Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Bài 2: Cấp số cộng (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ
 BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu được khái niệm cấp số cộng.
 + Nắm được công thức tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
 + Biết được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
 ❖ Kĩ năng
 + Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số 
 số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. 
 + Liên hệ được kiến thức về cấp số cộng để giải những bài toán thực tế. 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều 
bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là
 un là cấp số cộng n 2,un un 1 d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
 Định lí 1
Nếu un là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng 
 u u
hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là u k 1 k 1 .
 k 2
Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.
 Định lí 2
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi 
công thức sau: un u1 n 1 d .
 Định lí 3
Giả sử un là một cấp số cộng có công sai d.
 n
Gọi Sn uk u1 u2 ... un
 k 1
( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).
 n u u n 2u1 n 1 d 
Ta có S 1 n .
 n 2 2
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Nhận diện cấp số cộng
 un un 1 d là hằng số
 CẤP SỐ CỘNG Số hạng thứ k Ba số a, b, c theo thứ 
Số hạng tổng quát Hệ quả
 u u tự lập thành cấp số 
 u u n 1 d u u d k 1 k 1
 n 1 n n 1 uk cộng khi và chỉ khi 
 2
 a c 2b
 n 2 
 Tổng n số hạng đầu tiên
 n u u 
 S 1 n
 n 2
 n 2u1 n 1 d 
 Sn Trang 2
 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng
 Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa un là một cấp số cộng khi và chỉ khi un 1 un d, với d là một hằng số.
Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét d un 1 un
 • Nếu d là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai d.
 • Nếu d phụ thuộc vào n thì un không là cấp số cộng.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
a) Dãy số un với un 2020n 2021.
b) Dãy số un với un 2n 5.
Hướng dẫn giải
a) Dãy số un với un 2020n 2021.
Ta có un 1 un 2020 n 1 2021 2020n 2021 2020.
Vậy un là một cấp số cộng với công sai d 2020.
b) Dãy số un với un 2n 5.
Ta có un 1 un 2 n 1 5 2n 5 2.
Vậy un là một cấp số cộng với công sai d 2.
Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng.
 2
a) Dãy số un với un n n 1.
 n
b) Dãy số un với un 1 3n.
Hướng dẫn giải
 2
a) Dãy số un với un n n 1.
 2 2
Ta có un 1 un n 1 n 1 1 n n 1 2n 2 phụ thuộc vào n.
Vậy un không là cấp số cộng.
 n
b) Dãy số un với un 1 3n.
Ta có u u 1 n 1 3 n 1 1 n 3n 1 n 3 1 n 3 2 1 n phụ thuộc vào n.
 n 1 n 
 Trang 3 Vậy un không là cấp số cộng.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
 A. 1; 3; 6; 9; 12.B. 1; 4; 7; 10; 14.C. 1; 2; 4; 8; 16. D. 0; 4; 8; 12; 16.
Câu 2: Trong các dãy sau đây, dãy nào là cấp số cộng?
 n n 1 2
 A. un 3 . B. un 3 . C. un 3n 1. D. un 5n n.
 1 1
Câu 3: Một cấp số cộng u với u ,d có dạng khai triển nào sau đây?
 n 1 2 2
 1 1 1 1 1
 A. ; 0; 1; ; 1;... B. ; 0; ; 0; ;...
 2 2 2 2 2
 1 3 5 1 1 3
 C. ; 1; ; 2; ;... D. ; 0; ; 1; ;...
 2 2 2 2 2 2
Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng
 A. 1; -2; -4; -6; -8.B. 1; -3; -6; -9; -12.C. 1; -3; -7; -11; -15. D. 1; -3; -5; -7; -9.
Câu 5: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
 2 n 1
 A. un n 1,n 1. B. un 2n 3,n 1. C. un n 1,n 1. D. un 2 ,n 1.
Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
 2 n n 1
 A. un 3n 2020. B. un 3n 2020. C. un 3 . D. un 3 .
Câu 7: Trong các dãy số un sau đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
 n 2 2 u1 3
 A. un 3n 1. B. un 2 1. C. un n 1 n . D. 
 un 1 un 1,n 1.
Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát un , dãy số nào không phải là cấp số cộng?
 n 2 2
 A. 1; 3; 5; 7; 9.B. 13; 17; 21; 25; 29.C. un 1 3 . D. un n 3 n .
Câu 9: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
 u1 1 u1 1 2 3
 A. . B. . C. un n . D. un n 1 .
 un 1 2un 1 un 1 un 1
Câu 10: Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
 n * * n * 3n 1 *
 A. un n 2 , n ¥ .B. un 3n 1, n ¥ . C. un 3 , n ¥ . D. un , n ¥ .
 n 2
Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?
 A. Dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng.
 1
 u 
 1 1 3 1 2
 B. Dãy số ;0; ;1; ;...là một cấp số cộng với 1 .
 2 2 2 1
 d 
 2
 Trang 4 1
 u 
 1 1 1 1 2
 C. Dãy số ; ; ;... là một cấp số cộng có ba số hạng và .
 2 22 23 1
 d 
 2
 u1 2
 D. Dãy số -2; -2; -2; -2; là một cấp số cộng .
 d 0
Câu 12: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36; Viết công thức số hạng tổng quát?
 A. un 7n 7. B. un 7n.
 C. Không viết được dưới dạng công thức.D. un 7n 1.
Câu 13: Cho 2 cấp số cộng hữu hạn 4; 7; 10; 13; 16; và 1; 6; 11; 16; 21;; mỗi cấp số cộng có 100 số 
hạng. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số trên?
 A. 21.B. 20.C. 18. D. 19.
Câu 14: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
 2 2 * *
 A. Dãy số an , với an 2n 5 4n ,n ¥ . B. Dãy số bn , với b1 1,bn 1 3bn 4,n ¥ .
 n * 2020 *
 C. Dãy số cn , với cn 2019 ,n ¥ . D. Dãy số dn , với d1 1,dn 1 ,n ¥ .
 dn 1
Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính 
tổng k số hạng đầu tiên.
 Phương pháp giải
Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d. Muốn tìm 
số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng công thức uk u1 k 1 d. Muốn tính tổng 
của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng công thức
 k u u k 2u1 k 1 d 
 S 1 k .
 k 2 2
 Ví dụ mẫu
 u1 u2 u3 9
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng .
 2 2 2
 u1 u2 u3 35
Hướng dẫn giải
 u u d u 2d 9
 u1 u2 u3 9 1 1 1
Cách 1. Ta có 2 2
 u2 u2 u2 35 u2 u d u 2d 35
 1 2 3 1 1 1 Áp dụng công thức 
 u 3 d u u n 1 d 
 1 u1 3 d u1 3 d n 1 
 .
 2 2 2 2 
 3 d 3 3 d 35 d 4 d 2 lập hệ phương trình 
 gồm hai ẩn u1 và d.
Với d 2 u1 1.
Với d 2 u1 5.
Cách 2. Đặt u1 x d; x2 x;u3 x d.
 Trang 5 x d x x d 9
 u1 u2 u3 9 
 Ta có 
 2 2 2 2 2 2
 u1 u2 u3 35 x d x x d 35
 x 3 x 3 x 3
 .
 2 2 2 2 
 3 d 3 3 d 35 d 4 d 2
 Với d 2 u1 1.
 Với d 2 u1 5.
Ví dụ 2. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng - Nếu số số hạng của cấp số 
bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. cộng là lẻ thì gọi công sai 
 d x, là chẵn thì gọi công 
Hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng a 3x;a x;a x;a 3x lập thành cấp số cộng với công sai d 2x rồi viết các số 
 hạng dưới dạng đối xứng.
sai là d 2x.
 - Nếu cấp số cộng an thỏa 
 a 3x a x a x a 3x 20
 mãn
Khi đó ta có 2 2 2 2
 a 3x a x a x a 3x 120
 a1 a2 ... an p
 thì
 2 2 2 2
 4a 20 a 5 a1 a2 ... an s
 .
 4a2 20x2 120 x 1
 1 n n 1 
 a1 p .d 
Vậy bốn số cần tìm là 2; 4; 6; 8. n 2 
 12 ns2 p2 
 và d .
 n2 n2 1 
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số 
 Áp dụng công thức
 u5 19
hạng đầu tiên của cấp số cộng un , biết rằng .
 un u1 n 1 d
 u9 35
 Lập được hệ phương trình 
Hướng dẫn giải
 gồm hai ẩn u1 và d.
Áp dụng công thức un u1 n 1 d,
 Để tính tổng k số hạng đầu 
 u5 19 u1 4d 19 u1 3 tiên, ta áp dụng công thức
ta có .
 u 35 u 8d 35 d 4
 9 1 k 2u k 1 d 
 S 1 .
 k 2
Vậy số hạng đầu tiên u1 3, công sai d 4.
Số hạng thứ 50 là u50 u1 49d 3 49.4 199.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên là
 50 2u 49d 
 S 1 25. 2.3 49.4 5050.
 50 2
 Ví dụ 4. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng
 Trang 6 S4 20
 S12 34 
 a) . b) 1 1 1 1 25 .
 S18 45 
 u1 u2 u3 u4 24
 Hướng dẫn giải 
 12 2u1 11d 31
 34 u1 
 S12 34 2 6u1 33d 17 9
 a) Ta có .
 S18 45 18 2u1 17d 2u1 17d 5 1
 45 d 
 2 9
 Áp dụng công thức
 S4 20 2 2u1 3d 20
 k 2u k 1 d 
b) 1 1 1 1 25 1 1 1 1 25 S 1 
 k
 u u u u 24 2
 1 2 3 4 u1 u2 u3 u4 24
 Biểu diễn được S4 theo hai 
 3 ẩn u1 và d.
 u1 5 d
 2 Áp dụng công thức
 1 1 1 1 25 * . u u n 1 d
 n 1
 3 3 3 3 24 Lập được hệ phương trình 
 5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d
 2 2 2 2 gồm hai ẩn u1 và d.
 * 1 1 1 1 25 10 10 25
 2 2 .
 3 3 d d 24 9d d 24
 5 d 5 d 5 5 25 25 
 2 2 2 2 4 4
 d 2
 Đặt t;t 0, ta được
 4
 10 10 25 2 25 t 2 25 9t 5
 25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24
 100 20t 5
 24 20 4t 25 9t 25 t 
 25 9t 25 t 24
 145
 t 
 9t 2 154t 145 0 9 .
 t 1
 145 145 145
 Nếu t d 2 d .
 9 9 3
 145 145
 • Với d u 5 .
 3 1 2
 145 145
 • Với d u 5 .
 3 1 2
 Nếu t 1 d2 1 d 1.
 3 7
 • Với d 1 u 5 .
 1 2 2
 Trang 7 3 13
 • Với d 1 u 5 .
 1 2 2
Ví dụ 5. Biết u4 u8 u12 u16 224. Tính S19.
Hướng dẫn giải
Ta có u4 u8 u12 u16 224
 u1 3d u1 7d u1 11d u1 15d 224 4u1 36d 224 u1 9d 56.
 19
Ta có S 2u 18d 19 u 9d 19.56 1064.
 19 2 1 1
Ví dụ 6. Cho cấp số cộng un biết un 9 5n. Tìm S100.
Hướng dẫn giải
 *
Ta có un 1 un 9 5 n 1 9 5n 5,n ¥ . Suy ra d 5,u1 4.
 n 2u1 n 1 d 100 2.4 99. 5 
Vậy S 24350.
 100 2 2
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng un có u2 7;u3 4 là
 A. u1 1;d 3. B. u1 10;d 3. C. u1 4;d 3. D. u1 4;d 3.
Câu 2: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu là u1 15 và công sai d 2.Số hạng thứ 8 của cấp số 
cộng là
 A. u8 1. B. u8 1. C. u8 103. D. u8 64.
Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 1;d 2;Sn 483. Giá trị của n là
 A. n 20. B. n 21. C. n 22. D. n 23.
 u1 2
Câu 4: Cho cấp số cộng un xác định bởi . Số 70 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số 
 un 1 un 3
cộng?
 A. 15.B. 23.C. 25. D. 205.
Câu 5: Cho một cấp số cộng un có u1 5và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công thức của số hạng 
tổng quát un là
 A. un 1 4n. B. un 5n. C. un 3 2n. D. un 2 3n.
Câu 6: Cho cấp số cộng un có un 2n 3. Biết Sn 320, giá trị của n là
 A. n 16 hoặc n 20. B. n 15.
 C. n 20. D. n 16.
Câu 7: Cho dãy số un biết un 2n 5. Chọn khẳng định đúng.
 A. un là một cấp số cộng với công sai d 2. B. un là một cấp số cộng với công sai d 2.
 Trang 8 C. un là một cấp số cộng với công sai d 5. D. un là một cấp số cộng với công sai d 5.
Câu 8: Cho cấp số cộng un biết u1 7 và d 4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
 A. u15 u3 46. B. u29 u22 28. C. u17 u13 18. D. u1000 u100 350.
Câu 9: Cho dãy số un là một cấp số cộng có công sai d 3.Chọn khẳng định đúng trong các khẳng 
định sau
 A. Dãy số u10 ;u20 ;u30 ;...;u10n ,n 1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 10.
 B. Dãy số u10 ;u20 ;u30 ;...;u10n ,n 1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 20.
 C. Dãy số u10 ;u20 ;u30 ;...;u10n ,n 1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 30.
 D. Dãy số u10 ;u20 ;u30 ;...;u10n ,n 1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 15.
Câu 10: Cho cấp số cộng un có công sai d. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên. Hãy chỉ ra hệ thức sai 
trong các hệ thức sau.
 2
 A. u3 u8 u5 u6. B. u5 u9 2u7 . C. u4.u9 u6 . D. S3 S5 2S4 d.
 u1 2u5 0
Câu 11: Cho cấp số cộng un , biết . Số hạng đầu u1 và công sai d là
 S4 14
 A. u1 8;d 3. B. u1 8;d 2. C. u1 8;d 3. D. u1 8;d 2.
 u1 u5 u3 10
Câu 12: Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng un có là
 u1 u6 7
 A. u1 33;d 12. B. u1 36;d 13. C. u1 35;d 13. D. u1 34;d 13.
Câu 13: Cấp số cộng un có S6 18, S10 110 thì tổng 20 số hạng đầu tiên là
 A. 620.B. 280.C. 360. D. 153.
Câu 14: Cho cấp số cộng un 5n 2. Biết Sn 16040, số số hạng của cấp số cộng là
 A. 79.B. 3024.C. 80. D. 100.
Câu 15: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Nếu 3 số a,b,c khác 0 lập thành cấp số cộng 
thì
 A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng.
 B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng.
 C. c, b, a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.
 D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.
Câu 16: Cho cấp số cộng có S10 85, S15 240, khi đó S20 bằng
 A. -325.B. -170.C. -395. D. -470.
Câu 17: Tổng tất cả các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 555 là
 A. 77145.B. 77284.C. 76450. D. 77006.
 1 1
Câu 18: Cho cấp số cộng có u ,d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
 1 4 4
 Trang 9 5 4 5 4
 A. S . B. S . C. S . D. S .
 5 4 5 5 5 4 5 5
Câu 19: Cho cấp số cộng un , với u1 2,d 3. Kết quả nào sau đây đúng?
 A. u3 1. B. u3 7. C. u4 7. D. u6 0.
Câu 20: Cho cấp số cộng có u2 u22 60. Tổng của 23 số hạng đầu là
 A. 690.B. 680.C. 600. D. 500.
Câu 21: Công sai d của một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu u1 10 và số hạng cuối u21 50 là
 A. d 4. B. d 2. C. d 2. D. d 2.
Câu 22: Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng có u1 8,u10 62 là
 A. S10 175. B. S10 350. C. S10 700. D. S10 1400.
Câu 23: Cho cấp số cộng có u1 1,d 2, Sn 483. Số các số hạng của cấp số cộng đó là
 A. n 20. B. n 21. C. n 22. D. n 23.
Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng 4 số hạng bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng 
của cấp số cộng này là
 A. 1; 4; 7; 10.B. 1; 4; 5; 10.C. 2; 3; 5; 10. D. 2; 3; 4; 5.
 u2 u5 42
Câu 25: Cho cấp số cộng un thỏa mãn . Tổng của 346 số hạng đầu là
 u3 u10 66
 A. 242546.B. 242000.C. 241000. D. 240000.
Câu 26: Cho cấp số cộng un có u5 18 và 4Sn S2n . Số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng 
là
 A. u1 2;d 4. B. u1 2;d 3.
 C. u1 2;d 2. D. u1 3;d 2.
Câu 27: Cho cấp số cộng gồm 4 số hạng 1,a,7,b. Giá trị của a,blà
 A. a 3,b 11. B. a 2,b 9.
 C. a 4,b 12. D. a 7,b 1.
 2
Câu 28: Cho dãy số an có tổng n số hạng đầu tiên là Sn 2n 3n. Khi đó
 A. an là một cấp số cộng với công sai bằng 4.B. an là một cấp số cộng với công sai bằng 2.
 C. an là một cấp số cộng với công sai bằng 1.D. an là một cấp số cộng với công sai bằng 8.
Câu 29: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu là u1 6 và công sai d 4. Tổng 14 số hạng đầu tiên 
của cấp số cộng đó bằng
 A. 280.B. 308.C. 644. D. 46.
Câu 30: Cho cấp số cộng un gồm 4 số hạng 2,a,6,b. Tích a.b bằng
A. 12.B. 32. C. 40. D. 22.
 2 *
Câu 31: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là Sn 3n 4n,n ¥ . Giá trị số hạng thứ 10 của cấp 
số cộng là
 Trang 10