Chuyên đề Đại số Lớp 12 - Chương 3 - Đề 18: Nguyên hàm, phương pháp tìm nguyên hàm (Có lời giải)

 CHUYÊN NGUYÊN HÀM, PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
 ĐỀ 18
 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ........................................................................................................................................................1
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) ...................................................................................................1
 Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện................................................................................................1
 Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện.........................................................................................................10
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ......................................................................................15
 Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................15
 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................16
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm.....................................................................................17
 Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................17
 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................20
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần.....................................................................................................................................21
 Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................21
 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................24
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán.....................................................................................................................25
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm..............................................................................................29
PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ...............................................................................................................................32
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm) .................................................................................................32
 Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện..............................................................................................32
 Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện.........................................................................................................37
Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ......................................................................................43
 Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................43
 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................44
Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm.....................................................................................46
 Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................46
 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................50
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần.....................................................................................................................................52
 Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện..........................................................................................................52
 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện ....................................................................................................................56
Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán.....................................................................................................................59
Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm..............................................................................................68
 1 PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản (dùng bảng nguyên hàm)
Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f x x4 x2 là
 1 1
 A. x5 x3 C B. x4 x2 C C. x5 x3 C . D. 4x3 2x C
 5 3
Câu 2. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x 2x 4 là
 A. x2 C . B. 2x2 C . C. 2x2 4x C . D. x2 4x C .
Câu 3. (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2x 6 là
 A. x2 C . B. x2 6x C . C. 2x2 C . D. 2x2 6x C .
Câu 4. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2sin x .
 A. 2sin xdx 2cos x C B. 2sin xdx 2cos x C
 C. 2sin xdx sin2 x C D. 2sin xdx sin 2x C
Câu 5. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x3 x là
 1 1
 A. x4 x2 C B. 3x2 1 C C. x3 x C D. x4 x2 C
 4 2
Câu 6. (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 là
 A. x2 3x C . B. 2x2 3x C . C. x2 C . D. 2x2 C .
Câu 7. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1.
 2 1
 A. f x dx 2x 1 2x 1 C. B. f x dx 2x 1 2x 1 C.
 3 3
 1 1
 C. f x dx 2x 1 C. D. f x dx 2x 1 C.
 3 2
 2
Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 .
 x2
 x3 1 x3 2
 A. f x dx C . B. f x dx C .
 3 x 3 x
 2 x3 1 x3 2
 C. f x dx C . D. f x dx C .
 3 x 3 x
 1
Câu 9. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x .
 5x 2
 dx 1 dx
 A. ln 5x 2 C B. ln 5x 2 C
 5x 2 5 5x 2
 dx 1 dx
 C. ln 5x 2 C D. 5ln 5x 2 C
 5x 2 2 5x 2
Câu 10. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x
 sin 3x
 A. cos 3xdx 3sin 3x C B. cos 3xdx C
 3
 sin 3x
 C. cos 3xdx sin 3x C D. cos 3xdx C
 3
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x3 x2 là
 1 1
 A. x4 x3 C B. 3x2 2x C C. x3 x2 C D. x4 x3 C
 4 3
Câu 12. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x ex x là
 1 1 1
 A. ex 1 C B. ex x2 C C. ex x2 C D. ex x2 C
 2 x 1 2
Câu 13. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 5 là
 A. x2 C . B. x2 5x C . C. 2x2 5x C . D. 2x2 C .
Câu 14. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 7x .
 7x
 A. 7x dx C B. 7x dx 7x 1 C
 ln 7 
 7x 1
 C. 7x dx C D. 7x dx 7x ln 7 C
 x 1 
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2x .
 A. f x dx 2sin 2x C B. f x dx 2sin 2x C
 1 1
 C. f x dx sin 2x C D. f x dx sin 2x C
 2 2
Câu 16. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm của hàm số f x x4 x là
 3 1 1
 A. 4x3 1 C B. x5 x2 C C. x5 x2 C D. x4 x C
 5 2
Câu 17. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 1 là
 x3
 A. x3 C B. x C C. 6 x C D. x3 x C
 3
 15
Câu 18. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên hàm x x2 7 dx ?
 1 16 1 16 1 16 1 16
 A. x2 7 C B. x2 7 C C. x2 7 C D. x2 7 C
 2 32 16 32
Câu 19. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e3x là hàm số nào 
sau đây?
 1 1
 A. 3ex C . B. e3x C . C. ex C . D. 3e3x C .
 3 3
 x sin 2x dx
Câu 20. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Tính .
 x2 x2 cos 2x x2 cos 2x
 A. sin x C . B. cos 2x C . C. x2 C . D. C .
 2 2 2 2 2
Câu 21. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số 
 y e2x 1 là
 1 1
 A. 2e2x 1 C . B. e2x 1 C . C. e2x 1 C . D. ex C .
 2 2
Câu 22. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm 
 1
số f x 
 2x 3
 1 1 1
 A. ln 2x 3 C . B. ln 2x 3 C . C. ln 2x 3 C . D. lg 2x 3 C .
 2 ln 2 2
Câu 23. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm 
 1
số y x2 3x .
 x
 x3 3x 1 x3 1
 A. C, C ¡ . B. 3x C, C ¡ .
 3 ln 3 x2 3 x2
 x3 3x x3 3x
 C. ln x C, C ¡ . D. ln x C, C ¡ .
 3 ln 3 3 ln 3
 4 Câu 24. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm của hàm 
số f (x)= sin 3x
 1 1
 A. - 3cos3x+ C . B. 3cos3x+ C . C. cos3x + C . D. - cos3x + C .
 3 3
Câu 25. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là
 A. x3 cos x C . B. 6x cos x C . C. x3 cos x C . D. 6x cos x C .
Câu 26. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức nào sau đây là sai?
 1 1
 A. ln x dx C . B. dx tan x C .
 x cos2 x
 C. sin x dx cos x C . D. ex dx ex C .
Câu 27. (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu f x dx 4x3 x2 C thì hàm số f x 
bằng
 x3
 A. f x x4 Cx . B. f x 12x2 2x C .
 3
 x3
 C. f x 12x2 2x . D. f x x4 .
 3
Câu 28. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong các khẳng định sau, khẳng 
định nào sai?
 1 xe 1
 A. cos 2xdx sin 2x C . B. xedx C .
 2 e 1
 1 ex 1
 C. dx ln x C . D. exdx C .
 x x 1
Câu 29. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm của hàm số y 2x là
 2x 2x
 A. 2x dx ln 2.2x C . B. 2x dx 2x C . C. 2x dx C . D. 2x dx C .
 ln 2 x 1
Câu 30. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số f x x2 là
 x3
 A. F x 2x C . B. F x C . C. F x x3 C . D. F x x C .
 3
Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
 f x 3x sin x .
 5 3x2
 A. f x dx 3x2 cos x C . B. f x dx cos x C .
 2
 3x2
 C. f x dx cos x C . D. f x dx 3 cos x C .
 2
Câu 32. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số 
 f (x) x sinx là
 x2 x2
 A. x2 cos x+C B. x2 cos x+C C. cos x+C D. cos x+C
 2 2
Câu 33. (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) cos x là:
 A. cos x C . B. cos x C . C. sin x C . D. sin x C .
Câu 34. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số 
 f x x4 x2 là
 1 1
 A. 4x3 2x C . B. x4 x2 C . C. x5 x3 C . D. x5 x3 C .
 5 3
Câu 35. (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x ex 2x là.
 1
 A. ex x2 C . B. ex x2 C . C. ex x2 C . D. ex 2 C .
 x 1
Câu 36. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số 
 y cos x x là
 1 1
 A. sin x x2 C . B. sin x x2 C . C. sin x x2 C . D. sin x x2 C .
 2 2
Câu 37. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số 
 1
 y x2 3x là
 x
 x3 3x2 x3 3x2
 A. ln x C. B. ln x C.
 3 2 3 2
 x3 3x2 x3 3x2 1
 C. ln x C. D. C.
 3 2 3 2 x2
Câu 38. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm của hàm số 
 1
 f x sin x là
 x
 1
 A. ln x cos x C . B. cos x C . C. ln x cos x C . D. ln x cos x C .
 x2
 6 1
Câu 39. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số F x x3 là một 
 3
nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ; ?
 1
 A. f x 3x2 . B. f x x3 . C. f x x 2 . D. f x x4 .
 4
Câu 40. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm 
số f x 2x .
 2x
 A. f x dx 2x C . B. f x dx C .
 ln 2
 2x 1
 C. f x dx 2x ln 2 C . D. f x dx C .
 x 1
Câu 41. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số 
 x4 2
 f x .
 x2
 x3 1 x3 2
 A. f x dx C . B. f x dx C .
 3 x 3 x
 x3 1 x3 2
 C. f x dx C . D. f x dx C .
 3 x 3 x
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm 
của hàm số y ex ?
 1
 A. y . B. y ex . C. y e x . D. y ln x .
 x
Câu 43. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính F(x) e2dx , trong 
đó e là hằng số và e 2, 718 .
 e2 x2 e3
 A. F(x) C . B. F(x) C . C. F(x) e2 x C . D. F(x) 2ex C .
 2 3
Câu 44. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số 
 1 1 
 f x trên ; .
 1 2x 2 
 1 1 1
 A. ln 2x 1 C . B. ln 1 2x C . C. ln 2x 1 C . D. ln 2x 1 C .
 2 2 2
Câu 45. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số x3 x2 ?
 7 1 1
 A. 3x2 2x C . B. x4 x3 C . C. x4 x3 C . D. 4x4 3x3 C .
 4 3
Câu 46. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm của hàm số f x 2x x là
 x 2 x 2
 2 x 2 2 x x
 A. C . B. 2 x x 2 C . C. x C . D. 2 C .
 ln2 2 ln2 2
Câu 47. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x 1 sin x
 A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. x cos x C . D. x cos x C .
Câu 48. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm của hàm số f (x) 
 1
 x3 2x2 x 2019 là
 3
 1 2 x 2 1 2 x2
 A. x 4 x 3 C . B. x4 x3 2019x C .
 12 3 2 9 3 2
 1 2 x2 1 2 x2
 C. x4 x3 2019x C . D. x4 x3 2019x C .
 12 3 2 9 3 2
Câu 49. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số t(x) 2x x2 là
 2x x3 x3 2x
 A. C . B. 2x 2x C . C. 2x ln 2 C . D. 2x C .
 ln 2 3 3 ln 2
 1
Câu 50. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) trên 
 3x 1
 1 
khoảng ; là:
 3 
 1 1
 A. ln(3x 1) C B. ln(1 3x) C C. ln(1 3x) C D. ln(3x 1) C
 3 3
Câu 51. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các khẳng 
định sau, khẳng định nào sai?
 e2x
 A. 2x dx 2x ln 2 C . B. e2xdx C .
 2
 1 1
 C. cos 2xdx sin 2x C . D. dx ln x 1 C x 1 .
 2 x 1
Câu 52. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 
 2x4 3
 f (x) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 x2
 8 2x3 3 2x3 3
 A. f (x)dx C . B. f (x)dx C .
 3 2x 3 x
 2x3 3 3
 C. f (x)dx C . D. f (x)dx 2x3 C .
 3 x x
 x
Câu 53. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f x 2 x 1. Tìm f x dx .
 x 2 1 x 1 2
 A. f x dx 2 x x C . B. f x dx 2 x x C .
 ln 2 2
 x 1 2 1 x 1 2
 C. f x dx 2 x x C . D. f x dx 2 x x C .
 2 x 1 2
Câu 54. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
 f x 3x sin x .
 3x2
 A. f x dx 3x2 cos x C . B. f x dx cos x C .
 2
 3x2
 C. f x dx cos x C . D. f x dx 3 cos x C .
 2
 2
Câu 55. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số F x ex là nguyên hàm của hàm 
số nào trong các hàm số sau:
 x2
 2 2 e
 A. f (x) 2xex . B. f (x) x2ex 1. C. f (x) e2x . D. f (x) .
 2x
Câu 56. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất cả các nguyên hàm của hàm số 
 f (x) 3 x là
 3 x 3 x
 A. C B. 3 x C C. 3 x ln 3 C D. C
 ln 3 ln 3
Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm của hàm số f x x3 x2 là
 x4 x3 x4 x3
 A. C . B. x4 x3 C . C. 3x2 2x C . D. C
 4 3 3 4
Câu 58. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không 
là nguyên hàm của hàm số y x2019 ?
 x2020 x2020 x2020
 A. 1. B. . C. y 2019x2018 . D. 1.
 2020 2020 2020
 9 Câu 59. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
 1
 y x2 3x .
 x
 x3 3x x3 3x
 A. ln x C,C R B. ln x C,C R
 3 ln 3 3 ln 3
 x3 1 x3 3x 1
 C. 3x C,C R D. C,C R
 3 x2 3 ln 3 x2
Câu 60. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm của hàm số 
 x
 x 2018e 
 f x e 2017 5 .
 x 
 2018 2018
 A. f x dx 2017ex C . B. f x dx 2017ex C .
 x4 x4
 504,5 504,5
 C. f x dx 2017ex C . D. f x dx 2017ex C .
 x4 x4
 x
 x e 
Câu 61. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số y e 2 2 là
 cos x 
 1 1
 A. 2ex tan x C B. 2ex tan x C C. 2ex C D. 2ex C
 cos x cos x
 1
Câu 62. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nguyên hàm của hàm số f x có dạng:
 2 2x 1
 1
 A. f x dx 2x 1 C . B. f x dx 2x 1 C .
 2 
 1
 C. f x dx 2 2x 1 C . D. f x dx C .
 2x 1 2x 1
Câu 63. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên F x của hàm số 
 f x x 1 x 2 x 3 ?
 x4 11
 A. F x 6x3 x2 6x C . B. F x x4 6x3 11x2 6x C .
 4 2
 x4 11
 C. F x 2x3 x2 6x C . D. F x x3 6x2 11x2 6x C .
 4 2
 3x 2
Câu 64. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng 
 x 2 2
 2; là
 10