Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Bài 3: Cấp số nhân (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ
 BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm vững khái niệm cấp số nhân
 + Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân
 + Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
 ❖ Kĩ năng
 + Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa
 + Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng 
 đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân
 + Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất 
 đẳng thức
 + ứng dụng vào các bài toán thực tế
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích 
của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
 *
Nếu un là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un 1 un .q với n ¥
Đặc biệt:
 • Khi q 0 , cấp số nhân có dạng u1,0,0,...,0,...
 • Khi q 1, cấp số nhân có dạng u1,u1,u1,...,u1,...
 • Khi u1 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0,...,0,...
 Số hạng tổng quát
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi 
công thức
 n 1
un u1.q với n 2
 Tính chất
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của 
hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
 2
uk uk 1.uk 1 với k 2
 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân un với công bội q 1
 n
 u1 1 q 
Đặt S u u ... u . Khi đó S 
 n 1 2 n n 1 q
Chú ý: Nếu q 1thì cấp số nhân là u1,u1,u1,...,u1,... khi đó Sn nu1
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Trang 2 Số hạng tổng quát Số hạng thứ k
 2
 n 1 uk uk 1.uk 1
 un u1.q CẤP SỐ NHÂN
 u u .q k 2 
 n 2 n n 1
 Tổng n số hạng đầu tiên
 Sn nu1 khi q 1
 n
 u1 1 q 
 S khi q 1
 n 1 q
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh một dãy un là cấp số nhân
 Phương pháp giải
 Chứng minh un 1 un .q,n 1 trong đó q là một số không đổi
 * un 1
 Nếu un 0,n ¥ thì ta lập tỉ số k
 un
 * k là hằng số thì un là cấp số nhân có công bội q k
 * k phụ thuộc vào n thì un không là cấp số nhân
 Để chứng minh dãy un không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không 
 u u
 tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn 3 2
 u2 u1
 Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac b2 hoặc b ac
 Ví dụ mẫu
 Ví dụ 1. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó
 2n 1 n 3n 1
 a) un 4 b) un 7 .5
 Hướng dẫn giải
 Trang 3 2n 3
 un 1 4 2
a) Ta có 2n 1 4 16 là số không đổi nên un là cấp số nhân với công bội q = 16
 un 4 
 n 1
 u 7 .53 n 1 1
b) Ta có n 1 7.53 875 không đổi nên u là cấp số nhân với công bội 
 n 3n 1 n 
 un 7 .5
q 875 
Ví dụ 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó
 u1 3
 u1 2
a) 9 b) 
 u 2
 n 1 un 1 un
 un
Hướng dẫn giải
 9
 u u u
Ta có n 1 n n 1 u u ,n 2
 9 n 1 n 1
 un un
 un 1
 u1 u3 u5 ... u2n 1... 1 
Do đó có 
 u2 u4 u6 ... u2n ... 2 
 9
Theo đề bài ta có u1 3 u2 3 (3)
 u1
Từ (1), (2), (3) suy ra u1 u2 u3 u4 u5 ... u2n u2n 1...
Do đó un là cấp số nhân với công bội q = 1
 2 2 2
b) Ta có u2 u1 4,u3 u2 16,u4 u3 256
 u 4 u 256 u u
suy ra 2 2 và 4 16 2 4
 u1 2 u3 16 u1 u3
Do đó un không là cấp số nhân
Ví dụ 3. Cho un là cấp số nhân có công bội q 0;u1 0 . Chứng minh rằng dãy số vn với 
vn un .u2n cũng là một cấp số nhân
Hướng dẫn giải
 n 1 2n 1
 vn un .u2n u1.q .u1.q 3 3
Ta có n 2 2n 3 q nên vn là cấp số nhân với công bội là q
 vn 1 un 1.u2 n 1 u1.q .u1.q
 u1 2
Ví dụ 4. Cho dãy số un được xác định bởi ,n 1. Chứng minh rằng dãy số vn xác 
 un 1 4un 9
định bởi vn un 3,n 1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân 
đó
 Trang 4 Hướng dẫn giải
 Ta có vn un 3 (1) vn 1 un 1 3 (2)
 Theo đề ra un 1 4un 9 un 1 3 4 un 3 (3)
 vn 1
 Thay (1) và (2) vào (3) ta được vn 1 4vn ,n 1 4 (không đổi)
 vn
 Suy ra vn là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v1 u1 3 5
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
 1
 u1 u1 2
 A. 2 .B. un 1 nun .C. .D. un 1 un 1 3 .
 2 un 1 5un
 un 1 un
Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
 1 1 1 1
 A. u 1.B. u . C. u n .D. u n2 .
 n 3n n 3n 2 n 3 n 3
Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
 u1 3 u1 1
 A. 3 .B. un 1 un . C. . D. un 1 2un 3.
 un 1 un un 1 6un
Câu 4: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
 1
 A. u n 2 .B. u n2 2.C. u 32n .D. u n2 1.
 n 3 n n n
Câu 5: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
 1 1 1 1
 A. u 4.B. u . C. u 2n .D. u n2 .
 n 3n n 5n 2 n 3 n 3
Câu 6: Dãy số nào trong các dãy số sau vừa là một cấp số cộng, vừa là một cấp số nhân?
 A. 1; 1; 1; 1; 1;... B. 1;0;0;0;0;... C. 3;2;1;0; 1;... D. 1;1;1;1;1;...
Câu 7: Cho cấp số nhân có u1 0 và công bội q 0 . Trong các nhận xét sau, nhận xét nào đúng?
 A. un 0 với mọi n.B. un 0 với mọi n lẻ và un 0 với mọi n chẵn.
 C. un 0 với mọi n. D. un 0 với mọi n chẵn và un 0 với mọi n lẻ.
 1 1 1 1
Câu 8: Hỏi , , , là bốn số hạng đầu của dãy số nào sau đây?
 2 4 8 32
 1 1 1 1
 A. u .B. u .C. u .D. u .
 n 2n n 2n 1 n 2n n n2
Câu 9: Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?
 1 1 1 1 1 1
 A. 1; ; ; .B. ; ; ;1.
 5 25 125 8 4 2
 1 1 1
 C. 4 2;2 4 2;4 4 2;8 4 2 . D. 1; ; ; .
 3 9 27
 Trang 5 Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
 u1 2
 n 2n 3 n 1
 A. un 2 1.B. 1 . C. un . D. un .
 u u 5 n 1
 n 1 3 n
Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
 1 1
 u u 
 1 1 2 u1 1;u2 2
 A. 2 .B. 2 . C. un n 1.D. .
 2 un 1 un 1.un
 un 1 un un 1 2.un
Câu 12: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
 1 1 1
 A. u .B. u .C. u 2n . D. u n3 1.
 n 3n 1 n 3n 2 n 3 n
Câu 13: Cho dãy số un là một cấp số nhân với un 0,n ¥ . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số 
nhân?
 1 1 1
 A. u1;u3;u5;... B. 3u1;3u2 ;3u3;... C. ; ; ;... D. u1 1;u2 1;u3 1;...
 u1 u2 u3
Câu 14: Cho dãy số un được xác định bởi u1 2;un 2un 1 3n 1. Công thức số hạng tổng quát của 
dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n bn c , với a, b, c là các số nguyên với n 2;n ¥ . Khi đó 
tổng a + b + c có giá trị bằng
 A. – 4 . B. 4. C. – 3 . D. 3.
Câu 15: Cho dãy số un có các số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25, Số hạng tổng quát của dãy là
 A. un 5(n 1) .B. un 5n . C. un 5 n .D. un 5n 1.
 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
 1-C 2-B 3-C 4-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B
 11-B 12-B 13-D 14-C 15-B
Câu 1: 
 u1 2 un 1
Ta có 5 un là cấp số nhân có số hạng đầu u1 2 và công bội q 5
 un 1 5un un
Câu 2: 
 1 1
Xét u u 
 n 3n 2 n 1 3n 1
 un 1 1 1 1 *
Ta có n 1 : n 2 , ¥
 un 3 3 3
 1
Vậy u là cấp số nhân có công bội q 
 n 3
Câu 3: 
 Trang 6 un 1
Xét 6 nên un là cấp số nhân có công bội q 6
 un
Câu 4: 
 2n
 un 3 2 2n
Vì 2n 2 3 9 nên un 3 là cấp số nhân có công bội q 9
 un 1 3
Câu 5: 
 1
 u n 2 1 1 1
Vì n 5 nên u là cấp số nhân có công bội q 
 1 n n 2
 un 1 5 5 5
 5n 3
Câu 6: 
Dãy số 1; 1; 1; 1; 1; vừa là cấp số cộng công sai là 0, số hạng đầu là 1 vừa là cấp số nhân số hạng đầu 
là 1, công bội là 1
Câu 7: 
 2
Vì u1 0;q 0 u2 u1.q 0;u3 u1.q 0
 2n 1 2n
Hay u2n u1.q 0;u2n 1 u1.q 0
Câu 8: 
 1 1
Xét cấp số nhân u với u ,q 
 n 1 2 2
 n 1
 n 1 1 1 1
Ta có un u1.q . n
 2 2 2
Câu 9: 
 2
 1 1 1 1 1
Dãy ; ; ;1 có .1 nên không là cấp số nhân
 8 4 2 2 4
Câu 10: 
 u1 2
 un 1 1 1
Dãy số 1 là cấp số nhân với u1 2,q 
 u u u 3 3
 n 1 3 n n
Câu 11: 
 1
 u1 u
Dãy số 2 có n 1 2 nên là một cấp số nhân với công bội là q 2
 un
 un 1 2.un
Câu 12: 
 1 un 1 1 1
Ta có un n 2 n 2 : n 3 
 3 un 1 3 3 3
 Trang 7 1 1
Suy ra u là một cấp số nhân với công bội là q 
 n 3n 2 3
Câu 13: 
 2
Dãy u1;u3;u5;... là cấp số nhân công bội q
Dãy 3u1;3u2 ;3u3;... là cấp số nhân công bội 3q
 1 1 1 1
Dãy ; ; ;... là cấp số nhân công bội 
 u1 u2 u3 q
Dãy u1 1;u2 1;u3 1;... không phải là cấp số nhân 
Câu 14: 
Ta có un 2un 1 3n 1 un 3n 5 2 un 1 3 n 1 5 với n 2;n ¥
Đặt vn un 3n 5 , ta có vn 2vn 1 với n 2;n ¥
Như vậy vn là cấp số nhân với công bội q = 2 và v1 10
 n 1 n
Do đó vn 10.2 5.2
 n n
Suy ra un 3n 5 5.2 hay un 5.2 3n 5 với n 2;n ¥
Vậy a 5,b 3,c 5 nên a b c 5 3 5 3
Câu 15: 
Ta có u1 5;u2 10 5.2;u3 15 5.3;... un 5.n
Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
 Phương pháp giải
 Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u1 . Giải hệ phương 
 trình này tìm được q và u1
 Nếu cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi 
 n 1
 công thức un u1.q n 2 
 Tổng của n số hạng đầu tiên
 Sn nu1
 khi q 1
 u 1 qn 
 1 khi q 1
 Sn 
 1 q
 Ví dụ mẫu
 Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết
 u1 u5 51 u2 6
 a) b) 
 u2 u6 102 S3 43
 Hướng dẫn giải
 Trang 8 4 u 1 q4 51 Sử dụng công thức
 u1 u5 51 u1 u1.q 51 1 * 
a) Ta có k 1
 5 4 u u .q
 u2 u6 102 u q u q 102 u q 1 q 102 ** k 1
 1 1 1 
 Đưa hệ phương trình 
 4
 u1q 1 q 102
Chia từng vế của (**) cho (*) ta được về hệ phương trình 
 4
 u1 1 q 51
 hai ẩn q và u1
 51 51
 q 2 u 3
 1 1 q4 17
Vậy u1 3và q = 2
 u q 6
 1 u q 6 Sử dụng công thức
 u2 6 1 * 
b) 1 q3 
 S 43 u 43 u 1 q q2 43 ** u u .qk 1 
 3 1 1 k 1
 1 q
 Và 
 u1q 6
chia từng vế của (*) cho (**) ta được n
 2 1 q
 u1 1 q q 43 S u . ,q 1
 n 1 1 q
 q 6
 Đưa hệ phương trình 
 43q 6 1 q q2 6q2 37q 6 0 1
 q về hệ phương trình 
 6
 hai ẩn q và u1
 • Với q 6 u1 1
 1
 • Với q u 36
 6 1
 1
 q 6 q 
 Vậy hoặc 6
 u1 1 
 u1 36
 Sử dụng công thức
 Ví dụ 2. Cho cấp số nhân un có công bội nguyên và các số hạng thỏa 
 u u .qk 1
 u u 10 k 1
 mãn 2 4
 Đưa hệ phương trình 
 u1 u3 u5 21
 về hệ phương trình 
 a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
 hai ẩn q và u
 b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365? 1
 c) Số 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
 a) Ta có 
 3
 3 u q q 51 2 4
 u1.q u1.q 10 1 1 q q 21
 3 
 u u q2 u .q4 21 u 1 q2 q4 21 q q 10
 1 1 1 1 
 4 3 2 2 1 1 
 10q 21q 10q 21q 10 0 10 q 2 21 q 10 0
 q q 
 1 1
 Đặt q t t 2 2 q2 . Ta có phương trình
 q q2
 Trang 9 5
 t 
 2 2 2
 10 t 2 21t 10 0 10t 21t 10 0 
 2
 t 
 5
 q 2
 5 1 5 2
 • Với t q 2q 5q 2 0 1
 2 q 2 q 
 2
 Mà q nguyên nên q 2
 2 1 2
 • Với t q 5q2 2q 5 0 (vô nghiệm)
 5 q 5
 10
 Ta có q 2 u 1
 1 q q3
 Vậy q 2;u1 1
 1 qn
b) Ta có S 1365 u . 1365
 n 1 1 q
 1 2 n
 1 . 1365 2n 4096 n 12
 1 2
Vậy tổng của 12 số hạng đầu tiên bằng 1365
 k 1 k 1
c) Ta có uk 4096 u1.q 4096 1 2 4096
 2k 1 4096 2k 1 212 k 1 12 k 13
Vậy số 4096 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân
Ví dụ 3. Tính các tổng sau
 1 1 1 1
a) S ... 
 n 2 22 23 2n
 2 2 2
 1 1 n 1 
b) Sn 3 9 ... 3 n 
 3 9 3 
Hướng dẫn giải
 1 1 1 1 1
a) Ta có dãy số ; ; ;...; là một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u và công bội 
 2 22 23 2n 1 2
 1
 2 1
q 2 
 1 2
 2
 n
 1 
 n 1 
 1 q 1 2 1
Do đó S u . . 1 
 n 1 1 n
 1 q 2 1 2
 2
 Trang 10