Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 2 - Bài 3: Xác suất (Có đáp án)

 BÀI 3. XÁC SUẤT
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu được khái niệm biến cố và phân biệt được các biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối và 
 biến cố độc lập.
 + HIểu được định nghĩa xác suất của biến cố và tính chất của xác suất.
 + Nắm vững công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất.
 ❖ Kĩ năng
 + Tính được xác suất của biến cố trong các bài toán xác suất cổ điển.
 + Vận dụng quy tắc tính xác suất trong các bài toán thực tế.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Ví dụ:
 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử: Khi ta tung một đồng xu có 2 
 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết 
nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc quả của nó.
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử Tuy nhiên, ta lại biết chắc chắn rằng đồng 
đó. xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: 
 Không gian mẫu sấp (S) hoặc ngửa (N).
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Không gian mẫu của phép thử là 
được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là  S; N .
 .
2. Biến cố Biến cố A: “Kết quả tung đồng xu là sấp”.
 • Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A) liên quan tới Ta có A   .
 phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra 
 của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T.
 Mỗi kết quả của phép thử T là cho biến cố A xảy ra 
 được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
 • Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu 
 bởi  A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ A để kí 
 hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A.
 Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A.
 • Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực 
 hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập 
  và được kí hiệu là  .
 • Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra 
 khi thực hiện phép thử T. Biến cố không thể được mô tả 
 bởi tập  .
 Các phép toán trên biến cố
 • Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí 
 hiệu là A . 
Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. 
Ta có:
 • Tập A B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
 • Tập A B được gọi là giao của các biến cố A và 
 B.
 Trang 2 • Nếu A B  thì ta nói A và B xung khắc.
3. Xác suất của biến cố
 Định nghĩa xác suất
 Giả sử phép thử T có một số hữu hạn kết quả đồng khả 
năng. Khi đó xác suất của một biến cố A liên quan tới T là 
tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể
 A
 P A .
 
 Trong cuộc sống khi nói về biến cố, ta thường nói biến 
cố này có nhiều khả năng xảy ra, biến cố kia có ít khả năng 
xảy ra, biến cố này có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố 
kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng 
cách gán cho mỗi biến cố một số không âm, nhỏ hơn hoặc 
bằng 1 gọi là xác suất của biến cố.
 Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có các bước để tính Nhận xét: Việc tính số kết quả có thể (bước 
xác suất của một biến cố như sau: 1) thường dễ dàng hơn nhiều so với việc 
 Bước 1. Xác định không gian mẫu  rồi tính số phần tính số kết quả thuận lợi cho A (bước 1). Để 
tử của  , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T. giải quyết tốt các bài toán xác suất ta cần 
 Bước 2. Xác định tập con A mô tả biến cố A rồi tính số nắm chắc phần tổ hợp trước.
phần tử của A, tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A. Từ định nghĩa cổ điển về xác suất suy ra:
 Bước 3. Lấy kết quả của bước 2 chia cho bước 1. 0 P A 1; P  1; P  0
 Chú ý: Các kí hiệu n  ;n A được hiểu 
 tương đương với  ;  A là số phần tử của 
 không gian mẫu và của tập hợp thuận lợi 
 cho biến cố A.
 Quy tắc cộng xác suất
 Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì
 P A B P A P B 
 Nếu các biến cố A1, A2 , A3 ,..., Ak đôi một xung khắc 
nhau thì
 P A1  A2 ... Ak P A1 P A2 ... P Ak .
 Công thức tính xác suất biến cố đối Vì A A  và A A  nên theo công 
Xác suất của biến cố đối A của biến cố đối A là thức cộng xác suất thì
 Trang 3 P A 1 P A . 1 P  P A P A 
 Biến cố độc lập Một cách tổng quát, cho k biến cố 
 Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không A1, A2 , A3 ,..., Ak . Chúng được gọi là độc lập 
xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra 
biến cố kia. của một nhóm bất kì trong các biến cố trên 
 không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra 
 của các biến cố còn lại.
 Quy tắc nhân xác suất Một cách tổng quát, nếu k biến cố 
 Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A1, A2 , A3 ,..., Ak đôi một là độc lập thì
 P AB P A .P B 
 P A1, A2 , A3 ,..., Ak P A1 .P A2 ...P Ak .
 Nếu A và B độc lập thì A và B độc lập, B và A độc lập, Chú ý: Nếu một trong các đẳng thức bị vi 
B và A độc lập. Do đố nếu A và B độc lập thì ta còn có phạm thì hai biến cố A và B không độc lập 
các đẳng thức: với nhau.
 P AB P A .P B 
 P AB P A .P B 
 P AB P A .P B 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất
 Phương pháp giải
 Trong bài toán này, việc xác định số phần tử Ví dụ: Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số từ 1 
thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (có đến 11. Chọn 6 viên bi một cách ngẫu nhiên rồi 
thể liệt kê các phương án, có thể tính được các cách cộng các số trên 6 viên bi được rút ra với nhau. 
chọn ngắn gọn). Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ.
 Hướng dẫn giải
 Bước 1. Tìm số phần tử của không gian mẫu. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 11 viên bi thì số 
 6
 cách chọn là n  C11 462.
 Bước 2. Đếm số phần tử thuận lợi của không Gọi A là biến cố: “Chọn 6 viên bi cộng các số trên 
gian mẫu 6 viên bi đó thu được là số lẻ”.
 Trong 11 viên bi có 6 viên bi mang số lẻ đó là 
 {1;3;5;7;9;11} và 5 viên bi mang số chẵn 
 {2;4;6;8;10}.
 Trường hợp 1: 1 viên bi mang số lẻ và 5 viên bi 
 Trang 4 mang số chẵn
 1 5
 Số cách chọn trong trường hợp 1 là C6.C5 cách.
 Trường hợp 2: 3 viên bi mang số lẻ và 3 viên bi 
 mang số chẵn.
 3 3
 Số cách chọn trong trường hợp 2 là C6 .C5 cách.
 Trường hợp 3: 5 viên bi mang số lẻ và 1 viên bi 
 mang số chẵn.
 5 1
 Số cách chọn trong trường hợp 2 là C6 .C5 cách.
 Suy ra
 1 5 3 3 5 1
 n A C6.C5 C6 .C5 C6 .C5 6 200 30 236 .
 n A  236 118
 Bước 3. Tính xác suất P A . Ta có P A A .
 n   462 231
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi 
(không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ.
 1 418 1 12
 A. .B. . C. .D. .
 2 455 13 13
 Hướng dẫn giải
 3
 Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là n  C15 455 .
 Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ”.
 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
 1 2
 Trường hợp 1: Lấy được 1 viên màu đỏ, số cách lấy là: C8.C7 .
 2 1
 Trường hợp 2: Lấy được 2 viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 .C7 .
 3
 Trường hợp 3: Lấy được 3 viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 .
 1 2 2 1 3
 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là n A C8.C7 C8 .C7 C8 420 .
 1 2 2 1 3
 C8.C7 C8 .C7 C8 12
 Vậy P A 3 .
 C15 13
 Chọn D.
 Cách khác: Nhận xét: Trong nhiều 
 Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là bài toán tính xác suất, việc 
 3 tính số phần tử thuận lợi 
 n  C15 455 .
 cho biến cố A trở nên khó 
 Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ” thì là 
 Trang 5 biến cố A “cả ba viên bi lấy ra đều không có màu đỏ” (tức là lấy ra cả ba khăn do có quá nhiều 
 viên bi đều màu xanh) trường hợp, thì ta đi tìm 
 Số cách chọn ra 3 viên bi mà 3 viên bi đó đều màu xanh là số phần tử thuận lợi cho 
 3 biến cố đối của biến cố A. 
 n A C7 35 .
 Sau đó lấy số phần tử 
 Số cách chọn ra 3 viên bi mà trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là 
 không gian mẫu trừ đi kết 
 455 – 35 = 420 cách n A n  n A 455 35 420 . quả vừa tìm được thì ta có 
 n A 420 12 số phần tử thuận lợi cho 
 Vậy P A .
 n  455 13 biến cố A.
Ví dụ 2. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 3; 5; 7; 9. Tính xác suất để tìm 
được một số không bắt đầu bởi 135.
 5 1 59 1
 A. .B. . C. . D. .
 6 60 60 6
 Hướng dẫn giải
 Số phần tử không gian mẫu là n  5! 120 .
 Gọi A là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi 135”.
 Biến cố A là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi 135”.
 Nhóm các số 1; 3; 5 thành 135 thì ta được số còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng 
 đầu là 1.2.1 = 2 cách.
 Vậy n A 120 2 118 cách.
 n A 118 59
 Vậy P A .
 n  120 60
 Chọn C.
Ví dụ 3. Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một 
phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một 
phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.
 436 463 436 163
 A. .B. . C. .D. .
 410 410 104 104
 Hướng dẫn giải
 Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là n  410 .
 Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.
 Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu 
 8 2
 còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có C10.3 cách để thí sinh đúng 8 câu.
 Trang 6 Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn 
 9 1
 lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có C10.3 cách để thí sinh đúng 9 câu.
 Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.
 8 2 9 1
 Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n X C10.3 C10.3 1 436 .
 n X 436
 Vậy xác suất cần tìm là P X .
 n  410
 Chọn A.
Ví dụ 4. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. 
Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng
 7 2 3 4
 A. .B. . C. . D. .
 216 969 323 9
 Hướng dẫn giải
 4
 Số cách chọn 4 đỉnh trong 20 đỉnh là C20 4845 n  .
 Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”.
 Số đường chéo của đa giác đều đi qua tâm O của đường tròn là 10 (do đa giác có 20 đỉnh). Cứ hai 
 đường chéo này tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là 
 2
 n A C10 45 .
 n A 45 3
 Vậy P A .
 n  4845 323
 Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt; trên đường 
thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. 
Tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác.
 5 60 2 9
 A. .B. .C. .D. .
 11 169 11 11
 Hướng dẫn giải
 3
 Số phần tử của không gian mẫu n  C11 165 .
 Gọi A là biến cố: “3 điểm được chọn lập thành một tam giác”.
 2 1
 Trường hợp 1: Chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 1 điểm trên đường thẳng b có C6 .C5 cách.
 1 2
 Trường hợp 2: Chọn 1 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b có C6.C5 cách.
 2 1 1 2
 Suy ra n A C6 .C5 C6.C5 135 .
 n A 9
 Vậy xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác là P A .
 n  11
Chọn D.
 Trang 7 Ví dụ 6. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A. Xác suất để lấy được số lẻ 
và chia hết cho 9 bằng
 625 1 1 1250
 A. .B. . C. .D. .
 1701 9 18 1701
 Hướng dẫn giải
 Số phần tử của không gian mẫu là n  9000000 9.106 số.
 Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta đếm số phần tử của A.
 Ta có các số lẻ chia hết cho 9 là dãy 1000017; 1000035; 1000053; ; 9999999 lập thành một cấp số 
 9999999 1000017
 cộng có u 1000017 và d 18 nên số phần tử của dãy này là 1 500000 .
 1 18
 Vậy n(A)= 5.105
 n A 5.105 1
 Xác suất cần tìm là P A .
 n  9.106 18
 Chọn C.
Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. 
Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số chọn được chia hết cho 6 bằng.
 4 9 1 4
 A. .B. . C. . D. .
 27 28 9 9
 Hướng dẫn giải
 Số phần tử trong không gian mẫu là n  94 .
 Gọi A là biến cố: “số chọn được chia hết cho 6”.
 Giả sử số cần tìm là abcd .
 Do số cần tìm chia hết cho 6 nên chia hết cho 2.
 Do đó chọn d 2;4;6;8 có 4 cách.
 Chọn a, b có 92 cách. Để chọn c ta xét tổng M a b d :
 Nếu M chia cho 3 dư 0 thì c 3;6;9 suy ra có 3 cách chọn c.
 Nếu M chia cho 3 dư 1 thì c 2;5;8 suy ra có 3 cách chọn c.
 Nếu M chia cho 3 dư 2 thì c 1;4;7 suy ra có 3 cách chọn c.
 Do đó n A 4.92.3 972 .
 972 4
 Vậy P A .
 94 27
 Chọn A.
 Bài tập tự luyện dạng 1
 Trang 8 Câu 1: Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài 
tập. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng
 4615 4651 4615 4610
 A. .B. . C. . D. .
 5236 5236 5263 5236
Câu 2: Một hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi 
được lấy lần thứ 2 là bi xanh bằng
 2 7 11 7
 A. .B. .C. .D. .
 5 24 12 9
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối đồng chất. Xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện 
trên 2 con súc sắc bằng 1” là
 2 1 5 5
 A. .B. . C. .D. .
 9 9 18 6
Câu 4: Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Xác suất để 3 
sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt bằng
 135 3 244 15
 A. .B. .C. .D. .
 988 247 247 26
Câu 5: Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có 
các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng 
không phải là tam giác đều bằng
 21 3 144 7
 A. .B. .C. .D. .
 136 17 136 816
Câu 6: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để trong bốn người 
được chọn có ít nhất ba nữ bằng
 70 73 56 87
 A. .B. .C. .D. .
 143 143 143 143
Câu 7: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít 
nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?
 41 14 28 42
 A. .B. . C. . D. .
 55 55 55 55
Câu 8: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt; trên đường 
thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. 
Xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác bằng.
 5 60 2 9
 A. .B. .C. .D. .
 11 169 11 11
Câu 9: Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác 
suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng
 8 3
 12.8 C12 12.8 C12 12 12.8 12 12.8
 A. 3 .B. 3 .C. 3 .D. 3 .
 C12 C12 C12 C12
Câu 10: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số, đôi một khác nhau. Chọn 
ngẫu nhiên một số vừa lập, xác suất để chọn được một số có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề 
nhau bằng
 Trang 9 4 1 1 1
 A. .B. . C. . D. .
 35 35 840 210
Câu 11: Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất 
để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng
 3 3 1 1 1
 1 2C3 C4 C3C3C4
 A. .B. 3 .
 3 C10
 3 3 1 1 1
 2C3 C4 2C3C3C4
 C. 3 .D. 3 .
 C10 C10
Câu 12: Cho X = {0; 1; 2; 3; ; 15}. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp X. Xác suất để trong ba số 
được chọn không có hai số liên tiếp bằng
 13 7 20 13
 A. .B. .C. .D. .
 35 20 35 20
Câu 13: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Xác suất lấy 
được ít nhất 1 viên đỏ bằng
 37 1 5 20
 A. .B. . C. .D. .
 42 21 42 21
Câu 14: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt 
 n 3;n ¥ khác A, B, C, D. Lấy ngẫu nhiên 3 điểm từ n 6 điểm đã cho. Biết xác suất lấy được một 
 439
tam giác là . Tìm n.
 560
 A. n 10 .B. n 19 .C. n 11.D. n 12 .
1 – A 2 – A 3 – C 4 – C 5 – A 6 – A 7 – D 8 – D 9 – C 10 – A 
11 – B 12 – D 13 – D 14 - A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
 4
 Số cách chọn 4 học sinh lên bảng: n  C35 .
 4 4
 Số cách chọn 4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: C20 C15 .
 4 4 4
 Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là C35 C20 C15 .
 4 4 4
 C35 C20 C15 4615
 Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ: 4 .
 C35 5236
Câu 2.
 1 1
 Số phần tử của không gian mẫu n  C10 .C9 .
 Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy lần thứ hai là bi xanh”.
 1 1
 Trường hợp 1: Lần thứ nhất lấy viên đỏ, lần thứ hai lấy viên xanh: Có C6 .C4 cách chọn.
 Trang 10