1 k n . Khi đó Cn 1 Cn Cn . 
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1: HOÁN VỊ: Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu 
có 2 dấu hiệu sau:
*Chọn hết các phần tử của X.
*Có sắp xếp theo một thứ tự nào đó.
VÍ DỤ
Ví dụ 1: Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế 
trên, có bao nhiêu cách, nếu :
a . Nam và nữ được xếp tùy ý.
b. Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế.
 LỜI GIẢI
a . Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán 
vị của 10 người. Vậy có 10! 3628800 cách xếp.
b. Chọn 1 dãy để xếp nam ngồi vào có 2 cách; xếp 5 nam vào dãy ghế đã 
chọn có 5! cách ; xếp 5 nữ vào dãy ghế còn lại có 5! cách. Vậy có tất cả là 
2.5!.5! cách xếp thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 2: Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh 
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho :
a . Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ?
b. Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau ?
 LỜI GIẢI
a . 
Cách 1: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau đó xếp 5 
học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách có 5!.5! cách.
Cách 2: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau đó xếp 5 học 
sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách có 5!.5! cách.
Vậy tất cả có 2.5!.5! 28800 cách.
b. Xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta 
có 2! cách. Đổi chỗ 5 nam cho nhau có 5! cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có 
5! cách.
Vậy ta có 2!.5!.5! 28800 cách.
Ví dụ 3: 
a). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc 
bàn tròn, sao cho nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?.
b). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc 
bàn tròn, sao cho mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
 LỜI GIẢI
a). Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn.
Bước 1: Xếp 6 nam ngồi quanh bàn tròn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp.
Bước 2: Ta xem 6 người nam vừa xếp là 6 vách ngăn, vì 6 người nam ngồi 
quanh bàn tròn nên có 6 khoảng trống để xếp 6 người nữ, vậy có 6! Cách 
xếp.
Theo quy tắc nhân có 5!.6! = 86400 cách.
b). Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn. Bước 1: Xếp 6 người chồng ngồi quanh bàn tròn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp. 
(vì vợ ngồi gần chồng).
Bước 2: Mỗi cặp vợ chồng đổi chổ cho nhau có 1 cách xếp mới, vậy có 26 
cách .
Theo quy tắc nhân có 5!.26 = 7680 cách.
Ví dụ 4: Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 
học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
xếp 20 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu:
a). Các học sinh được xếp bất kì.
b). Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau.
LỜI GIẢI
a). Mỗi cách sắp xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 
15 phần tử. Vậy có 15!cách xếp 15 học sinh thành một hàng ngang.
b). 
Bước 1: Xếp các khối có 3! cách xếp.
Bước 2: Xếp các bạn trong khối 12 có 4! cách.
Bước 3: Xếp các bạn trong khối 11 có 5! cách.
Bước 4: Xếp các bạn trong khối 10 có 6! cách.
Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600 cách xếp thỏa yêu cầu.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết tổng của 3 
chữ số này bằng 18?
 LỜI GIẢI
Gọi số cần tìm n abc, a 0 .
Từ tập A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta có những tập con của A gồm 3 phần tử 
sao cho tổng của chúng bằng 18 là 
 9,8,1; 9,7,3; 9;6; 4; 8;7; 3; 8;6; 4; 7;6; 5 . Vậy có 6 tập con có 3 phần tử 
thuộc A sao cho tổng của 3 phần tử này bằng 18. Hoán vị 3 phần tử trong 1 
tập con này ta được một số cần tìm. Suy ra có tất cả 3!.6 36 số thỏa yêu 
cầu.
DẠNG 2: CHỈNH HỢP.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi giải một bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh 
hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:
*Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X ( 1 k n ).
*Có sắp xếp thứ tự các phần tử đã chọn.
VÍ DỤ
Ví dụ 1: 
a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau ?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó là số chẵn ?
c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số đó là số lẻ 
? LỜI GIẢI
a . Gọi M abcde, a 0 là số có 5 chữ số khác nhau.
 4
Ta có a có 9 cách chọn nên có A9 cách chọn 4 số xếp vào 4 vị trí bcde .
 4
Vậy có 9.A9 27216 số.
b. Gọi A abcde là số có 5 chữ số và A là số chẵn. 
Ta có a có 9 cách chọn ; b,c,d mỗi số có 10 cách chọn ; e có 5 cách chọn.
Vậy có 9.103.5 45000 số.
c. Gọi B abcde là số có 5 chữ số và B là số lẻ.
 3
Ta có e có 5 cách chọn ; a có 8 cách chọn ; có A8 cách chọn chữ số xếp vào 
ba vị trí b,c,d.
 3
Vậy có 5.8.A8 13440 số.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 
3.
 LỜI GIẢI
Dùng 5 ô sau để xếp số thỏa bài toán :
TH1: Ô 1 là số 1 :
 2
 Chọn 2 ô để xếp số 2 và số 3 có A4 cách ;
 2
 Chọn 2 ô trong các số 0; 4; 5;6;7;8;9 xếp vào 2 ô còn lại có A7 cách ;
 2 2
 ta có A4 .A7 cách.
 2 2
TH2 : Ô 1 là số 2 : tương tự, ta cũng có A4 .A7 cách.
 2 2
TH3: Ô 1 là số 3 : tương tự, ta cũng có A4 .A7 cách.
TH4 : Ô 1 là số khác 1, 2, 3:
 3
 Chọn 3 ô xếp số 1, 2, 3 vào có A4 cách ;
 Chọn một số thuộc 0; 4; 5;6;7;8;9 xếp vào ô 1 có 6 cách ;
 Chọn một số xếp vào ô còn lại : có 6 cách ;
 3
 ta có 36.A4 cách.
 3 2 3
Vậy ta có tất cả 3A4 .A7 36A4 2376 số.
Cách 2: 
 3
Bước 1: Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A5
Bước 2: Chọn 2 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào hai vị trí còn lại, 
 2
có A7 cách.
 3 2
Theo quy tắc nhân có A5 .A7 2520 số, nhưng có những số có chữ số 0 đứng 
vị trí đầu. Trường hợp a1 = 0: Bước 1: Chọn 3 vị trí trong 4 vị trí để xếp ba chữ số {1, 
 3
2, 3}, có A4 cách.
Bước 2: Chọn 1 chữ số trong 6 chữ số còn lại để xếp vào một vị trí còn lại, 
có 6 cách.
 3
Theo quy tắc nhân có A4 .6 144 số có chữ số 0 ở vị trí đầu.
Kết luận có 2520 144 2376 số thỏa yêu cầu.
Ví dụ 3: 
a. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và bé hơn số 
475 ?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số và bé hơn số 475 ?
c. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau bé hơn số 475 
và là số lẻ ?
 LỜI GIẢI
a . Gọi abc là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.
 2 2
TH1: a 4 : a có ba cách chọn ; bc có A9 cách chọn có 3.A9 216 số.
TH2: a 4 : b 7 b có 6 cách chọn b 6; 5; 3; 2;1;0 và c có 8 cách 
chọn;
 b 7 c có 4 cách chọn c 3; 2;1;0 
 có 6.8 4 52 số.
Vậy tất cả ta lập được 216 52 268 số.
b. Gọi abc là số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 
475.
TH1 : a 1 hoặc 3 : a có 2 cách chọn ; c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn
 có 2.5.8 80 số.
TH2 : a 2 : c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn có 4.9=32 số.
TH3 : a 4 : nếu b 0,2,6 : b có 3 cách chọn và c có 3 cách chọn ;
 nếu b 1,3,5 : b có 3 cách chọn và c có 4 cách chọn ;
 nếu b 7 thì c có hai cách chọn c 0; 2 
 có 3.3 3.4 2 23 số.
Vậy ta lập được tổng cộng 80 32 23 135 số.
c. Gọi abc là số tự nhiên lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.
TH1 : a 1,3 : a có 2 cách chọn ; c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn
 có 2.4.8 64 số.
TH2 : a 2 : c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn có 5.8 40 số.
TH3 : a 4 : nếu b 0,2,6 : b có 3 cách chọn và c có 5 cách chọn ; 
 nếu b 1,3,5 : b có 3 cách chọn và c có 4 cách chọn ;
 nếu b 7 thì c có 2 cách chọn c 1; 3 
 có 3.5 3.4 2 29 số.
Vậy ta lập được tổng cộng 64 40 29 133 số. Ví dụ 4: Xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc .Hỏi có bao nhiêu 
cách xếp :
a). Nam nữ đứng xen kẻ .
b). Nữ luôn đứng cạnh nhau .
c). Không có 2 nam nào đứng cạnh nhau .
 LỜI GIẢI
a). Trường hợp 1 : Bạn nam đứng đầu có 5 cách chọn , kế đến là bạn nữ có 5 
cách chọn , kế đến là bạn nam có 4 cách chọn , kế đến là 1 bạn nữ có 4 cách 
chọn , ... cuối cùng xếp 1 bạn nữ có 1 cách chọn . Suy ra tổng số cách xếp 
5!.5! cách .
Trường hợp 2 : Bạn nữ đứng đầu , xếp hoàn toàn tương tự như trường hợp 1 
, suy ra tổng số cách sếp của trường hợp này là 5!.5!
Kết luận theo quy tắc cộng tổng số cách xếp nam nữ xen kẽ nhau là 5!.5! + 
5!.5! = 
b). Gọi nhóm bạn nữ là nhóm X . Số cách xếp 5 bạn nam và X là 6! cách 
ứng với mỗi cách xếp trên có 5! cách xếp 5 bạn nữ trong nhóm X .
Theo quy tắc nhân có 6!.5! = 86400 cách xếp .
c). Bước đầu tiên xếp 5 bạn nữ đứng kề nhau có 5! cách xếp . Để các bạn 
nam không đứng kế nhau ta xen các bạn nam vào giữa các bạn nữ . giữa 5 
bạn nữ có 4 vị trí và thêm 2 vị trí đầu và cuối, tổng cộng có 6 vị trí để xếp 5 
 5
bạn nam. Chọn 5 vị trí trong 6 vị trí để xếp các bạn nam, có A6 cách.
 5
Theo quy tắc nhân có 5!.A6 86400 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán .
Ví dụ 5: Có thể lập ra được bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số 
bắt đầu là 0908, các chữ số còn lại khác nhau đôi một, khác với 4 chữ số 
đầu và phải có mặt chữ số 6.
 LỜI GIẢI
Gọi số điện thoại có dạng 0908abcdef 
Chọn 1 vị trí trong 6 vị trí abcdef để xếp chữ số 6 có 6 cách chọn.
Chọn 5 chữ số trong 6 chữ số là {1, 2, 3, 4, 5, 7} để xếp vào 5 vị trí còn lại, 
 5
có A6 cách.
 5
Kết luận có 6.A6 4320 số điện thoại thỏa yêu cầu.
Ví dụ 6: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 sẽ ngồi trên một hàng 
ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 9 học sinh đó 
sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11.
 LỜI GIẢI
Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.
Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống 
 2
trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có A5 cách.
 2
Theo quy tắc nhân có 6!.A5 14400 cách xếp thỏa yêu cầu. DẠNG 3: TỔ HỢP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi giải bài toán chọn trên một tập hợp X có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp 
nếu có 2 dấu hiệu sau:
*Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X ( 1 k n ).
*Không phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn.
VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các 
bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa 
hồng gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn.
a) 1 bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ.
b) 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
 LỜI GIẢI
a). Chọn 1 bó hoa gồm 7 bông, trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ, 6 bông 
hồng còn lại chọn trong 8 bông (gồm vàng và trắng) . Số cách chọn:
 1 6
C4 .C8 112 cách.
b). Có các trường hợp sau xảy ra thỏa yêu cầu bài toán:
Trường hợp 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng 
trắng, có 
 3 3 1
C5 .C4 .C3 cách.
 4 3
Trường hợp 2: Chọn 4 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ , có C5 .C4 cách.
 3 4
Trường hợp 3: Chọn 3 bông hồng vàng và 4 bông hồng đỏ , có C5 .C4 cách.
 3 3 1 4 3 3 4
Theo quy tắc cộng có: C5 .C4 .C3 + C5 .C4 + C5 .C4 .
Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.
a.Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
b.Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
 LỜI GIẢI
a.Ta lần lượt thức hiện các công đoạn sau:
 2
Bước 1: Chọn 2 bi đỏ trong 5 bi đỏ, có C5 cách chọn .
 4
Bước 2: Có C13 cách chọn 4 bi trong 13 viên bi xanh và vàng.
 2 4
Vậy ta có C5 .C13 7150 cách.
b.Số bi xanh, đỏ, vàng được chọn có 3 trường hợp là:
 3 3
Trường hợp 1: Chọn 3 xanh, 3 đỏ, ta có C9C5 cách.
 2 2 2
Trường hợp 2: Chọn 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng, ta có C9C5C4 cách.
 1 1 4
Trường hợp 3: Chọn 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng, ta có C9C5C4 cách.
 3 3 2 2 2 1 1 4
Theo quy tắc cộng ta có: C9 .C5 C9 .C5 .C4 C9 .C5 .C4 3045 cách.
Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng.
a). Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh và có 
nhiều nhất 2 viên bi vàng và phải có đủ 3 màu. b). Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ 3 màu.
 LỜI GIẢI
a). Các trường hợp xảy ra theo yêu cầu đề:
 2 2 2
Trường hơp 1: 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ, có: C5 .C4 .C6 cách.
 2 1 3
Trường hợp 2: 2 xanh,1 vàng, 3 đỏ, có: C5 .C4 .C6 cách.
 2 2 2 2 1 3
Vậy có : C5 .C4 .C6 + C5 .C4 .C6 1700 cách.
b). Sử dụng phương pháp gián tiếp:
 9
Lấy ra 9 viên bi trong 15 viên bi bất kỳ, có C15 cách.
 9
Trường hợp 1: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và đỏ, có C11 cách. 
 9
Trường hợp 2: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và vàng, có C9 cách.
 9
Trường hợp 3: lấy ra 9 viên bi chỉ có màu đỏ và vàng, có C10 cách.
 9 9 9 9
Vậy có : C15 C11 C9 C10 4984 cách.
Một đội cảnh sát giao thông gồm 15 người trong đó có 12 nam. Hỏi có bao 
nhiêu cách phân đội csgt đó về 3 chốt giao thông sao cho mỗi chốt có 4 nam 
và 1 nữ.
 LỜI GIẢI
 4 1
Bước 1: Chọn 4 nam trong 12 nam và chọn 1 nữ trong 3 nữ, có C12 .C3 cách.
Bước 2: Chọn 4 nam trong 8 nam còn lại và chọn 1 nữ trong 2 nữ còn lại, có 
 4 1
C8 .C2 cách.
Bước 3: 4 nam còn lại và 1 nữ còn lại bắt buộc phải về công tác ở chốt giao 
thông cuối cùng, nên có 1 cách.
 4 1 4 1
Theo quy tắc nhân có: C12 .C3 .C8 .C2 .1 207900 cách chọn.
372. Môt lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập 1 đội gồm 4 học sinh trong đó có.
a.Số nam và nữ bằng nhau. b.ít nhất 1 nữ.
 LỜI GIẢI
 2
a.Bước 1: Chọn 2 nam trong 14 nam, có C14 cách.
 2
 Bước 2: Chọn 2 nữ trong 6 nữ,có C6 cách.
 2 2
Vậy số cách chọn nhóm có 2 nam, 2 nữ là C14 .C6 1365 cách.
b. Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra cụ thể:
 3
Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 3 nam có 6.C14 2184 cách
 2 2
Trường hợp 2: Chọn 2 nữ, 2 nam có C14 .C6 1365 cách
 3
Trường hợp 3: Chọn 3 nữ,1 nam có C6 .14 280 cách
 4
Trường hợp 4: Chọn 4 nữ thì có C6 15 cách
Vậy số cách chọn cần tìm là: 2184 1365 280 15 3844 cách.
Cách 2: Sử dụng phần bù: