Chuyên đề Đại số 9: Dãy số có quy luật

Chuyên đề đại số 9
dãy số có quy luật
*******************
Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
Cách 1 : Truy toán 
Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
Cách 3 : Dùng quy nạp toán học 
Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
Ví dụ 1 : Cho có 100 dấu căn
	Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
	Giải :
 	Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2
	Thật vậy < 
	 < 
	.....
	< 
	Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ Aẽ N ( dpcm )
Cách giải này thường được gọi là truy toán
Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau 
	Với n là số tự nhiên lớn hơn 1
	Giải : 
	Xét số hạng tổng quát 
 Vậy : 
Trang 2
 = 
 = 
	Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát 
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
	 < 2 
 	Giải :
	Xét số hạng tổng quát ta có :
 < =
 = . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng 
 Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức 
 Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần 
	Giải :
	Nhận xét B > 2
	 Ta thấy : 
( B2 – 5 )2 = 13 + B
B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B
B4 – 10 B2 – B + 12 = 0
B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0
B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0
( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0
( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0 
 Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11
 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3 
Trang 3
	Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình
Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức 
	Giải :
	Xét số hạng tổng quát : với k là số nguyên dương , ta có : 
 Vì : 
	Vậy : 
	Nên : 
áp dung vào bài 
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 
	 < 3
 	Giải :
	Ta chứng minh bằng quy nạp toán học 
	Với n = 1 ta có D1 = < 3 Đúng 
Trang 4
	Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :
	 < 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 
	 = 
 Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = < < 3
 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n 
 Ví dụ 7 : Cho biểu thức 	 
 ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn .
	Chứng minh A > 
 	 Giải :
	Đặt : có biểu thức có n dấu căn
 Ta có : 	 ị và 
 Vậy : 
 Sau đây ta c/m < 2 bằng truy toán
	Ta có < 2 đúng 
	 < 
	 < 
	 .....
	 < 2
Trang 5
 Vậy : 
 Từ đó A > ( dpcm )
 Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học 
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
	 < 3 
Giải :
 Đặt : Với n > k
 và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh 
 Phản chứng : 
	Giả sử thì theo cách đặt trên ta có :
 mà 
 nên 
 với mọi số nguyên dương k , tức là phải đúng . điều này vô lý . Vậy là sai . Vậy là đúng .
	Do đó . Ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình
	Giải :
	Dễ thấy x = 0 là một ngiệm
	Nếu x = 1 , ta có : 
Trang 6
	Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình
	Nếu x = 2 , ta có :
	Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình
	Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có :
 do x = 3 nên 
 Căn tiếp theo sẽ là : 
và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :
	 đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình
	Nếu x > 3 , thì 
x2 = x + 2x 
x2 – 3x = 0
x = 0 hoặc x = 3 
Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm
Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3
Trang 7
Bài tập luyện tập
dãy tính có quy luật
Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau 
	a ) vô hạn dấu căn
	b ) vô hạn dấu căn
Bài 2 : Chứng minh rằng :
	a ) 
	b ) 
Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
	 ; Với n ẻ Z+
Bài tập 4 : Chứng minh rằng 
	với mọi số nguyen dương n
 Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có
Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau 
	a ) 
	b ) 
Bài 7 : Chứng minh rằng 
	 không phải là một số tự nhiên . 
Trang 8
Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
	 , với mọi n ẻ Z+
Bài 9 : Cho 100 số : là 100 số tự nhiên sao 
	cho ta có : 
	Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 
Bài 11 : Chứng minh rằng :
Bài 12 : Chứng minh rằng :
	 , " n ẻ N và n > 1 không phải là
	một số nguyên .
Bài 13 : a ) Chưng minh rằng " n ẻ Z+ ta đều có 
	b ) áp dụng chứng minh 
Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình 
	vế trái có y dấu căn