Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Có đáp án)

 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
 ❖ Kiến thức
 + Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
 + Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a 1. Đặt a sin hoặc a sin  , phương trình tương đương với
 x k2 
 sin x sin k ¢ .
 x k2 
 x  k.360
 sin x sin  k ¢ .
 x 180  k.360
 x arcsin a k2 
 sin x a k ¢ .
 x arcsin a k2 
 Tổng quát: 
 f x g x k2 
 sin f x sin g x k ¢ .
 f x g x k2 
 Các trường hợp đặc biệt
 • sin x 1 x k2 k ¢ .
 2
 • sin x 1 x k2 k ¢ .
 2
 • sin x 0 x k k ¢ .
2. Phương trình cos x a
 Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a 1. Đặt a cos hoặc a cos , phương trình tương đương với
 cos x cos x k2 k ¢ .
 cos x cos  x  k.360 k ¢ .
 cos x a x arccos a k2 k ¢ .
 Tổng quát:
 cos f x cos g x f x g x k2 k ¢ .
 Các trường hợp đặc biệt
 Trang 1 • cos x 1 x k2 k ¢ .
 • cos x 1 x k2 k ¢ .
 • cos x 0 x k k ¢ .
 2
3. Phương trình tan x a
Điều kiện cos x 0 .
 • tan x tan x k k ¢ .
 • tan x tan  x  k.180 k ¢ .
 • tan x a x arctan a k k ¢ .
 Tổng quát:
 tan f x tan g x f x g x k k ¢ .
5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x 0 .
 • cot x cot x k k ¢ .
 • cot x cot  x  k.180 k ¢ .
 • cot x a x arc cot a k k ¢ .
 Tổng quát:
 cot f x cot g x f x g x k k ¢ .
 Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Điều kiện: x k , k ¢ .
 2
 Đặt a tan .
 đặc biệt x k .
 không đặc biệt
 x arctan a k .
 x = a tan x =
 Trường hợp 1: a 1. Trường hợp 1: a 1.
 Phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm.
 Trường hợp 2: a 1. Trường hợp 2: a 1.
 Phương 
 Đặt a sin . sin x = a cos x a Đặt a cos .
 trình lượng 
 đặc biệt đặc biệt 
 giác cơ bản
 x k2 x k2 
 x k2 x k2 
 k ¢ k ¢ 
 x = a cot x =
 không đặc biệt không đặc biệt
 x arcsin a k2 x arccos a k2 
 x arcsin a k2 x arccos a k2 
 k ¢ k ¢ .
 Điều kiện x k , k ¢ .
 Đặt a cot .
 đặc biệt x k .
 không đặc biệt
 x arc cot a k .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a
 Ví dụ mẫu
 Trang 3 
Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin 3x 3 . 1 
 4 
Hướng dẫn giải
 3 
 1 sin 3x sin 3x sin
 4 2 4 3
 2 
 3x k2 3x k2 x k
 4 3 4 3 36 3
 k ¢ .
 5 2 
 3x k2 3x k2 x k
 4 3 3 4 36 3
 2 
 x k
 36 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là k ¢ .
 5 2 
 x k
 36 3
 2 7 
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3x sin x 0 . 2 
 3 5 
Hướng dẫn giải
 2 2 2 2 
 2 sin 3x sin x 0 sin 3x sin x 
 3 5 3 5 
 2 2 8 
 3x x k2 x k 
 3 5 15
 k ¢ .
 2 2 11 k 
 3x x k2 x 
 3 5 60 2
 8 
 x k 
 15
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là k ¢ .
 11 k 
 x 
 60 2
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sin 3x 9x2 16x 80 0 .
 4 
Hướng dẫn giải
Ta có sin 3x 9x2 16x 80 0 3x 9x2 16x 80 k 
 4 4 
 3x 9x2 16x 80 4k 9x2 16x 80 3x 4k
 3x 4k
 3x 4k 
 2 .
 2 2 2 2k 10
 9x 16x 80 9x 24kx 16k x 
 3k 2
 2
 2k 2 10 18k 2 90 2 9k 4 98 98
Xét x 9x 2 3k 2 .
 3k 2 3k 2 3k 2 3k 2
 Trang 4 Vì x ¥ * nên 9x ¥ * 3k 2 Ư 98 1; 2; 7; 14; 49; 98 .
 *
 x ¥
Lại có 3k 2 0 3k 2 1;2;7;14;49;98 k 1;3;17 .
 2  
 2k 10 0 k ¢ 
 Với k 1 thì x 12 (thỏa mãn 3x 4k ).
 Với k 3 thì x 4 (thỏa mãn 3x 4k ).
 Với k 17 thì x 12 (không thỏa mãn 3x 4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x 4;12 .
 Bài tập tự luyện dạng 1
 m 2
Câu 1: Cho phương trình sin x , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có 
 m 1
nghiệm?
 1 1
 A. m .B. m .
 4 2
 C. m ¡ . D. Không tồn tại giá trị của m
 1 
Câu 2: Phương trình sin x có nghiệm thỏa mãn x là 
 2 2 2
 5 
 A. x k2 ,k ¢ .B. x .
 6 6
 C. x k2 ,k ¢ .D. x .
 3 3
 sin 2x
Câu 3: Số nghiệm của phương trình 0 trên đoạn 0;3  là
 1 cos x
 A. 8.B. 7.C. 4. D. 5.
 x
Câu 4: Cho phương trình sin m2 9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vô 
 3
nghiệm?
 A. 3 m 3 .B. m 3 .
 C. m ¡ . D. Không tồn tại giá trị của m .
 ĐÁP ÁN
1-B 2-B 3-D 4-C
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
 Câu 1. 
 m 2
 Phương trình sin x có nghĩa x ¡ D ¡ , m 1.
 m 1
 Trang 5 m 2
 1 1 
 m 1
 Ta có 1 sin x 1 .
 m 2
 1 2
 m 1 
 m 1
 m 2 2m 1
 Giải 1 . Ta có 1 0 1 .
 m 1 m 1 m 
 2
 m 2 3
 Giải 2 . Ta có 1 0 m 1 0 m 1.
 m 1 m 1
 1
 Kết hợp nghiệm ta có m .
 2
 Câu 2.
 1
 Phương trình sin x có nghĩa x ¡ D ¡ .
 2
 x k2 x k2 
 1 1 6 6
 Do sin nên sin x sin x sin k ¢ .
 6 2 2 6 5 
 x k2 x k2 
 6 6
 Vì x nên x .
 2 2 6
 Câu 3.
 sin 2x
 Phương trình 0 có nghĩa 1 cos x 0 cos x 1 x k2 D ¡ \ k2  .
 1 cos x
 sin 2x k 
 Ta có 0 sin 2x 0 x k ¢ .
 1 cos x 2
 x 2k 1 
 Kết hợp với điều kiện ta có k ¢ .
 x k 
 2
 3 5 
 Do x 0;3  x , x , x , x , x 3 .
 2 2 2
 Vậy phương trình có 5 nghiệm.
 Câu 4.
 x
 Phương trình sin m2 9 có nghĩa x ¡ D ¡ .
 3
 x
 Ta có 1 sin 1 1 m2 9 1 10 m2 8 (vô lí).
 3
 Vậy phương trình vô nghiệm với m ¡ .
Dạng 2: Phương trình cos x = b
 Trang 6 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình 2cos 2x 2 . 1 
 6 
Hướng dẫn giải
 2
 1 cos 2x 
 6 2
 cos 2x cos 2x k2 k ¢ .
 6 4 6 4
 2x k2 2x k2 x k 
 6 4 12 24
 k ¢ .
 5 5 
 2x k2 2x k2 x k 
 6 4 12 24
 x k 
 24
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là k ¢ .
 5 
 x k 
 24
Ví dụ 2. Giải phương trình cos 2x sin 5x 0. 2 
 3 
Hướng dẫn giải
 2 cos 2x sin 5x cos 2x cos 5x 
 3 3 2 
 k2 
 2x 5x k2 x 
 3 2 42 7
 k ¢ .
 5 2k 
 2x 5x k2 x 
 3 2 18 3
 k2 
 x 
 42 7
Vậy nghiệm của phương trình là k ¢ .
 5 2k 
 x 
 18 3
 m 2
Ví dụ 3. Cho phương trình cos x , m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
 m 1
Hướng dẫn giải
 m 2
Phương trình cos x có nghĩa x ¡ D ¡ , m 1.
 m 1
 m 2
 1 1 
 m 1
Ta có 1 cos x 1 .
 m 2
 1 2
 m 1 
 Trang 7 m 1
 m 2 2m 1
Giải 1 . Ta có 1 0 1 .
 m 1 m 1 m 
 2
 m 2 3
Giải 2 . Ta có 1 0 m 1 0 m 1.
 m 1 m 1
 1
Kết hợp nghiệm ta có m .
 2
 1
Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiệm.
 2
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2cos x 2 0 có nghiệm là 
 3 
 x k2 x k2 
 4 4
 A. , k ¢ .B. , k ¢ .
 3 3 
 x k2 x k2 
 4 4
 5 
 x k2 x k2 
 4 4
 C. , k ¢ . D. , k ¢ .
 5 
 x k2 x k2 
 4 4
 x
Câu 2: Phương trình 2cos 3 0 có nghiệm là 
 2
 5 5 
 A. x k2 ,k ¢ .B. x k2 ,k ¢ .
 3 6
 5 5 
 C. x k4 ,k ¢ . D. x k4 ,k ¢ .
 6 3
Câu 3: Phương trình cos3x cos có nghiệm là 
 15
 k2 
 A. x k2 ,k ¢ .B. x ,k ¢ .
 15 45 3
 k2 k2 
 C. x ,k ¢ .D. x ,k ¢ .
 45 3 45 3
 1
Câu 4: Phương trình cos2 x có nghiệm là 
 2
 A. x k ,k ¢ .B. x k ,k ¢ .
 4 2 2
 C. x k2 ,k ¢ .D. x k2 ,k ¢ .
 2 2
Câu 5: Phương trình cos 2x cos x có cùng tập nghiệm với phương trình
 Trang 8 3x
 A. sin 0 .B. sin x 1. C. sin 4x 1.D. sin 2x 1.
 2
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2 cos x 1 với 0 x 2 là
 3 
 A. 1.B. 0.C. 2. D. 3.
 5 1
Câu 7: Phương trình sin cos x có bao nhiêu họ nghiệm?
 3 2
 A. 1 họ nghiệm.B. 4 họ nghiệm.C. 6 họ nghiệm. D. 2 họ nghiệm.
 ĐÁP ÁN
1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
 Câu 1.
 Phương trình 2cos x 2 0 có nghĩa x ¡ D ¡ .
 2
 Ta có 2cos x 2 0 cos x .
 2
 3 
 x k2 
 3 2 2 3 4
 Do cos nên cos x cos x cos k ¢ .
 4 2 2 4 3 
 x k2 
 4
 Câu 2.
 x
 Phương trình 2cos 3 0 có nghĩa x ¡ D ¡ .
 2
 x x 3
 Ta có 2cos 3 0 cos .
 2 2 2
 5 3 x 3 x 5 5 
 Do cos nên cos cos cos x k4 k ¢ .
 6 2 2 2 2 6 3
 Câu 3.
 Phương trình cos3x cos12 có nghĩa x ¡ D ¡ .
 Do cos12 cos nên cos3x cos12 cos3x cos
 15 15
 k2 
 3x k2 x 
 15 45 3
 k ¢ .
 k2 
 3x k2 x 
 15 45 3
 Câu 4.
 1
 Phương trình cos2 x có nghĩa x ¡ D ¡ .
 2
 Trang 9 2
 cos x 
 2 1 2
Ta có cos x .
 2 2
 cos x 
 2
 2 
Xét cos x cos x cos x k2 k ¢ .
 2 4 4
 2 3 3 
Xét cos x cos x cos x k2 k ¢ .
 2 4 4
 k 
Kết hợp nghiệm ta được x k ¢ .
 4 2
Câu 5.
Phương trình cos 2x cos x có nghĩa x ¡ D ¡ .
 2x x k2 x k2 
 k2 
Ta có cos 2x cos x k2 x k ¢ .
 2x x k2 x 3
 3
 3x 3x 2k 
sin 0 k x k ¢ ;
 2 2 3
sin x 1 x k2 k ¢ ;
 2
 k 
sin 4x 1 4x k2 x k ¢ ;
 2 8 2
sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ .
 2 4
 3x
Vậy phương trình sin 0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2x cos x .
 2
Câu 6. 
Phương trình 2 cos x 1 có nghĩa x ¡ D ¡ .
 3 
 x k2 
 1 12
Ta có 2 cos x 1 cos x x k2 .
 3 3 2 3 4 7 
 x k2 
 12
 23 17 
Do 0 x 2 nên x ; x .
 12 12
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0 x 2 .
Câu 7.
 5 1
Phương trình sin cos x có nghĩa x ¡ D ¡ .
 3 2
 Trang 10