Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 2 - Bài 1: Quy tắc đếm. Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp (Có đáp án)

 CHƯƠNG 2
 TỔ HỢP XÁC SUẤT
 BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân. 
 + Hiểu và phân biệt được các khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
 ❖ Kĩ năng
 + Vận dụng được quy tắc cộng và nhân cho các bài toán đếm.
 + Giải được các dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp.
 + Giải được phương trình liên quan đến công thức tổ hợp, chỉnh hợp.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các quy tắc đếm Mở rộng: Một công việc được hoàn thành 
a) Quy tắc cộng bởi một trong k phương án 
 Định nghĩa A1, A2 , A3 ,..., Ak . Nếu phương án A1 có m1 
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một 
 cách thực hiện, phương án A2 có m2 cách 
trong hai phương án A hoặc B . Nếu phương án A có m 
 thực hiện,phương án Ak có mk cách thực 
cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và 
 hiện và các cách thực hiện của các phương 
không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì 
 án trên không trùng nhau thì công việc đó 
công việc đó có m n cách thực hiện.
 có m m m ... m cách thực hiện.
 Công thức 1 2 3 k
Nếu A, B là các tập hợp không giao nhau thì
 Cho các tập A , A ,..., A đôi một rời nhau.
 n A B n A n B . 1 2 n
 Khi đó:
 A  A ... A A A ... A .
b) Quy tắc nhân 1 2 n 1 2 n
 Định nghĩa
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và Mở rộng: Một công việc được hoàn thành 
B . Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi bởi k hành động A1, A2 , A3 ,..., Ak liên tiếp. 
cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó 
 Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, 
có m.n cách thực hiện.
 hành động A2 có m2 cách thực hiện,..., 
 Công thức
 hành động Ak có mk cách thực hiện thì 
Nếu A, B là các tập hữu hạn phần tử thì 
 công việc đó có m1.m2.m3...mk cách hoàn 
 n A B n A .n B .
 thành.
2. Hoán vị
 Cho các tập A1, A2 ,..., An hữu hạn phần tử.
 Định nghĩa
 Khi đó:
Một tập hợp gồm n phần tử n 1 .Mỗi cách sắp xếp n 
 A1 A2 ... An A1 . A2 ... An .
phần tử theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của n 
phần tử.
 Quy ước: 0! 1.
Số hoán vị của n phần tử là: Pn n! 1.2.3...n.
 n! n 1 !n.
 Hoán vị lặp
 n!
Cho k phần tử khác nhau a1,a2 ,...,ak . Mỗi cách sắp xếp p 1 . p 2 ...n
 p!
n phần tử trong đó gồm n phần tử a ;n phần tử a ;...;n 
 1 1 2 2 k ( với n, p ¥ ,n p ).
phần tử a n ,n ,...,n n theo một thứ tự được gọi là 
 k 1 2 k n!
 n p 1 . n p 2 ...n
 n p !
một hoán vị lặp cấp n kiểu n1,n2 ,...,nk của k phần tử.
 Trang 2 (với n, p ,n p ).
Số hoán vị lặp cấp n kiểu n1,n2 ,...,nk của k phần tử là: ¥
 n!
 Pn n1,n2 ,...,nk .
 n1 !n2 !...nk !
 Hoán vị vòng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử 
của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng 
quanh của n phần tử.
Số hoán vị vòng quanh của n phần tử là:
 Qn n 1 !.
3. Chỉnh hợp
 Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần 
tử của A 1 k n theo một thứ tự được gọi là một chỉnh 
hợp chập k của n phần tử của tập A .
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Công thức này đúng cho trường hợp 
 k n! k 0 hoặc k n.
 An n n 1 n 2 ... n k 1 .
 n k ! n
 Khi k n thì An Pn n!.
 Chỉnh hợp lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của 
A , trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, 
được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một 
chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
 k k
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An n .
4. Tổ hợp
 Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm 0
 Quy ước: Cn 1
k 1 k n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
của n phần tử. Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công 
Số tổ hợp chập k của n phần tử: thức:
 k Ak k!C k
 k An n! n n
 Cn .
 k! k! n k ! + Chỉnh hợp: có thứ tự.
 Tính chất + Tổ hợp: không có thứ tự.
 0 n k n k
 Cn Cn 1; Cn Cn ; + Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào 
 vị trí các phần tử ta dùng chỉnh hợp. Ngược 
 Trang 3 k k 1 k
 C C C ; k n k 1 k 1 lại, là tổ hợp.
 n n 1 n 1 C C ;
 n k n
 k k 1 Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử 
 kCn nCn 1 ;
 1 k 1 k 1 k n
 k k 1 Cn Cn 1 ; 
 k 1 kCn n 1 nCn 1 . k 1 n 1
 k
 + Không thứ tự, không hoàn lại: Cn .
 k
 Tổ hợp lặp + Có thứ tự, không hoàn lại: An .
Cho tập A a ;a ;...;a và số tự nhiên k bất kì. Một tổ k
 1 2 n + Có thứ tự, có hoàn lại: An .
hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần 
tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A .
 k k n 1
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cn Cn k 1 Cn k 1
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 QUY TẮC CỘNG
 Công việc A
 Phương án A1 Phương án A2  Phương án Ak
 m cách 
 m1 cách 2  mk cách
 m1 m2 ... mk cách
 Trang 4 QUY TẮC NHÂN
 Công việc A
 Hành động A1 Hành động A2  Hành động Ak
 m cách 
 m1 cách 2  mk cách
 m1 m2 ...mk cách
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Quy tắc đếm
 Phương pháp giải
Để đếm số cách lựa chọn thực hiện một công việc Ví dụ 1. Một trường THPT cử một học sinh đi dự 
A bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước: trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một 
 học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Biết rằng 
 lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 
 học sinh tiên tiến. Hỏi nhà trường có bao nhiêu 
 cách chọn?
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án Hướng dẫn giải
riêng biệt để thực hiện công việc A (có nghĩa công Nhà trường có thể chọn học sinh tiên tiến của lớp 
việc A có thể hoàn thành bằng một trong các 11A hoặc lớp 12B.
phương án A1; A2 ;...; Ak
 Chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách 
Bước 2: Đếm số cách chọn x1; x2 ;...; xk trong các 
 chọn. Chọn một học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 
phương án A1; A2 ;...; Ak
 cách chọn.
Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính được số cách 
 Theo quy tắc cộng, số cách cử một học sinh đi dự 
lựa chọn để thực hiện công việc A là
 trại hè là: 31 22 53 (cách).
x x x ...x .
 1 2 k Ví dụ 2. Một bó hoa có 5 bông hoa hồng trắng, 6 
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bông hoa hồng đỏ và 7 bông hoa hồng vàng. Hỏi có 
bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước: mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?
 Trang 5 Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên Hướng dẫn giải
tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc A (giả Để lấy được ba bông hoa có đủ ba màu thì ta sẽ 
sử A chỉ hoàn thành sau khi các công đoạn lấy mỗi loại một bông.
A1; A2 ;...; Ak hoàn thành). Số cách lấy bông hoa hồng trắng là 5 cách.
 Số cách lấy bông hoa hồng đỏ là 6 cách.
Bước 2: Đếm số cách chọn x x1 x2 ...xk trong 
 Số cách lấy bông hoa hồng vàng là 7 cách.
các công đoạn A1; A2 ;...; Ak
 Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bông có đủ 
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa 
 cả ba màu là: 5.6.7 210.
chọn để thực hiện công việc A là x x1 x2 ...xk .
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau.
a) Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn là
 A. 13.B. 72.
 C. 12.D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 5 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là: 4 6 3 13 (cách).
Chọn A.
b) Số cách chọn một bộ gồm một quần, một áo và một cà vạt là
 A. 13.B. 72.
 C. 12.D. 30.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn một cái quần là 4 cách.
Số cách chọn một cái áo là 6 cách.
Số cách chọn một cái cà vạt là 3 cách.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4.6.3 72 (cách).
Chọn B.
Ví dụ 2. Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách 
Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Hướng dẫn giải 
Theo quy tắc nhân, ta có:
Có 10.8 80 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau.
10.6 60 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
 Trang 6 8.6 48 cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau. 
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là
80 60 48 188 (cách).
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học 
sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số 
cách chọn khác nhau là
 A. 480. B. 24. C. 48. D. 60.
Câu 2: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con 
đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến 
nhà Cường?
 A. 6.B. 4.C. 10. D. 24.
Câu 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu 
cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
 A. 9.B. 10.C. 18. D. 24.
Câu 4: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một một bông)?
 A. 60.B. 10. C. 15. D. 720.
Câu 5: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu 
kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?
 A. 2730.B. 2703.C. 2073. D. 2370.
Dạng 2: Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp
 Phương pháp giải
Hoán vị: Một tập hợp gồm n phần tử n 1 . Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự được gọi là 
một hoán vị của n phần tử.
Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập A 1 k n theo một 
thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A .
Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k(1 k n) phần tử của tập A được gọi là một tổ 
hợp chập k của n phần tử.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Từ các số tự nhiên 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách sắp xếp thứ tự bốn chữ số 1,2,3,4 ta được một số tự nhiên theo yêu cầu đề bài.
Do đó số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,3,4 là: 4! 24.
 Trang 7 Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh trong đó có An và Bình vào một hàng ghế dài gồm 7 ghế sao 
cho An và Bình ngồi ở hai ghế đầu?
Hướng dẫn giải 
An và Bình chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có 2! cách xếp. 
Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có 5! cách xếp.
Vậy ta có 2!.5! 240 cách xếp.
Ví dụ 3. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai 
thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn giải 
Có 8! cách xếp 8 người.
Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Khi đó có 2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là 8! 2!.7! 30240 cách xếp.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,...,9?
 A. 15120. B. 95. C. 59. D. 126.
Hướng dẫn giải
Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,...,9 là số cách sắp xếp thứ tự 5 chữ 
số khác nhau từ 9 chữ số đã cho.
 5
Do đó số các số thỏa mãn là: A9 15120.
Chọn A.
Ví dụ 5. Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh ngồi xung quanh một bàn tròn có Hoán vị vòng quanh: Cho 
8 ghế? tập A gồm n phần tử. 
Hướng dẫn giải Một cách sắp xếp n phần 
Xếp 8 học sinh theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn, sau đó xếp tử của tập A thành một 
vị trí cho 7 bạn còn lại có 7! cách. dãy kín được gọi là một 
Vậy có 7! 5040 cách. hoán vị vòng quanh của n 
 phần tử. Số các hoán vị 
 vòng quanh của n phần 
 tử là
 Qn n 1 !.
Ví dụ 6. Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng. 
Các viên bi khác nhau có cùng kích cỡ. Tính số cách lấy ra 5 viên bi và sắp 
xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ.
Hướng dẫn giải
 Trang 8 5 Bước 1: Chọn bi
Số cách chọn ra 5 viên bi bất kì là C45 cách.
 3
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó không có viên bi đỏ nào là C35 cách.
Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là 
 5 5
C45 C35 cách.
Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là 5!. Bước 2: Sắp xếp các viên 
 5 5
Theo quy tắc nhân ta có 5!. C45 C35 107655240 (cách). bi.
Ví dụ 7. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách 
Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng 
cho 5 em học sinh A, B,C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao 
nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho số sách còn lại có đủ cả ba 
loại?
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: Tặng hết 4 cuốn sách Toán. Tìm bài toán đối đó là tìm 
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách. số cách sao cho sau khi 
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách. tặng sách xong có 1 môn 
Vậy có 6 cách chọn sách. hết sách.
 5
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5 120 cách.
Vậy có 6.120 720 cách.
Trường hợp 2: Tặng hết 3 cuốn sách Lí.
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
 2
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là C7 cách.
Vậy có 21 cách chọn sách.
 5
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5 120 cách.
Vậy có 21.120 2520 cách.
Trường hợp 3: Tặng hết 3 cuốn sách Hóa: Tương tự trường hợp 2 thì có 
2520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là 
 5 5
C10.A5 30240 cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít 
nhất một cuốn là 30240 720 2520 2520 24480 (cách).
Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào 7 toa tàu sao cho còn trống 
đúng 3 toa?
Hướng dẫn giải
 Trang 9 Ta thực hiện các bước sau:
 4
Chọn 4 toa trong 7 toa để sắp xếp người, ta có C7 cách chọn.
 2 1
Chọn 1 toa và chọn 2 người cùng lên một toa đó có C5 .C4 cách chọn.
 Xếp 3 người vào 3 toa còn lại đã chọn, có 3! cách chọn.
 4 2 1
Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: C7 .C5 .C4.3! 8400 (cách).
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tập A có n phần tử n ¥ * , khẳng định nào sau đây sai?
 A. Số hoán vị của n 1 phần tử là Pn 1.2.3... n 2 n 1 n.
 n!
 B. Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Ak với k n,k ¥ *.
 n n k !
 n!
 C. Số tổ hợp chập k của n phần tử là C k với k n,k ¥ .
 n k! n k !
 n
 D. Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Vì vậy Pn An .
Câu 2: Một tổ gồm có 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho 
trong đó luôn có bạn nam và nữ?
 A. 120 (cách).B. 126 (cách).C. 6 (cách). D. 60 (cách).
Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5 
người sao cho có ít nhất 2 nam và có ít nhất 1 nữ?
 A. 12900 (cách).B. 450 (cách).C. 633600 (cách). D. 15494 (cách).
Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam, 2 bạn nữ và 1 cô giáo ngồi vào một bàn tròn có 6 chỗ sao cho 
cô giáo ngồi giữa 2 bạn nữ?
 A. 2 (cách).B. 72 (cách).C. 12 (cách). D. 36 (cách).
Câu 5: Một trường cấp 3 có 8 giáo viên toán gồm 3 nữ và 5 nam, giáo viên vật lý thì có 4 giáo viên nam. 
Có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra có 3 người trong đó có đủ hai môn toán lý vả có đủ giáo 
viên nam và giáo viên nữ?
 A. 90 (cách).B. 60 (cách).C. 12960 (cách). D. 120 (cách).
Câu 6: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 tới 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 11 tới 
30. Lấy hai quả bất kì trong hộp. Có bao nhiêu cách lấy được hai quả cầu có số chẵn?
 A. 210 (cách).B. 55 (cách).C. 50 (cách). D. 105 (cách).
Câu 7: Cho hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai có 
chứa 7 quả cầu xanh, 6 quả cầu vàng. Lấy mỗi hộp 2 quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy được tổng cộng 4 
quả mà có đủ 3 màu?
 A. 981 (cách).B. 2184 (cách).C. 1944 (cách). D. 630 (cách).
Câu 8: Có bao nhiêu cách chia 9 món quà khác nhau cho 3 người sao cho một người có 2 món quà, một 
người 3 món quà, một người có 4 món quà?
 A. 381024 (cách).B. 30240 (cách).
 C. 5040 (cách).D. 7560 (cách).
 Trang 10