Chuyên đề Đại số Lớp 12 - Chương 3 - Đề 20: Ứng dụng tích phân (Có lời giải)

 CHUYÊN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 ĐỀ 20
 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.......................................................................................................................................................1
Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích ..............................................................................................................1
 Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện....................................................................................................1
 Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện ..................................................................................................................................12
Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích ..............................................................................................................22
 Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện..................................................................................................22
 Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện ..................................................................................................................................27
Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động ......................................................................................29
 Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường...................................................................................29
 Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường.....................................................................................32
Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế....................................................................................36
 Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích .................................................................................................................36
 Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích ...................................................................................................................40
Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số ...........................................................................44
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO...........................................................................................................................47
Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích ............................................................................................................47
 Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện..................................................................................................47
 Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện ..................................................................................................................................59
Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích ..............................................................................................................73
 Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện..................................................................................................73
 Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện ..................................................................................................................................80
Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động ......................................................................................83
 Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường...................................................................................83
 Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường.....................................................................................87
Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế....................................................................................90
 Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích .................................................................................................................90
 Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích ...................................................................................................................98
Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số .........................................................................107
 PHẦN A. CÂU HỎI
 Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích
 Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện
 1 Câu 1. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 
 đoạn a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng 
 x a, x b được tính theo công thức
 b b b a
 A. S f x dx . B. S f x dx . C. S f x dx . D. S f x dx .
 a a a b
Câu 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , 
 y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 2 2 2
 A. S 2x dx B. S 2x dx C. S 22x dx D. S 22x dx
 0 0 0 0
Câu 3. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, 
 x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 2 2 2
 A. S exdx B. S exdx C. S exdx D. S e2xdx
 0 0 0 0
Câu 4. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn 
 bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 5 (như hình vẽ bên).
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
 1 5 1 5
 A. S f (x)dx f (x)dx . B. S f (x)dx f (x)dx .
 1 1 1 1
 1 5 1 5
 C. S f (x)dx f (x)dx . D. S f (x)dx f (x)dx .
 1 1 1 1
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 
 đường y f x , y 0, x 1, x 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 1 2 1 2
 A. S f x dx + f x dx . B. S f x dx f x dx .
 1 1 1 1
 2 1 2 1 2
 C. S f x dx+ f x dx . D. S f x dx f x dx .
 1 1 1 1
Câu 6. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x 
 và đồ thị hàm số y x x2.
 37 9 81
 A. B. C. D. 13
 12 4 12
Câu 7. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường 
 0 2
 y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 . Đặt a f x dx ,b f x dx , mệnh đề 
 1 0
 nào sau đây đúng?
 A. S b a B. S b a C. S b a D. S b a
Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn 
 có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của 
 H bằng
 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 
 A. B. C. D. 
 12 6 6 3
Câu 9. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên 
 được tính theo công thức nào dưới đây?
 3 2 2
 A. 2x 2 dx B. 2x 2 dx
 1 1
 2 2
 C. 2x2 2x 4 dx D. 2x2 2x 4 dx
 1 1
Câu 10. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 các đường y f x , y 0, x 1 và x 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 1 4 1 4
 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx .
 1 1 1 1
 1 4 1 4
 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx .
 1 1 1 1
Câu 11. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 cá đường y f x , y 0, x 2 và x 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 y
 y= f(x)
 2 x
 O 1 3
 1 3 1 3
 A. S f x dx f x dx. B. S f x dx f x dx.
 2 1 2 1
 1 3 1 3
 C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx.
 2 1 2 1
 4 Câu 12. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được 
 tính theo công thức nào dưới đây?
 2 2
 A. 2x2 2x 4 dx . B. 2x2 2x 4 dx .
 1 1
 2 2
 C. 2x2 2x 4 dx . D. 2x2 2x 4 dx .
 1 1
Câu 13. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy f x , 
 trục hoành, đường thẳng x a, x b (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng?
 b c b
 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx .
 a a c
 c b c b
 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx .
 a c a c
Câu 14. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ 
 thị hàm số: y x3 3x , y x . Tính S .
 A. S 4 . B. S 8. C. S 2 . D. S 0 .
Câu 15. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới 
 hạn bởi các đường y 3x , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 2 2 2
 A. S 3xdx . B. S 32xdx . C. S 3xdx . D. S 32xdx .
 0 0 0 0
Câu 16. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 
 a;b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hoành, hai đường thẳng 
 x a , x b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử SD là diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, 
 B, C, D cho dưới đây?
 5 0 b 0 b
 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx .
 D D 
 a 0 a 0
 0 b 0 b
 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx .
 D D 
 a 0 a 0
 2
Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 1, trục hoành và hai đường thẳng 
 x 1, x 2 bằng
 2 3 1 7
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 3 3
Câu 18. Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên a;b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm 
 số y f (x) , y g(x) và các đường thẳng x a , x b bằng
 b b b b
 A.  f (x) g(x)dx . B. f (x) g(x) dx . C. f (x) g(x) dx . D.  f (x) g(x)dx .
 a a a a
Câu 19. Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
 đây?
 1 1
 A. x2 2 x dx . B. x2 2 x dx .
 1 1
 1 1
 C. x2 2 x dx . D. x2 2 x dx .
 1 1
Câu 20. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 y 4x x2 và trục Ox
 34 31 32
 A. 11. B. . C. . D. .
 3 3 3
 6 2
Câu 21. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x 2 , 
 đường cong y x3 và trục hoành ( như hình vẽ ) bằng :
 11 73 7 5
 A. B. C. D. 
 2 12 12 2
Câu 22. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Diện tích của hình phẳng được 
 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b (phần tô đậm 
 trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ?
 c b b
 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx .
 a c a
 c b b
 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx .
 a c a
Câu 23. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 y x2 1, x 1, x 2 và trục hoành.
 13
 A. S 6 . B. S 16 . C. S . D. S 13.
 6
Câu 24. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 
 đường y x2 5 , y 6x , x 0 , x 1. Tính S .
 4 7 8 5
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
Câu 25. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
 3x 1
 hàm số C : y và hai trục tọa độ là S . Tính S ?
 x 1 
 4 4 4 4
 A. S 1 ln B. S 4ln C. S 4ln 1 D. S ln 1
 3 3 3 3
 7 Câu 26. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x3 x ;
 y 2x và các đường x 1; x 1 được xác định bởi công thức:
 0 1 0 1
 A. S x3 3x dx 3x x3 dx . B. S 3x x3 dx x3 3x dx .
 1 0 1 0
 1 1
 C. S 3x x3 dx . D. S 3x x3 dx .
 1 1
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 ; y 0; x 1; x 2 bằng
 4 7 8
 A. . B. . C. . D. 1.
 3 3 3
Câu 28. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 x 1
 thị của hàm số H : y và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
 x 1
 A. 2ln 2 1. B. ln 2 1. C. ln 2 1. D. 2ln 2 1.
Câu 29. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các 
 ln x
 đường y = , y = 0 , x = 1 , x = e . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 x2
 e ln x e ln x e æln xö2 e æln xö2
 A. S = dx . B. S = dx . C. S = ç ÷ dx . D. S = ç ÷ dx
 ò x2 ò x2 òèç x2 ø÷ òèç x2 ø÷
 1 1 1 1
Câu 30. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 đồ thị các hàm số y x2 2x 1, y 2x2 4x 1 là
 A. 8 . B. 5 . C. 4 . D. 10 .
Câu 31. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
 bởi hai đồ thị y x2 2x , y x 2 .
 7 9 5 11
 A. . B. . C. . D. .
 2 2 2 2
Câu 32. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 
 y x ln x , trục hoành và đường thẳng x e là
 e2 1 e2 1 e2 1 e2 1
 A. . B. . C. . D. .
 2 2 4 4
Câu 33. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng H được giới hạn bởi các đường y x2 , 
 y 3x 2 . Tính diện tích hình phẳng H 
 2 1 1
 A. (đvdt) B. (đvdt) C. 1 (đvdt) D. (đvdt)
 3 3 6
Câu 34. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm 
 số y ln x, y 1 và đường thẳng x 1 bằng
 A. e2 . B. e 2 . C. 2e . D. e 2 .
Câu 35. Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 2x 3 và 
 các đường thẳng y 0, x 0, x m bằng 10 là
 7
 A. m . B. m 5 . C. m 2 . D. m 1.
 2
Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 4x x2 và đường thẳng y 2x bằng
 8 20 4 16
 A. 4 . B. . C. . D. 
 3 3 3
Câu 37. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác 
 cong OAB ) trong hình vẽ bên.
 5 5 8 8 
 A. . B. . C. . D. .
 6 6 15 15
Câu 38. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn 
 bởi các đường y x2 2x , y 0 , x 10 , x 10 .
 2000 2008
 A. S . B. S 2008. C. S 2000 . D. S .
 3 3
Câu 39. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn 
 bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 3, x 2 (như hình vẽ bên). Đặt 
 1 2
 a f x dx , b f x dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng.
 3 1
 A. S a b . B. S a b . C. S a b . D. S b a .
Câu 40. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 y x2 và đường thẳng y 2x là :
 4 5 3 23
 A. B. C. D. 
 3 3 2 15
Câu 41. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
 y x2 2x 1, y 2x2 4x 1 là
 A. 8 B. 5 C. 4 D. 10
 ïì 7- 4x3 khi 0 £ x £ 1
Câu 42. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x = ï . Tính diện tích 
 ( ) í 2
 îï 4- x khi x > 1
 hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 0 .
 16 20
 A. . B. . C. 10 . D. 9.
 3 3
Câu 43. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn 
 bởi các đường cong y x3 12x và y x2 .
 9 937 343 793 397
 A. S B. S C. S D. S 
 12 12 4 4
Câu 44. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 
 y x 2 và trục hoành. Diện tích của H bằng
 y
 2
 y x
 2
 x
 y
 O 2 4 x
 7 8 10 16
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
Câu 45. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 x 1
 thị hàm số y và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S là
 x 1
 A. S 1 ln 2. B. S 2ln 2 1. C. S 2ln 2 1. D. S ln 2 1.
Câu 46. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x2 x 1 và y x4 x 1 là
 8 7 2 4
 A. . B. . C. . D. .
 15 15 5 15
Câu 47. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 x 1
 (H ) : y và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
 x 1
 A. S ln 2 1 . B. S 2ln 2 1. C. S ln 2 1. D. S 2ln 2 1.
Câu 48. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo 
 trong hình vẽ sau:
 10 13 11
 A. . B. 4 . C. . D. .
 3 3 3
 x2
Câu 49. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng H giới hạn bới parabol y và đường cong 
 12
 x2
 có phương trình y 4 (tham khảo hình vẽ bên )
 4
 10