Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 1.
 BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.
 ❖ Kĩ năng
 + Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
 + Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp. 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 ĐỀ Sử dụng các công thức 
 biến đổi lượng giác
 BÀI
 4 phương trình lượng giác cơ bản 
 4 dạng phương trình lượng giác 
 Đưa về phương trình tích hoặc thường gặp
 đánh giá bất đẳng thức, hàm số
 asin x bcos x c 
 4 phương trình lượng giác cơ bản
 asin2 x bsin xcos x ccos2 x d 
 a sin x cos x bsin xcos x c 0 
 a tan2 x cot2 x b tan x cot x c 0 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình thuần nhất
 Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình 3 sin 3x cos3x 2.
 asin x bcos x c a,b ¡ \ 0 . Hướng dẫn giải
 Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện 
theo các bước sau
 Bước 1. Kiểm tra
 - Nếu a2 b2 c2 phương trình vô nghiệm.
 Trang 1 - Nếu a2 b2 c2 khi đó phương trình có 
nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.
 Bước 2. Chia hai vế phương trình cho Ta có 3 sin 3x cos3x 2.
 a2 b2 0 ta được 3 1 
 sin 3x cos3x 1 sin 3x 1
 a b c 2 2 6 
 sin x cos x . ** 
 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 k2 
 3x k2 k ¢ x k ¢ .
 a b 6 2 9 3
 Đặt cos ; sin , 
 a2 b2 a2 b2
 phương trình (**) trở thành Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
 2 k2 
 c x k ¢ .
 sin x.cos cos x.sin 9 3
 a2 b2
 c
 sin x .
 a2 b2
 c
 Phương trình sin x là phương 
 a2 b2
trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải 
được.
Một số dạng mở rộng:
 asin u bcosu a2 b2 sin v
 a b
 sin u cosu sin v
 a2 b2 a2 b2
 sin u sin v.
 asin u bcosu a2 b2 cosv
 a b
 sin u cosu cosv
 a2 b2 a2 b2
 cos u cosv.
 asin u bcosu a sin v b cosv với
a2 b2 a 2 b 2
 sin u sin v  .
Dạng đặc biệt:
1)sin x cos x 0 x k k ¢ .
 4
2)sin x cos x 0 x k k ¢ .
 4
 Trang 2 Ví dụ mẫu
 Ví dụ 1. Giải phương trình sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x. 
 Hướng dẫn giải
 Ta có sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x
 2sin x cos x 2 2cos2 x 1 1 sin x 4cos x 0
 sin x 2cos x 1 4cos2 x 4cos x 3 0
 sin x 2cos x 1 2cos x 1 2cos x 3 0
 2cos x 1 2sin x 2cos x 3 0
 1 
 cos x x k2 k ¢ 
 2 3
 2sin x 2cos x 3
 Xét phương trình 2sin x 2cos x 3; có 22 22 8 3 2 nên vô nghiệm.
 Vậy phương trình có nghiệm x k2 k ¢ .
 3
 Ví dụ 2. Giải phương trình 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x.
 Hướng dẫn giải 
 Ta có 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x. 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 1
 2 
 x k
 18 9
 sin 9x 3 cos9x 1 sin 9x sin k ¢ .
 3 6 7 2 
 x k
 54 9
 2 7 2 
 Vậy phương trình có nghiệm x k , x k k ¢ .
 18 9 54 9
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phương trình 3 sin x cos x 1 có nghiệm là
 2 
 x k2 x k2 
 3
 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ .
 x k2 
 6 x k2 
 6
 x k2 
 x k2 
 C. 3 ,k ¢ . D. ,k ¢ .
 x k2 
 x k2 6
Câu 2: Phương trình sin x 3 cos x 0 có nghiệm âm lớn nhất bằng
 5 5 
 A. . B. . C. . D. .
 3 6 6 3
 Trang 3 Câu 3: Nghiệm của phương trình sin x cos x 1 là
 x k2 
 A. x k2 k ¢ . B. k ¢ .
 x k2 
 2
 x k2 
 4
 C. x k2 k ¢ . D. k ¢ .
 4 
 x k2 
 4
Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là
 A. 0.B. 1.C. 2. D. 3.
Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x mcos x 5 vô nghiệm là 
 m 4
 A. . B. m 4. C. m 4. D. 4 m 4.
 m 4
Câu 6: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 có nghiệm là
 m 4
 A. m 4. B. 4 m 4. C. m 34. D. .
 m 4
Câu 7: Phương trình 3 sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây?
 1 
 A. sin 3x . B. sin 3x .
 6 2 6 6
 1 1
 C. sin 3x . D. sin 3x .
 6 2 6 2
Câu 8: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
 1 1
 A. 3 sin x 2. B. cos 4x .
 4 2
 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0.
Câu 9: Cho phương trình 3 cos x sin x 2 trên đoạn 0; . Chọn câu trả lời đúng.
 3 5 
 A. Phương trình có nghiệm x ; x . B. Phương trình có nghiệm x .
 4 4 12
 3 4 2 
 C. Phương trình có nghiệm x ; x . D. Phương trình có nghiệm x .
 7 7 5
Câu 10: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x có nghiệm là
 x k x k 
 3 5
 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ .
 x k x k
 6 2 7 2
 Trang 4 
 x k x k 
 4 8
 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ .
 x k x k
 12 7 9 3
Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
 A. 3 sin 2x cos 2x 2. B. 3sin x 4cos x 5.
 C. sin x cos . D. 3 sin x cos x 3.
 4
 5 
Câu 12: Số nghiệm của phương trình sin 2x 2cos x 0 thuộc đoạn ; là
 2 2 
 A. 3.B. 4.C. 5. D. 2.
Câu 13: Phương trình cos7x 3 sin 7x 2 có các họ nghiệm là
 5 2 5 2 
 x k x k
 84 7 84 7
 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ .
 11 2 11 2 
 x k x k
 84 7 84 7
 2 5 2 
 x k x k
 84 7 84 7
 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ .
 2 11 2 
 x k x k
 84 7 84 7
Câu 14: Phương trình sin x 3 cos x 0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
 2 5 
 A. . B. . C. . D. 0.
 3 6
 1 
Câu 15: Phương trình tan x sin 2x cos 2x 2 2cos x 0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
 cos x 
 A. . B. . C. . D. 0.
 4 2
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x cos x 1 với k ¢ là
 x k2 x k2 
 4
 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. .
 x k2 4 
 2 x k2 
 4
Câu 17: Để phương trình 2sin2 x sin x cos x cos2 x m có nghiệm thì giá trị của m là
 1 10 1 10
 A. m . B. m .
 2 2
 1 10 1 10 1 10
 C. m . D. m .
 2 2 2
Câu 18: Phương trình cos 2x sin x 1 0 có số họ nghiệm là
 A. 1.B. 3.C. 2. D. 0.
 Trang 5 1 
Câu 19: Phương trình tan x sin 2x cos 2x 2 2cos x 0 có các họ nghiệm là
 cos x 
 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ .
 4 2 4
 C. x k ,k ¢ . D. x k ,k ¢ .
 4 2 6 2
Câu 20: Cho phương trình tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x . Với k ¢ thì nghiệm của phương trình là
 x k2 x k x k2 x k2 
 3 3 3 12
 A. . B. . C. . D. .
 4 2 4 2 4 2 4 2 
 x k x k x k x k
 9 3 9 3 9 3 9 3
Dạng 2:Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác
 Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình 2sin2 x sin x 3 0. 
 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng Hướng dẫn giải
giác có dạng tổng quát at 2 bt c 0. 
 Trong đó: Đặt t sin x, điều kiện t 1.
 t là một trong các hàm số sin u,cosu, tan u,cot u 
 Phương trình đã cho trở thành
và u u x . t 1
 2
 2t t 3 0 3 .
 a;b;c ¡ ,a 0. t 
 2
 Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều 
 Kết hợp với điều kiện t 1 ta được t 1.
kiện của ẩn phụ. Nếu đặt
 +) t sin u,t cosu thì điều kiện t 1. Với t 1 thì sin x 1 x k2 , k ¢ .
 2
 2 2
 +) t sin u,t cos u thì điều kiện 0 t 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
 +) t sin u ,t cosu thì điều kiện 0 t 1. 
 x k2 , k ¢ .
 2
 Khi tìm được t1;t2 thỏa mãn thì phải giải tiếp 
sin t1;sin u t2 ;...
 Ví dụ mẫu
 Ví dụ. Giải phương trình 3sin2 2x 7cos 2x 3 0. 
 Hướng dẫn giải
 Ta có 3sin2 2x 7cos 2x 3 0 3 1 cos2 2x 7cos 2x 3 0
 2 cos 2x 0
 3cos 2x 7cos 2x 0 cos 2x 3cos 2x 7 0 .
 3cos 2x 7 0
 Trường hợp 1: cos 2x 0 2x k x k , k ¢ .
 2 4 2
 Trang 6 7
 Trường hợp 2: 3cos 2x 7 0 cos 2x 1(loại).
 3
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k , k ¢ .
 4 2
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2sin2 x sin x 3 0 có nghiệm là
 A. k k ¢ . B. k k ¢ .
 2
 C. k2 k ¢ . D. k2 k ¢ .
 2 2
Câu 2: Với k ¢ , phương trình cos2 x 2cos x 3 0 có nghiệm là
 A. x k2 . B. x 0. C. x k2 . D. Vô nghiệm.
 2
Câu 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2 x 5sin x 3 0 là
 3 5 
 A. x . B. x . C. x . D. x .
 6 2 2 6
Câu 4: Xét phương trình 3cos2 x 2cos x 4 0 trên đoạn 0;3 . Chọn câu trả lời đúng.
 A. Phương trình có 3 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm.
 C. Phương trình có 2 nghiệm. D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin2 x 3sin x 1 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là 
 2
 5 
 A. x . B. x . C. x . D. x .
 3 2 6 6
Câu 6: Nghiệm của phương trình tan2 x 2 tan x 1 0 là
 A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k ,k ¢ .
 4 2 4 2
 3
Câu 7: Với k ¢ , phương trình cos2 2x cos 2x 0 có nghiệm là
 4
 2 
 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 .
 6 3
Câu 8: Với k ¢ , phương trình sin2 x 2sin x 0 có nghiệm là
 A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 .
Câu 9: Nghiệm của phương trình cot2 3x cot 3x 2 0 là 
 k k
 4 3 4 3
 A. x ,k ¢ . B. x ,k ¢ .
 1 1 
 arccot 2 k arccot 2 k
 3 3 3 3
 Trang 7 
 k k 
 4 4
 C. x ,k ¢ . D. x ,k ¢ .
 1 1
 arccot 2 k arccot 2 k 
 3 3 3
Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 là
 5 7 
 A. x . B. x . C. x . D. x .
 6 6 3 4
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
 1 1
 A. 3 sin x 2. B. cos 4x .
 4 2
 C. 2sin x 3cos x 5. D. cot2 x cot x 5 0.
Câu 12: Xét phương trình 13sin2 x 78sin x 15 0 trên đoạn 0;2 . Lựa chọn phương án đúng.
 A. Phương trình có 2 nghiệm. B. Phương trình có 4 nghiệm. 
 C. Phương trình vô nghiệm. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 13: Phương trình 3cos x 2 sin x 2 có nghiệm là
 A. x k k ¢ . B. x k k ¢ .
 8 2
 C. x k k ¢ . D. x k k ¢ .
 4 6
 4 3
Câu 14: Xét phương trình tan2 x tan x 1 0 trên đoạn 0;3 . Chọn câu trả lời đúng?
 3
 A. Phương trình có 5 nghiệm.B. Phương trình có 4 nghiệm.
 C. Phương trình có 6 nghiệm.D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 15: Xét phương trình sin2 x 5sin x 6 0 trên đoạn 0;2 . Chọn câu trả lời đúng?
 A. Phương trình có 2 nghiệm.B. Phương trình có 4 nghiệm.
 C. Cả A, B, D đều sai.D. Phương trình có 3 nghiệm.
Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau tan x cot x 2 tan x cot x 2 
 1
Giá trị của biểu thức tan x là
 tan x
 A. 0.B. 2.C. 3. D. 2. 
 x
Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin x sin2 0,5. Giá trị của biểu thức y tan x là
 2
 A. 1.B. 0,5.C. 3. D. 0.
 1 
Câu 18: Cho x arctan k là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình 
 3 
nào?
 A. 3sin2 x sin 2x cos2 x 0. B. 3sin2 2x 4cos2 2x 2.
 Trang 8 1 1 2
 C. . D. cos x 2cos2 x 0.
 sin 2x cos 2x sin 4x
 sin3 x cos3 x
Câu 19: Cho phương trình cos 2x. Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x = t thì 
 2cos x sin x
phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?
 A. 2t 2 t 1 0. B. t 2 2t 1 0.
 1
 C. t 2 t 0. D. t 2 t 1 0.
 2
Câu 20: Cho phương trình 2sin x 2cos x 1 3. Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế 
thì ta được phương trình nào sau đây?
 A.sin 2x sin . B. sin 2x sin .
 4 6
 C.sin 2x sin . D. cos 2x cos .
 3 3
Dạng 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp
 Phương pháp giải
 Phương trình lượng giác đẳng cấp có dạng tổng Ví dụ: Giải phương trình sau
 quát 2 3 cos2 x 6sin x.cos x 3 3. 1 
 2 2
 a.sin x b.sin x cos x c.cos x d. Hướng dẫn giải
 Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp 
 theo hai cách sau
 Cách 1:
 Bước 1. Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm của 
 Với cos x 0 x k ,k ¢ .
 phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm 2
 này. Thay vào phương trình (1) ta có 0 3 3
 Bước 2. Nếu cos x 0 thì chia cả hai vế của phương trình vô nghiệm.
 2
 phương trình cho cos x đưa về phương trình bậc Với cos x 0 . Chia cả hai vế của phương trình 
 hai theo tan x . (1) cho cos2 x ta được
 2 2
 sin x sin x cos x cos x d 2
 1 a b c 2 3 6 tan x 3 3 1 tan x 
 cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x
 2
 a tan2 x b tan x c d 1 tan2 x . 3 3 tan x 6 tan x 3 3 0 2 .Đặt 
 Bước 3. Đặt t tan x đưa về phương trình bậc tan x t phương trình (2) trở thành
 hai để giải. t 1
 2 
 3 3 t 6t 3 3 0 3 3
 t 
 3 3
 Trang 9 
 tan x 1 x k 
 4
 3 3 ,k ¢ .
 tan x 
 x k 
 3 3 12
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm
 x k 
 4
 ,k ¢ .
 x k 
 12
 Ta có 2 3 cos2 x 6sin x.cos x 3 3
 3 1 cos 2x 3sin 2x 3 3
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc.
 1 cos 2x 1 cos 2x cos 2x 3 sin 2x 3
sin2 x ;cos2 x ;
 2 2 1 3 3
 cos 2x sin 2x 
 sin 2x 2 2 2
sin x cos x . 
 2
 3
 cos 2x 
Đưa phương trình đã cho về phương trình 3 2
 bsin 2x c a cos 2x d c a. x k 
 4
 ,k ¢ .
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin 
 x k 
ta đã biết cách giải ở dạng 1. 12
 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là
 x k 
 4
 ,k ¢
 x k 
 12
Tổng quát: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 
n n 2 : A sinn x,cosn x,sink x cosh x 0 trong 
đó k h n;k,h,n ¥ , ta cũng giải tương tự 
theo hai cách.
Cách 1: Nếu cos x 0 thì chia cả hai vế cho 
cosn x .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho phương trình 2sin2 x sin x cos x cos2 x m. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
 Trang 10