Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số (Có đáp án)

 CHƯƠNG 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
 + Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.
 + Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính 
 tăng, giảm và bị chặn.
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
 + Biết cách xác định dãy số.
 + Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.
 + Tính được tổng của một dãy số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Phương pháp quy nạp toán học Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) 
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương n p thì:
dương n, ta thực hiện như sau: +) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với 
 n = p.
 • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 +) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số 
 • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương nguyên dương bất kì n k p và phải chứng 
n = k tùy ý k 1 , chứng minh rằng mệnh đề đúng với minh mệnh đề đúng với n k 1
n k 1.
 Dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ¥ * được gọi là 
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
 u : ¥ * ¡
Kí hiệu: 
 n u n .
Dạng khai triển: u1;u2 ;u3;...;un ;...
Trong đó ta gọi: u 1 là số hạng đầu, u n = u(n) là số hạng thứ n 
hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1;2;3;...;m với 
m ¥ *
c) Các cách cho một dãy số:
 2
 Ví dụ 1: Cho dãy (un) với un 3n n 1
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
 Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):
 Trang 1 • Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu). u1 1
 3 n 1
 un 1 un 2n
 • Với n 2 , cho một công thức tính u k nếu biết u k-1 
(hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).
 Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho 
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy 
 dãy (un) với u n là độ dài cung tròn có số đo là 
số. 2 
 của đường tròn (O).
 n
 Dãy số tăng, dãy số giảm
 *
a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un 1 un với mọi n ¥
 * un 1 *
 un 1 un 0,n ¥ hay 1,n ¥ un 0 
 un
 *
b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un 1 un với mọi n ¥
 * un 1 *
 un 1 un 0,n ¥ hay 1,n ¥ un 0 
 un
 Dãy số bị chặn
a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho 
 *
un M ,n ¥ . 
b) Dãy số (u n) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho 
 *
un m,n ¥
c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị 
chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
 *
 m un M ,n ¥ .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Quy nạp toán học
 Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 
Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số n 2 , ta luôn có 2n 1 2n 3 (*)
tự nhiên n đúng với mọi n no (no là só tự nhiên Hướng dẫn giải:
cho trước), ta thực hiện theo các bước sau
 2 1
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n no Với n = 2 ta có 2 2.2 3 8 7 (đúng). Vậy 
 (*) đúng với n = 2.
 Giả sử với n k,k 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi n k k no (xem 
 k 1
đây là giả thiết để chứng minh bước 3). 2 2k 3 (1)
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có 
n k 1 nghĩa ta phải chứng minh 2k 2 2(k 1) 3
 Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được 
 Trang 2 2.2k 1 2(2k 3) 2k 2 4k 6 2(k 1) 3
 Vậy 2k 2 2 k 1 3 (đúng).
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết 
 Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số 
luận rằng P(n) đúng với mọi n n
 o nguyên dương n 2.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
1.4 2.7 ... n(3n 1) n n 1 2 (1)
Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta cóVT (1) 1.4 4; VP(1) 1. 1 1 2 4
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k
Khi đó ta có 1.4 2.7 ... k 3k 1 k k 1 2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay 
1.4 2.7 ... k 3k 1 k 1 3k 4 k 1 k 2 2
Thật vậy 1.4 2.7 ... k 3k 1 k 1 3k 4 k k 1 2 k 1 3k 4
   
 k k 1 2
 k 1 k 2 2 (điều phải chứng minh).
Vậy (1) đúng khi n k 1
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có
 n n2 1 3n 2 
1.22 2.33 3.44 ... n 1 n2 (1)
 12
Hướng dẫn giải
 2.3.8
Với n = 2, ta có VT (1) 1.22 4; VP(1) 4
 12
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2.
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
 k k 2 1 3k 2 
1.22 2.33 3.44 ... k 1 k 2 
 12
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1. Có nghĩa ta phải chứng minh
 Trang 3 k 1 k 1 2 1 3 k 1 2 
 2 
1.22 2.33 3.44 ... k 1 k 2 k k 1 
 12
 2
 2 k 1 k 2k 3k 5 
 1.22 2.33 3.44 ... k 1 k 2 k k 1 
 12
Thật vậy 1.22 2.33 3.44 ... k 1 k 2 k k 1 2
 2 2
 k k 1 3k 2 2 k k 1 3k 11k 10 
 k k 1 
 12 12
 k k 1 k 2 3k 5 k 1 k 2 2k 3k 5 
 (điều phải chứng minh)
 12 12
Vậy (1) đúng khi n k 1.
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n 2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
 1 1 1 n n 3 
 ... (1)
1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 4 n 1 n 2 
Hướng dẫn giải
 1 1.4 1
Với n = 1, ta có VT (1) ;VP(1) 
 6 4.2.3 6
Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
 1 1 1 k k 3 
 ... 
1.2.3 2.3.4 k k 1 k 2 4 k 1 k 2 
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1. Có nghĩa ta phải chứng minh
 1 1 1 1 k 1 k 4 
 ... 
1.2.3 2.3.4 k k 1 k 2 k 1 k 2 k 3 4 k 2 k 3 
 1 1 1 1
Thật vậy ... 
 1.2.3 2.3.4 k k 1 k 2 k 1 k 2 k 3
    
 k k 3 
 4 k 1 k 2 
 k k 3 1 1 4 
 k k 3 
 4 k 1 k 2 k 1 k 2 k 3 4 k 1 k 2 k 3 
 2
 k 3 6k 2 9k 4 k 1 k 4 
 4 k 1 k 2 k 3 4 k 1 k 2 k 3 
 k 1 k 4 
 (điều phải chứng minh).
4 k 2 k 3 
Vậy (1) đúng khi n k 1.
 Trang 4 Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2, ta có
 1 1 1 13
 ... (1)
n 1 n 2 n n 24
Hướng dẫn giải
 1 1 1 1
Đặt u ... 
 n n 1 n 2 n n 1 n n
 1 1 7 13
Với n = 2 ta có u (đúng)
 2 2 1 2 2 12 24
 1 1 1 13
Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có ... 
 k 1 k 2 k k 24
Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1, có nghĩa ta phải chứng minh
 1 1 1 1 13
 ... 
k 2 k 3 k k k 1 k 1 24
Thật vậy, xét hiệu
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... ... 
k 2 k 3 k k 2k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k k 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 0
 2k 1 k 1 k 1 k 1 2k 1 2 k 1 k 1 2k 1 2k 2
Suy ra
 1 1 1 1 1 1 1 1
 ... ... 
k 2 k 3 k k 2k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k k
 13
Do đó u u . Vậy (1) đúng với n k 1.
 k 1 k 24
Suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n 2
 n n 3 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n 4 là .
 2
Hướng dẫn giải
 n n 3 
Đặt S n 
 2
Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4.
 Trang 5 k k 3 
Giả sử mệnh đề đúng khi n k 4 , tức là S k 
 2
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k +1, tức là chứng minh
 k 1 k 2 
S k 1 
 2
Thật vậy, ta tách đa giác k 1 cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A1 Ak Ak 1 bằng cách nối đoạn A1 Ak . 
Khi đó trừ đi đỉnh Ak 1 và 2 đỉnh kề với nó là A1, Ak thì ta còn lại k 1 3 k 2 đỉnh, tương ứng với
 (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak 1 cộng với đường chéo A1 Ak thì ta có số đường chéo của đa giác 
 k k 3 k k 3 k 2 k 2 k 1 k 2 
 k 1 cạnh là S k 1 k 2 1 k 1 
 2 2 2 2
 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ¥ *, n 4 .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng mọi n – giác lồi n 5 đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Hướng dẫn giải
Khi n = 5, ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với n = 5.
Giả sử mệnh đề đúng khi n k 5 , tức là ta có k – giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n k 1, tức là chứng minh mọi k 1 giác lồi đều được chia 
thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
Thật vậy, trên các cạnh A1 Ak 1 và A3 A4 ta lấy các điểm E, F không trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn EF 
chia k 1 giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là ngũ giác lồi A1 A2 A3FE và k – giác lồi EFA4 A5...Ak 1 .
Theo giả thiết quy nạp thì k – giác lồi EFA4 A5...Ak 1 sẽ được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta 
có thêm một ngũ giác lồi A1 A2 A3FE nên k 1 giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi 
 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ¥ * n 4 
 n
Ví dụ 7: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un 9 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 
thì un luôn chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải
 Trang 6 1
Ta có u1 9 1 8 chia hết cho 8 (đúng)
 k
Giả sử uk 9 1 chia hết cho 8
 k 1
Ta cần chứng minh uk 1 9 1 chia hết cho 8
 k 1 k k
Thật vậy, ta có uk 1 9 1 9.9 1 9 9 1 8 9uk 8
Vì 9uk và 8 chia hết cho 8 nên uk 1 chia hết cho 8.
Theo quy nạp với mọi số nguyên dương n, un chia hết cho 8.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi n ¥ *,n n 1 n 2 n 3 n 4 chia hết cho 120.
Hướng dẫn giải
Trước hết chứng minh bổ đề “Tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8”.
Thật vậy, với n là số nguyên thì 2n và 2n 2 là hai số chẵn liên tiếp.
Khi đó 2n 2n 2 4n n 1 
Mà n n 1 là tích hai số nguyên liên tiếp nên n n 1 2
Suy ra 4n n 1 8
Đặt P n n n 1 n 2 n 3 n 4 
Khi n 1, ta có P 1 120120 . Suy ra mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, tức là
P k k k 1 k 2 k 3 k 4 120
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n k 1, tức là chứng minh
P k 1 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 120
Thật vậy, ta có
P k 1 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 
 k k 1 k 2 k 3 k 4 5 k 1 k 2 k 3 k 4 
 P k 5 k 1 k 2 k 3 k 4 
Mà k 1,k 2,k 3, K 4 là số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 2 sỗ chẵn liên tiếp và một số chia hết 
cho 3 trong bốn số đó.
Suy ra 5 k 1 k 2 k 3 k 4 5.3.8 120
Mặt khác P k 120 nên P k 1 120 mệnh đề đúng khi n k 1.
Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề đúng với mọi n ¥ *
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số 
tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
 Trang 7 A. k p. B. k p. C. k p. D. k p.
 3n 2 3n 1
Câu 2: Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un 5.2 3
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
 1 2
Bước 1: Khi n 1, ta có u1 5.2 3 19 u1 19
 3k 2 3k 1
Bước 2: Giả sử uk 5.2 3 chia hết cho 19 với k 1.
 3k 1 3k 2 3k 2 3k 1 3k 1
Khi đó ta có uk 1 5.2 3 8 5.2 3 19.3
 3k 2 3k 1 3k 1 *
Bước 3: Vì 5.2 3 và 19.3 chia hết cho 19 nên uk 1 chia hết cho 19, n ¥
 *
Vậy un chia hết cho 19, n ¥
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
 A. Sai từ bước 1.B. Sai từ bước 3.
 C. Sai từ bước 2.D. Lập luận hoàn toàn đúng.
Câu 3: Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
 I k A; II n A n 1 A,n k
Lúc đó ta có
 A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.
 B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.
 C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
 D. Mọi số nguyên đều thuộc A.
Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị 
nguyên n p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n 1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n k (theo giả thiết quy 
nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n k 1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
 A. Chỉ có bước 2 đúng.B. Cả hai bước đều đúng.
 C. Cả hai bước đều sai.D. Chỉ có bước 1 đúng.
Câu 5: Với mọi n ¥ *, khẳng định nào sau đây sai?
 n n 1 
 A. 1 2 ... n . B. 1 3 5 ... 2n 1 n2.
 2
 n n 1 n 2 2 2n n 1 2n 1 
 C. 12 22 ... n2 . D. 22 42 62 ... 2n .
 6 6
 1 1 1 1
Câu 6: Cho S ... với n ¥ * . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 n 1.2 2.3 3.4 n n 1 
 n 1 n n 1 n 2
 A. S . B. S . C. S . D. S .
 n n n n 1 n n 2 n n 3
 Trang 8 u1 1
Câu 7: Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới 
 un 1 un 1 
đây?
 2n
 A. un 1 n. B. un 1 n. C. un 1 1 . D. un n.
 u 3
 1
Câu 8: Cho dãy xác định bởi công thức 1 . Số hạng tổng quát của dãy un là
 u u ,n ¥ *
 n 1 2 n
 3 3 3 3
 A. u . B. u . C. u . D. u .
 n 2n 1 n 2n n 2n 1 n 2n 1
 2 2
 un 1 un 2vn
Câu 9: Cho hai dãy số un , vn được xác định như sau u1 3,v1 2 và với n 2.
 vn 1 2un .vn
Công thức tổng quát của hai dãy un và vn là
 2n 2n 1 2n 2n
 u 2 1 2 1 u 2 1 2 1 
 n n 2 
 A. . B. .
 1 2n 2n 2n 2n
 v 2 1 2 1 1 
 n vn 2 1 2 1 
 2 2 2 2 
 1 2n 2n 1 2n 2n
 u 2 1 2 1 u 2 1 2 1 
 n 2 n 4 
 C. . D. .
 1 2n 2n 1 2n 2n
 v 2 1 2 1 
 n vn 2 1 2 1 
 3 2 2 
 u1 cos 0 
Câu 10: Cho dãy số un xác định bởi 1 u . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là 
 u n ,n 1
 n 1 2
 A. u2020 cos 2020 . B. u2020 cos 2019 .
 2 2 
 C. u2020 sin 2021 . D. u2020 sin 2020 .
 2 2 
Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
 Phương pháp giải
 Tìm số hạng của dãy số
 Ví dụ 1: Cho dãy số an 
Dãy số u :u f n với f n là một biểu thức của n. n
 n n 1
 Đặt un  ak với ak 
Bài toán yêu cầu tìm số hạng u k ta thay trực tiếp n = k vào k 1 k k 1 
un f n a) Tính u1;u2 ;u3;u4.
 b) Tính u .
 u1 a 2020
Dãy số un cho bởi với f un là một biểu 
 un 1 f un Hướng dẫn giải
thức của un. Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk ta tính lần lượt 
 Trang 9 u ;u ;...;u bằng cách thế u vào u , thế u vào u , thế 1 1
 2 3 k 1 2 2 3 a) Ta có u a ;
 1 1 1.2 2
uk 1 vào uk 1 .
 1 1 2
 u a a ;
 u a;u b 2 1 2
 1 2 2 2. 2 1 3
Dãy số un cho bởi 
 un 2 c.un 1 d.un e 2 1 3
 u a a a u a ;
 3 1 2 3 2 3 3 3. 3 1 4
Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk. Ta tính lần lượt 
 3 1 4
u3;u4 ;...;uk bằng cách thế u1;u2 vào thế u3; thế u2, u3 vào u a a a a u a .
 4 1 2 3 4 3 4 4 4.5 5
u ;; thế u ,u vào u .
 4 k 2 k 1 k 1 1 1
 b) Ta có a .
 k k k 1 k k 1
 u1 a 
Dãy số un cho bởi với f n;un là kí 
 u f n;u n
 n 1 n 1 1 1 
 do đó un  ak 1 ...
 k 1 2 2 3 
hiệu của biểu thức un 1 tính theo un và n. Bài toán yêu cầu 
 1 1 1 1 1
tìm số hạng uk ta tính lần lượt u2 ;u3;...;uk bằng cách thế 1 
 n 1 n n n 1 n 1
 1;u vào u2; thế 2;u vào u3; ...; thế k 1;u vào uk.
 1 2 k 1 Suy ra có thể quy nạp 
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số 1 2020
 u 1 
 2020 2021 2021
Nếu un có dạng un a1 a2 ... an (kí hiệu 
 n n
 Ví dụ 2:Xác định công thức un ;n 1 
un  ak ) thì ta biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, n 1
 k 1
 số hạng tổng quát un của dãy số 
dựa vào đó thu gọn un.
 u1 3
Nếu dãy số un được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta tính 
 un 1 un 2
một số số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính 
 Hướng dẫn giải
u1;u2 ;u3;...), từ đó dự đón công thức un theo n, rồi chứng 
 Ta có u2 u1 2 3 2 5;
minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
 u3 u2 2 5 2 7;
Có thể tính hiệu un 1 un dựa vào đó để tìm công thức un 
 u4 u3 2 7 2 9;
theo n. u5 u4 2 9 2 11.
 Từ các số hạng trên, ta dự đoán số hạng tổng 
 quát có dạng un 2n 1,n 1 (*)
 Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp 
 để chứng minh công thức (*) đúng.
 Với n 1;u1 2.1 1 3 (đúng).
 Vậy (*) đúng với n = 1.
 Giả sử (*) đúng với n = k.
 Khi đó ta có uk 2k 1 (1)
 Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1.
 Trang 10