Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 2 - Bài 2: Nhị thức Niu-tơn (Có đáp án)

 BÀI 2. NHỊ THỨC NIU-TƠN
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
 + Biết tính chất các số hạng.
 ❖ Kĩ năng
 + Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển.
 + Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn. 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Hệ quả:
Với mọi số thực a, b và mọi n ta có n 0 1 n
 ¥ Với a b 1, ta có 2 Cn Cn ... Cn .
 n n
 a b k n k k Với a 1;b 1, ta có:
 Cn a b
 k 0
 0 C 0 C1 ... 1 k C k ... 1 n C n
 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n
 Cn a Cn a b ... Cn a b ... Cn b
 Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường 
Quy ước: a0 b0 1. gặp
 n 0 n 1 n 1 n 1 n
 Tính chất x 1 Cn x Cn x ... Cn x Cn .
a) Số các số hạng của khai triển bằng n 1. n 0 1 n 1 n 1 n n
 1 x Cn Cn x ... Cn x Cn x .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, 
 x 1 n C 0 C1 x ... 1 n C n xn .
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a n n n
 n
và b trong mỗi số hạng bằng n. n n k 0 1 n 1 n
 2 1 1 Cn Cn Cn ... Cn Cn .
c) Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: k 0
 n
 T C k an k bk với k 0,1,2,...,n . n n k k 0 1 n n
 k 1 n 0 1 1 Cn 1 Cn Cn ... 1 Cn
 k 0
d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu 
 k n k
và cuối thì bằng nhau: Cn Cn
 n 1 n 1
e) C k đạt giá trị lớn nhất khi k hay k 
 n 2 2
 n
với n lẻ; k với n chẵn.
 2
 0 n k 1 k k
f) Cn Cn 1, Cn Cn Cn 1 .
 Tam giác Pascal
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:
 - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi 
 hai số 1.
 - Nếu biết hàng thứ n n 1 thì hàng thứ n 1 tiếp 
 theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp 
 của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị 
 trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối 
 Trang 2 hàng.
 - Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy 
 0 1 2 n 1 n
 gồm n 1 số Cn ,Cn ,Cn ,...,Cn ,Cn .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn
 n
Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển ax p bxq 
 Phương pháp giải
Xét khai triển: Ví dụ: Cho khai triển 2x 1 10 .
 n n
 p q n k k
 ax bx k p q 5
 Cn ax . bx a) Tìm hệ số của x trong khai triển trên.
 k 0
 Hướng dẫn giải
 n
 k n k k np pk qk
 C a .b x . 10 10
  n 10 k k k k k
 k 0 Ta có 2x 1 C10. 2x  2 C10.x .
 k 0 k 0
 Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn
 Số hạng chứa x5 ứng với k 5 .
 m np
 np pk qk m k . Hệ số cần tìm là C5 .25 8064 .
 q p 10
 m k n k k
 Vậy hệ số của số hạng chứa x là Cn a .b với 
 m np
giá trị k .
 q p
 Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai 
triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0.
 Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai 
giá trị k thỏa np pk qk 0 . triển trên.
 Hướng dẫn giải
 Số hạng không chứa x ứng với k 0 .
 0 0
 Hệ số cần tìm là C10.2 1.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý:
 21 n
 2 xm xm.n ;
 x 2 x 0 .
 x 
 xm.xn xm n ;
 Hướng dẫn giải
 xm
 Ta có số hạng tổng quát là xm n ;
 xn
 Trang 3 k m
 k n k k k 21 k 2 k k 21 3k n xm x n .
 Tk 1 Cn a b C21x . 2 2 C21x .
 x 
 Số hạng không chứa x ứng với 21 3k 0 k 7 .
 Chú ý: Phân biệt giữa hệ 
 Vậy hệ số cần tìm là 27 C 7 .
 21 số và số hạng.
 6 3 8 n
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x 1 x g k 
 Với P x  ax x ; số 
 Hướng dẫn giải k 0
 3 k k k k k 3 hạng chứa x tương ứng 
 Số hạng tổng quát của khai triển là x .C8 x C8 1 x .
 với g k ; giải 
 Số hạng chứa x6 khi k 3 6 k 3 .
 phương trình ta tìm được 
 Vậy hệ số cần tìm là C3 1 3 56 .
 8 k.
 10
 3 3 * Nếu k ¥ ;k n thì hệ 
Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x , x 0 .
 x 
 số phải tìm là ak . số 
 Hướng dẫn giải
 k
 hạng phải tìm là ak .x .
 10 1 1 10
 3 3 3
 Ta có 2 x 2.x 3.x 2 . * Nếu k ¥ hoặc k n 
 x 
 thì trong khai triển không 
 Số hạng tổng quát trong khai triển là
 có số hạng của x , hệ số 
 1 10 k 1 k 10 k k 20 5k
 k k
 k 3 2 10 k k 3 2 k 10 k k 6 phải tìm bằng 0.
 C10 2x . 3x 1 .2 .3 .x .x 1 C10.2 .3 .x .
 Số hạng không chứa x ứng với 20 5k 0 k 4
 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là
 4 4 6 4
 1 C10.2 .3 210.64.81 1088640 .
 n
Bài toán 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P x axt bx p cxq 
 Phương pháp giải
 n
 t p q n k t n k p q k
Ta có khai triển: P x ax bx cx Cn ax bx cx 
 k 0
 k k
 p q k i p k i q i i k i i p k i qi
trong đó bx cx Ck bx cx Ckb c x .
 i 0 i 0
 n k n k
 k n k t n k i k i i p k i qi k i n k k i i t n k p k i qi
Suy ra P x Cn a x Ckb c x Cn Ck a b c x .
 k 0 i 0 k 0 i 0
 k i n k k i i t n k p k i qi
Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là Cn Ck a b c x .
Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của xm .
 Ví dụ mẫu
 10
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển P x x2 x 1 .
 Trang 4 Hướng dẫn giải
 10
 Với 0 q p 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x x2 x 1 là
 p q 2 10 p p q q p q p q 20 2 p
 Tp C10.C p . x .x .1 C10.C p .x .
 Theo đề bài thì p q 20 2 p 2 p q 18.
 Do 0 q p 10 nên p;q 9;9 ; 10;8 .
 10
 2 2 9 9 10 8
 Vậy hệ số của x trong khai triển P x x x 1 là C10.C9 C10 .C10 55 .
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển
 60
 1 2x 2015x2016 2016x2017 2017x2018 .
 Hướng dẫn giải
 60
 Ta có 1 2x 2015x2016 2016x2017 2017x2018 
 60
 2016 2 
 1 2x x 2015 2016x 2017x 
 60
 C 0 1 2x 60 C1 1 2x 59 x2016 2015 2016x 2017x2 ... C 60 x2016 2015 2016x 2017x2 
 60 60 60 
 0 60 3 3 0 3 3 3
 Ta thấy chỉ có số hạng C60 1 2x chứa x nên hệ số của số hạng chứa x là C60.C60 2 8C60 .
Bài toán 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn
 Phương pháp giải
 Ví dụ: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức 
 P x x 1 10 .
 Hướng dẫn giải
 10
 Bước 1: Tính hệ số ak theo k và n. Giả sử sau 10 k k
 Ta có x 1 C10.x .
khi khai triển ta được đa thức: k 0
 2 n Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển 
 P x a0 a1x a2 x ... an x .
 10 k
 nhị thức x 1 là ak C10 .
 k 1
 Suy ra ak 1 C10 ,k 1;2;3;...;10.
 Bước 2: Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số 
 ak ak 1 ak ak 1
số a0 ,a1,...,an . Khi đó ta có a0 ,a1,...,a10 . Khi đó ta có 
 ak ak 1. ak ak 1
 Giải hệ phương trình với ẩn số k. k k 1
 C10 C10 9 11
 k k 5 .
 k 1 k 2 2
 C10 C10
 Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị 
 5
 thức là a5 C10 252.
 Trang 5 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức
 13 13 12
P x 2x 1 a0 x a1x ... a13
 Hướng dẫn giải
 Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức 2x 1 13 là
 k 13 k
 ak C13.2 với k 1;2;3;...;13
 Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 ,a1,...,a13 .
 11
 k 13 k k 1 12 k k 
 ak ak 1 C13.2 C13 .2 3
 Khi đó ta có k 4 .
 a a C k 1.214 k C k .213 k 14
 k k 1 13 13 k 
 3
 Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
 4 9
 a4 C13.2 366080.
 9
Ví dụ 2. Cho khai triển biểu thức 3 3 2 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.
 Hướng dẫn giải
 9 k k
 k 3
 Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk C9 3 2 .
 Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để Tk là một số nguyên thì
 k 
 ¥ 6 3
 k 3 T C3 3 3 2 4536
 0 k 9 3 9 
 0 9
 9 k 2 9
 k 9 T C 3 3 2 8.
 9 9 
 k3
 Dễ thấy 4536 8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T3 4536 .
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Hệ số của x5 trong khai triển P x x 1 6 x 1 7 ... x 1 12 là
 A. 1715.B. 1711.C. 1287. D. 1716.
 6
 2 3
Câu 2: Trong khai triển x , hệ số của x với x 0 là
 x 
 A. 60.B. 80.C. 160. D. 240.
Câu 3: Hệ số của x7 trong khai triển 3 2x 15 là
 7 8 7 7 7 8 7 8 7 7 7 8
 A. C15.3 .2 .B. C15.3 .2 .C. C15.3 .2 .D. C15.3 .2 .
Câu 4: Hệ số của x5 trong triển khai thành đa thức 2x 3 8 là
 Trang 6 5 5 3 3 5 3 3 3 5 5 2 6
 A. C8 .2 .3 .B. C8 .2 .3 .C. C8 .2 .3 .D. C8 .2 .3 .
Câu 5: Trong khai triển biểu thức x y 20 , hệ số của số hạng chứa x12 y8 là
 A. 77520.B. -125970.C. 125970. D. -77520.
Câu 6: Hệ số của x5 trong khai triển x 1 2x 5 x2 1 3x 10 là
 A. 61204.B. 3160.C. 3320. D. 61268.
 10
Câu 7: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P x 3x2 x 1 là
 A. 1695.B. 1485.C. 405. D. 360.
 124
Câu 8: Khai triển 5 4 7 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
 A. 30.B. 31.C. 32. D. 33.
1 – A 2 – A 3 – C 4 – B 5 – C 6 – C 7 – A 8 – C 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
 6 5 1
 Xét khai triển x 1 thấy ngay số hạng chứa x có hệ số là C6 .
 5 2 3 7
 Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của x là C7 ,C8 ,...,C12 .
 1 2 7
 Do đó hệ số cần tìm là C6 C7 ... C12 1715 .
Câu 2.
 k 3
 6 k
 k 6 k 2 k k 2
 Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1 C6 x C6 2 x .
 x 
 3
 Số hạng chứa x3 ứng với 6 k 3 k 2 .
 2
 3 2 2
 Vậy hệ số của x là C6 .2 60 .
Câu 3.
 Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn 3 2x 15 là
 k 15 k k k k 15 k k k
 Tk 1 C15.3 . 2x 1 C15 3 2 x
 Để số hạng chứa x7 thì k 7 .
 7 7 8 7
 Vậy hệ số của số hạng chứa x là C15 3 2 .
Câu 4.
 8
 8 k 8 k 8 k k
 Ta có khai triển 2x 3 C8 .2 .x . 3 
 k 0
 Số hạng chứa x5 ứng với 8 k 5 k 3.
 3 8 3 3 3 5 3
 Hệ số cần tìm là C8 .2 . 3 C8 .2 .3 .
 Trang 7 Câu 5.
 20
 20 k 20 k k k
 Ta có khai triển x y C20 x y . 1 .
 k 0
 12 8 20 k 12
 Ứng với số hạng chứa x y thì k 8.
 k 8
 12 8 8 8
 Vậy hệ số của số hạng chứa x y là 1 .C20 125970 .
Câu 6.
 5 5 4 4
 Hệ số của x trong khai triển x 1 2x là 2 .C5 .
 5 2 10 3 3
 Hệ số của x trong khai triển x 1 3x là 3 .C10 .
 5 5 2 10 4 4 3 3
 Vậy hệ số của x trong khai triển x 1 2x x 1 3x là 2 .C5 3 .C10 3320 .
Câu 7.
 10
 Với 0 q p 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x 3x2 x 1 là
 p q 2 10 p p q q p q 10 p p q 20 2 p
 Tp C10.C p . 3x .x .1 C10.C p .3 .x .
 Theo đề bài ta có p q 20 2 p 4 p q 16 .
 Do 0 q p 10 nên p;q 8;8 ; 9;7 ; 10;6  .
 10
 Vậy hệ số của x4 trong khai triển P x 3x2 x 1 là
 8 8 10 8 9 7 10 9 10 6 10 10
 C10.C8 .3 C10.C9 .3 C10 .C10.3 1695 .
Câu 8.
 124 124 k k
 124 k
 4 k 2 4
 Ta có 5 7 C124. 1 .5 .7
 k 0
 124 k
 ¢
 2
 Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với k 0;4;8;12;...;124 .
 k
 ¢
 4
 124 0
 Vậy số các giá trị k là 1 32 .
 4
Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước
 Phương pháp giải
 k n k k
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển Tk 1 Cn a b (số hạng thứ k 1).
- Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k.
- Giải phương trình để tìm kết quả.
 Ví dụ mẫu
 Trang 8 12
 2 1 
Ví dụ 1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức x ta có hệ số của một số hạng 
 x 
chứa xm bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
 Hướng dẫn giải
 Số hạng thứ k 1 trong khai triển là
 k
 k 2 12 k 1 k 24 2k k k 24 3k
 C12 x . C12.x .x C12.x .
 x 
 m k 12! k 4
 Hệ số của số hạng x là 495 nên C12 495 495 
 k! 12 k ! k 8.
 Khi đó m 24 3k sẽ có 2 giá trị là m 0 và m 12 .
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1 x n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 
7
 .
15
 Hướng dẫn giải
 n 0 1 k k k 1 k 1 n n
 Ta có 1 x Cn Cn x ... Cn x Cn x ... Cn x .
 k
 Cn 7 n! k 1 ! n k 1 ! 7 k 1 7
 k 1 . .
 Cn 15 k! n k ! n! 15 n k 15
 15 k 1 7 n k 7n 15 22k 7n 7 3k 2 k 1.
 Vì k;n ¥ nên ta có k 17 kmin 6 nmin 21.
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1 ax 1 x 4 có chứa số hạng 22x3 .
 A. a 5 .B. a 3.C. a 3.D. a 2 .
 n
 n 2 1 
Câu 2: Biết rằng hệ số của x trong khai triển x bằng 31. Tìm n.
 4 
 A. n 32 .B. n 30 .C. n 31.D. n 33.
 n 2 n *
Câu 3: Xét khai triển 1 3x a0 a1x a2 x ... an x với n ¥ ,n 3. Giả sử a1 27 , khi đó a2 
bằng
 A. 1053.B. 243.C. 324. D. 351.
 n
 2 1 2 2
Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển x biết An Cn 105 là
 x 
 A. -3003.B. -5005.C. 5005. D. 3003.
 2 2 1 9
Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An Cn Cn 4n 6 . Hệ số của số hạng chứa x của khai 
 n
 2 3 
triển biểu thức P x x , x 0 bằng
 x 
 Trang 9 A. 18564.B. 64152.C. 192456. D. 194265.
 n 1 3 5
Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn Cn . Số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-
 n
 nx2 1 
tơn P với x 0 là
 14 x 
 35 16 35 16
 A. .B. .C. x5 .D. x5 .
 16 35 16 35
 n
 1 2 1
Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của x x 4 với x 0 nếu biết rằng Cn Cn 44 là
 x 
 A. 165.B. 238.C. 485. D. 525.
1 – C 2 – A 3 – C 4 – D 5 – C 6 – C 7 – A 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
 Ta có 1 ax 1 x 4 1 x 4 ax. 1 x 4 .
 Xét khai triển x 1 4 x4 4x3 6x2 4x 1.
 Suy ra số hạng chứa x3 là 4x3 .
 Xét khai triển ax x 1 4 ax x4 4x3 6x2 4x 1 ax5 4ax4 6ax3 4ax2 ax .
 Suy ra số hạng chứa x3 là 6ax3 .
 Suy ra số hạng chứa x3 trong cả khai triển là 6a 4 x3 .
 Theo đề ra, ta có 6a 4 22 a 3 .
Câu 2.
 n n k
 1 k n k 1 
 Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có x Cn x .
 4 k 0 4 
 Hệ số của xn 2 nên ta có xn 2 xn k k 2 .
 2
 2 1 2
 Ta có Cn 31 Cn 492 n 32 .
 4 
 Vậy n 32 .
Câu 3.
 n
 n k k 2 n
 Ta có: 1 3x Cn 3x a0 a1x a2 x ... an x .
 k 1
 1 1 1
 Theo giả thiết: a1 27 Cn 3 27 Cn 9 n 9 .
 2 2
 Suy ra a2 C9 3 324 .
Câu 4.
 Trang 10