Chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Bài 1: Hàm số lượng giác (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 CHƯƠNG 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác
 Góc I II III IV
 sin x + + – –
 cos x + – – +
 tan x + – + –
 cot x + – + –
2. Công thức lượng giác cơ bản
 2 2
 tan .cot 1 sin cos 1 2 1 2 1
 1 tan 1 cot 
 cos2 sin2 
3. Cung liên kết
 Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
 cos a cos a sin a sin a 
 sin a cos a
 2 
 sin a sin a cos a cos a 
 cos a sin a
 2 
 tan a tan a tan a tan a 
 tan a cot a
 2 
 cot a cot a cot a cot a 
 cot a tan a
 2 
 Góc hơn kém π π Cách nhớ:
 Góc hơn kém 
 2 cos đối
 sin sin sin bù
 sin cos 
 2 phụ chéo
 cos cos tang và côtang
 cos sin 
 2 hơn kém nhau pi
 tan tan 
 tan cot 
 2 
 cot cot 
 cot tan 
 2 
 Trang 1 4. Công thức cộng cung
sin a b sin a.cosb cos a.sin b cos a b cos a.cosb  sin a.sin b
 tan a tan b cot a.cot b 1
tan a b cot a b 
 1 tan a.tan b cot a cot b
5. Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc
 Nhân đôi Hạ bậc
 sin 2 2sin .cos 1 cos 2 
 sin2 
 2
 2 2
 cos sin 2 1 cos 2 
 cos 2 2 2 cos 
 2cos 1 1 2sin 2
 2 tan 1 cos 2 
 tan 2 tan2 
 1 tan2 1 cos 2 
 2
 cot 1 2 1 cos 2 
 cot 2 cot 
 2cot 1 cos 2 
 Nhân ba Hạ bậc
 3
 sin 3 3sin 4sin 3 3sin sin 3 
 sin 
 4
 3
 cos3 4cos 3cos 3 3cos cos3 
 cos 
 4
 3tan tan3 
 tan 3 
 1 3tan2 
6. Góc chia đôi
 x
Đặt t tan
 2
 2t 1 t 2 2t
 sin x cos x tan x 
 1 t 2 1 t 2 1 t 2
7. Công thức biến đổi tổng thành tích
 a b a b a b a b
 cos a cosb 2cos cos cos a cosb 2sin sin
 2 2 2 2
 a b a b a b a b
 sin a sin b 2sin cos sin a sin b 2cos sin
 2 2 2 2
 sin a b sin a b 
 tan a tan b tan a tan b 
 cos a.cosb cos a.cosb
 sin a b sin b a 
 cot a cot b cot a cot b 
 sin a.sin b sin a.sin b
 Trang 2 8. Công thức biến đổi tích thành tổng
 1
 cos a.cosb cos a b cos a b 
 2 
 1
 sin a.sin b cos a b cos a b 
 2 
 1
 sin a.cosb sin a b sin a b 
 2 
 MỘT SỐ CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG
 • 1 sin 2x sin x cos x 2 ;1 sin 2x sin x cos x 2 .
 2 2
 x x x x 
 • 1 sin x sin cos ;1 sin x sin cos .
 2 2 2 2 
 • 1 cos 2x 2sin2 x;1 cos 2x 2cos2 x .
 x x
 • 1 cos x 2cos2 ;1 cos x 2sin2 .
 2 2
 • sin x cos x 2 sin x 2 cos x .
 4 4 
 • sin x cos x 2 sin x 2 cos x .
 4 4 
 • sin x 3 cos x 2cos x 2sin x .
 6 3 
 • 3 sin x cos x 2sin x 2cos x .
 6 3 
 1 3 cos 4x
 • sin4 x cos4 x 1 sin2 2x .
 2 4
 3 5 3cos 4x
 • sin6 x cos6 x 1 sin2 2x .
 4 8
 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT
 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360
 2 3 5 
 0 2 
 6 4 3 2 3 4 6
 1 2 3 3 2 1
 sin 0 1 0 0
 2 2 2 2 2 2
 3 2 1 1 2 3
 cos 1 0 1 1
 2 2 2 2 2 2
 Trang 3 3 3
 tan 0 1 3 || 3 1 0 0
 3 3
 3 3 ||
 cot || 3 1 0 1 3 ||
 3 3
 Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M cos ;sin 
 BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
1. Nêu rõ tính chất 4 hàm lượng giác cơ bản sin x,cos x, tan x,cot x .
2. Phân biệt được tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và đồ thị của các hàm lượng giác.
 ❖ Kiến thức
 + Tìm được tập xác định của hàm lượng giác.
 + Xác định được chu kì của các hàm lượng giác.
 + Vẽ được đồ thị của các hàm lượng giác.
 + Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm lượng giác. 
 Trang 4 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Hàm số y = sinx Đồ thị hàm số y sin x
 • Tập xác định D ¡ .
 • Tập giá trị  1,1, tức là 
 1 sin x 1,x ¡ .
 • Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi 
 khoảng k2 ; k2 và nghịch 
 2 2 
 3 
 biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 , k ¢ ..
 2 2 
 • Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 • Hàm số y sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
 Hàm số y = cosx Đồ thị hàm số y cos x
 • Tập xác định D ¡ .
 • Tập giá trị  1,1, tức là 
 1 cos x 1,x ¡ .
 • Hàm số đồng biến trên mỗi 
 khoảng k2 ; k2 và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 , k ¢ .
 • Hàm số y cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 • Hàm số y cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
 Hàm số y = tanx Đồ thị hàm số y tan x
 • Tập xác định 
 
 D ¡ \ k ,k ¢  .
 2 
 • Tập giá trị R.
 • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 
 k ; k , k ¢ .
 2 2 
 • Hàm số y tan x là hàm số lẻ nên 
 đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O 
 làm tâm đối xứng.
 • Hàm số y tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì T .
 Trang 5 Hàm số y = cotx Đồ thị hàm số y cot x
 • Tập xác định
 D ¡ \ k ,k ¢ .
 • Tập giá trị ¡ .
 • Hàm số nghịch biến trên mỗi 
 khoảng k ; k ,k ¢ .
 • Hàm số y cot x là hàm số lẻ 
 nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 • Hàm số y cot x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 
 2 
 y sin ax b T 
 a
 y sin x
 D ¡
 2 
 y cos ax b T 
 y cos x Chu kì a
 Tập xác 
 D ¡
 định
 HÀM SỐ 
 y tan x y tan ax b T 
  a
 D ¡ \ k  LƯỢNG GIÁC 
 2  y tan ax b T 
 a
 Tính 
 y cot ax b T 
 a
 y cot x chẵn lẻ
 D ¡ \ k 
 y sin x
 Hàm chẵn Hàm lẻ
 Đồ thị nhận Oy làm trục đối Đồ thị nhận gốc tọa độ làm 
y cos x cứng. Hàm số chẵn khi tâm đối xứng. Hàm số lẻ khi y tan x
 x D x D x D x D
 f x f x f x f x 
 y cot x
 Trang 6 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lượng giác
 Phương pháp giải
Tập xác định của các hàm phân thức, căn thức Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
1. Hàm số phân thức y 2 3 cos x .
 P x 
 y DKXD Q x 0 . Hướng dẫn giải
 Q x 
 Vì 1 cos x 1,x ¡ nên
2. Hàm số chứa căn thức
 3 cos x 3,x ¡
 y 2n P x DKXD P x 0 .
 2 3cos x 0,x ¡ .
3. Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số
 Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ .
 P x 
 y DKXD Q x 0 . Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số
 2n Q x 
 1 
 y sin 2 
Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản x 4 
1. y sin u x xác định u x xác định. Hướng dẫn giải
 1
2. y cos u x xác định u x xác định. 
 Hàm số y sin 2 xác định 
 x 4 
3. y tan u x xác định u x k ,k ¢ . x2 4 0
 2
 x 2 .
4. y cot u x xác định u x k ,k ¢ .
 Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ \ 2.
 Ví dụ mẫu
 Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số y cot 2018x 1 .
 Hướng dẫn giải
 k 1
 Hàm số y cot 2018x 1 xác định 2018x 1 k x ,k ¢ .
 2018
 k 1 
 Vậy tập xác định của hàm số D ¡ \ ,k ¢  .
 2018 
 Bài tập tự luyện dạng 1
 1
 Câu 1: Tập xác định của hàm số y sin 2x là
 x
 A. D ¡ \ k  .B. D  1;1 \ 0 .C. D ¡ .D. D ¡ \ 0 .
 Câu 2: Tập xác định của hàm số y 2cot x sin 3x là
 
 A. D ¡ \ k  .B. D ¡ \ k  .C. D ¡ .D. D ¡ \ k2  .
 2 
 Trang 7 Câu 3: Tập xác định của hàm số y cos x là
A. D 0;2  .B. D 0; . C. D ¡ .D. D ¡ \ 0 .
 cos x
Câu 4: Tập xác định của hàm số y là
 2sin x 1
  
A. D ¡ \ k2 .B. D ¡ \ k  .
 6  2 
  5 
C. D ¡ \ k  . D. D ¡ \ k2 ; k2  .
 6  6 6 
 cos x
Câu 5: Tập xác định của hàm số y là
 2cos x 3
  
A. D ¡ \ k2  .B. D ¡ \ k  .
 3  2 
  5 
C. D ¡ \ k2  .D. D ¡ \ k2 ; k2  .
 6  6 6 
 cot x
Câu 6: Tập xác định của hàm số y là
 sin x 1
  
A. D ¡ \ k2 .B. D ¡ \ k  .
 2  2 
  
C. D ¡ \ k2 ;k  . D. D ¡ \ k .
 2  2 2 
Câu 7: Tập xác định của hàm số y 2016 tan2017 2x là
  
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ \ k  .
 2  2 
 
C. D ¡ . D. D ¡ \ k .
 4 2 
Câu 8: Tập xác định của hàm số y 3tan x 2cot x x là
   
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ \ k  . C. D ¡ . D. D ¡ \ k .
 2  2  4 2 
 sinx
Câu 9: Tập xác định của hàm số y là
 tan x 1
  
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ \ k  .
 4  4 
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k2 .
 4 2  4 
 2017 tan 2x
Câu 10: Tập xác định của hàm số y là
 sin2 cos2 x
  
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ \ k  .
 2  2 
 Trang 8 
C. D ¡ . D. D ¡ \ k .
 4 2 
 tan x
Câu 11: Tập xác định của hàm số y là
 sin x 1
  
A. D ¡ \ k2 . B. D ¡ \ k  .
 2  2 
  
C. D ¡ \ k  . D. D ¡ \ k .
 2  4 2 
 sin x
Câu 12: Tập xác định của hàm số y là
 sin x cos x
  
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ \ k  .
 4  4 
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k2 .
 4 2  4 
Câu 13: Tập xác định của hàm số y sin 2x 1 là
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ .
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k2 .
 4 2  2 
Câu 14: Tập xác định của hàm số y 1 cos 2017x là
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ .
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k2 .
 4 2  2 
 1
Câu 15: Tập xác định của hàm số y là
 1 sin 2x
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ .
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k  .
 4 2  4 
 1
Câu 16: Tập xác định của hàm số y là
 2 cos6x
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ .
  
C. D ¡ \ k ; k  .D. D ¡ \ k  .
 4 2  4 
 tan x
Câu 17: Tập xác định của hàm số y là
 15 14cos13x
  
A. D ¡ \ k  . B. D ¡ . C. D ¡ \ k  . D. D ¡ \ k  .
 2  4 
 Trang 9 2 sin x
 Câu 18: Tập xác định của hàm số y là
 1 cos x
  
 A. D ¡ \ k  .B. D ¡ \ k2  .C. D ¡ \ k  . D. D ¡ \ k  .
 2  2 
 Câu 19: Để tìm tập xác định của hàm số y tan x cos x , một học sinh giải theo các bước sau
 Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là sin x 0 .
 cos x 0
 x k 
 Bước 2. 2 k;m ¢ .
 x m 
 
 Bước 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D ¡ \ k ,m  k;m ¢ .
 2 
 Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?
 A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2.D. Sai từ bước 3.
 Câu 20: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ¡ ?
 A. y sin x .B. y tan 2x . C. y cot 2x .D. y x sinx .
Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải
1. Hàm số y f x với tập xác định D gọi là hàm số chẵn Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số 
 y sin 2x .
 x D x D
nếu .
 f x f x Hướng dẫn giải
2. Hàm số y f x với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu Hàm số y sin 2x có tập xác định D ¡ .
 x D x D Đặt f x y sin 2x .
 f x f x .
 x D x D
 Ta có 
Chú ý: f x sin 2x f x 
+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Suy ra hàm số y sin 2x là hàm số lẻ.
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O 0;0 làm tâm đối Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ 
xứng. O 0;0 làm tâm đối xứng.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y f x tan x cot x.
Hướng dẫn giải
 cos x 0 x k 
Hàm số có nghĩa khi sinx 0 2 ( với k,l ¢ ).
 x l 
 
Tập xác định D ¡ \ k ,l | k,l ¢  là tập đối xứng.
 2 
 Trang 10