Chuyên đề Casio Toán Lớp 4 - Phần 2: Các bài toán về dãy số

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
un = f(n), n Î N* 
 trong đó f(n) là biểu thức của 
 n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1 
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1
- Lặp dấu bằng: ... ...
Giải thích: 
1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ 
 1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị:1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu 
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
 1 
 1 5 1 5 2 1 5 2 1
- Lặp lại phím: ... ...
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, 
u9 = 34, u10 = 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
 trong đó f(un) là biểu thức của 
 un cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a 
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng )
- Lặp dấu bằng: 
Giải thích:
- Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này 
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 (u1)
 2 1 (u2)
 ... 
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
 3 (u1)
 3 (u2)
 (u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Cách lập quy trình:
* Cách 1:
 Bấm phím: b A B a C 
 Và lặp lại dãy phím:
 A B C 
 A B C 
 Giải thích: Sau khi thực hiện
 b A B a C 
trong ô nhớ là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b A B a C 
 A B C 
 A B C 
Lặp dấu bằng: ... ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím: a 
 b 
 A B C
Lặp dấu bằng: ... ...
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 3 4 1 5 
 3 4 5 
 3 4 5 
 ... ...
ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 2 
 3 4 5
 ... ...
ta cũng được kết quả như trên.
4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
 Trong đó là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n.
* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: : chứa giá trị của n
 : chứa giá trị của un
 : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán : = + 1 và := để tính số hạng tiếp theo của dãy
- Lặp phím : 
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 1 0 
 1 
 1 
 1 
 ... ...
 ta được dãy: 
II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số:
1). Lập công thức số hạng tổng quát:
Phương pháp giải:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp
Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: 
Giải:
- Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
1 0 
 1 
 2 3 
 1 
1 
- Ta được dãy: 
- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: 
a1 = 0
a2 = Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
(1)
a3 = 
với mọi n Î N* bằng quy nạp.
a4 = * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng
... 
 Þ 
Ví dụ 2: Xét dãy số: 
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương.
Giải:
- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 2 1 1 
 2 1 
 2 1 
 ... ...
- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
 Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
(1)
đúng với mọi n Î N*
 * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) 
... 
Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
Þ A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*).
2). Dự đoán giới hạn của dãy số:
2.1. Xét tính hội tụ của dãy số:
Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính được nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng. Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán.
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 1 
 1 
 1
 ... ...
ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n
an
n
an
n
an
n
an
1
0,420735492
13
0,030011931
25
-0,005090451
37
-0,016935214
2
0,303099142
14
0,06604049
26
0,028242905
38
0,007599194
3
0,035280002
15
0,04064299
27
0,034156283
39
0,024094884
4
-0,151360499
16
-0,016935489
28
0,009341578
40
0,018173491
5
-0,159820712
17
-0,053410971
29
-0,022121129
41
-0,00377673
6
-0,039916499
18
-0,039525644
30
-0,031871987
42
-0,021314454
7
0,082123324
19
0,00749386
31
-0,012626176
43
-0,018903971
8
0,109928694
20
0,043473583
32
0,016709899
44
0,000393376
9
0,041211848
21
0,038029801
33
0,029409172
45
0,018497902
10
-0,049456464
22
-0,000384839
34
0,015116648
46
0,019186986
11
-0,083332517
23
-0,035259183
35
-0,011893963
47
0,00257444
12
-0,041274839
24
-0,036223134
36
-0,026804833
48
-0,015678666
n
an
- Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an):
Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an® 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0.
2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:
có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 2 
 2 
 ... ...
ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n
un
n
un
1
1,414213562
11
1,999999412
2
1,847759065
12
1,999999853
3
1,961570561
13
1,999999963
4
1,990369453
14
1,999999991
5
1,997590912
15
1,999999998
6
1,999397637
16
1,999999999
7
1,999849404
17
2,000000000
8
1,999962351
18
2,000000000
9
1,999990588
19
2,000000000
10
1,999997647
20
2,000000000
Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được:
1) Dãy số (un) là dãy tăng
2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được dãy số (un) tăng và bị chặn Þ dãy (un) có giới hạn.
+ Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được:
limun = lim() hay a = 
Vậy: lim un = 2
Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 1 2 5 
 2 5 1 
 2 5 2 5 
 2 5 2 5 
 ... ...
ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau:
1) Dãy số (xn) là dãy không giảm
2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (với độ chính xác 10-9).
3) Nếu lấy xi (i = 50, 51,...) trừ cho ta đều nhận được kết quả là 0.
Þ dự đoán giới hạn của dãy số bằng .
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được xnÎ (0 ; ) và dãy (xn) không giảm Þ dãy (xn) có giới hạn.
+ Gọi giới hạn đó bằng a, ta có: 
+ Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số ) ta có (1) có nghiệm là a = .
Vậy: lim xn = .
3). Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): 
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 2: Cho dãy số (an) được xác định bởi:
a) Xác định công thức số hạng tổng quát an.
b) Chứng minh rằng số: biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ³ 1.
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố.
Bài ...  lại các phím: 	 ----> tính u5 gán biến nhớ A
	 ----> tính u6 gán biến nhớ B
	 ----> tính u7 gán biến nhớ C
Bây giờ muốn tính un ta và, cứ liên tục như vậy n – 7 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 (u10 = 149)
Dạng 6.7. Dãy truy hồi dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> tính u5 gán vào B
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n 2). 
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím:
b. Tính u7 ?
Ấn các phím: (u7 = 8717,92619)
	Kết qủa: u7 = 8717,92619
Dạng 6.8. Dãy phi tuyến dạng 
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1?
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Dạng 6.9. Dãy Fibonacci tổng quát 
	Tổng quát: trong đó u1, u2, , uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u.
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng.
Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng. Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.
Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u1 = a vào biến nhớ A 
	----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím: --> Tính u3 gán vào A
	 --> Tính u4 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét: 	@ Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao. Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần.
	@ Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, ) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
	@ Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1.
a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 
Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1.
a. Tính u3; u4; u5; u6; u7.
b. Viết qui trình bấm phím để tính un.
c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25.
Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số 
a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un.
c. Lập một qui trình tính un.
d. Tìm các số n để un chia hết cho 3.
Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1.
a. Lập một quy trình tính un+1
b. Tính u2; u3; u4; u5, u6
c. Tìm công thức tổng quát của un.
Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; . Tìm số dư của un chia cho 7.
Bài 6: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương.
Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3 Tìm giá trị a100?
Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm.
b. u2002 chia hết cho 11.
Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: 
u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = với mọi n = 0, 1, 2, 3, .
Chứng minh rằng: 
a. chia hết cho 20
b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=?
Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) 
Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u14 của dãy?
Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) 
a.Cho . Tính ?
b. Cho . Tính ?
c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2). Tính u12 ?
Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức, n là số tự nhiên, n >= 1. Biết x 1 = 0,25. Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100?
7.3.2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số(*). Tìm công thức tổng quát un của dãy?
-- Giải --
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là: có hai nghiệm 
Vậy 
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: => 
Vậy số hạng tổng quát .
7.3.3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính.
Ví dụ 3: Cho dãy số. Tính số hạng thứ u100?
-- Giải --
Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 
Bây giờ muốn tính u100 ta 96 lần.
Cách 2:
Tìm công thức tổng quát .
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2.
Bài 4. Cho Uo = 2, U1 = 10 và U n+1 = 10Un – U n-1, n = 1,2,3,......
Lập một quy trình tính U n+1.
Tìmcông thức tổng quát của Un
Tính Un với n = 2,,12
 Giải:
 a) 
 Rồi lặp lại dãy phím: 
Công thức tổng quát Un là:
 (1).
 Thật vậy: 
 Với n = 0 thì 
 n = 1 thì 
 n = 2 thì 
Giả sử công thức (1) đúng với . Ta sẽ chứng minh nó đúng cho n = k + 1. Ta có :
 Điều phải chứng minh
 c) 
CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
I. Ví dụ
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :
 với n = 1, 2, 3, , k, ..
Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1
Hướng dẫn giải
a) U1 = 1 U5 = 147884
 U2 = 26 U6 = 2360280
 U3 = 510 U7 = 36818536
 U4 = 8944 U8 = 565475456
b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1
Theo kết quả tính được ở trên, ta có:
Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166
Vậy ta có công thức:
Un+1 = 26Un – 166Un-1
c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS:
Ấn phím:
26
Shift
STO
A
x
26
-
166
x
1
Shift
STO
B
Lặp lại dãy phím 
x
26
-
166
x
Alpha
A
Shift
STO
A
	x
26
-
166
x
Alpha
B
Shift
STO
B
II.Bài tập
Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự biết:
1.1 Tính 
1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của với .
1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 
Qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với 
Bài 2.
u2 =
u25 =
u1 =
Cho dãy số sắp thứ tự , biết và .
Tính .
Bài 3: Cho ( nếu n lẻ, nếu n chẵn, n là số nguyên ).
3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị: .
3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị: .
3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của 
u4 = --------------------
u5 = --------------------
u6 = ----------------------
u20 »
u25 »
u30 »
Qui trình bấm phím:
, nếu n chẵn
, nếu n lẻ
Bài 4: Cho dãy số xác định bởi: 	
4.1 Qui trình bấm phím để tính un và Sn:
4.2 Tính giá trị của 
4.3 Gọi là tổng của số hạng đầu tiên của dãy số . Tính .
u10 = 
u15 = 
u21= 
S10 = 
S15 = 
S20 = 
Bài 5 : Cho dãy số với 
Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho 
b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ?
 	c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho ( khi ) 
 Bài 6. Cho dãy số 
biết:
6.1 Tính 
6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của với .
6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của .
Bài 7. Cho dãy số U1 = ; , n là số tự nhiên và n 
 Viết quy trình bấm phím để tính Un.
 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên
Quy trình bấm phím
Kết quả
 2) Cho . Tính S2004 + S2005 + S2006 + S2007 
Quy trình bấm phím
Kết quả
Bài 8. Cho 1 dãy số , n = 1, 2, 3...
Hãy tính giá trị của số hạng 
Bài 9. Cho , n là số tự nhiên.
Tính và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số.
Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của 
Bài 10. Cho dãy số an được xác định như sau:
 	 với mọi 
Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Bài 11. Cho dãy số un được xác định như sau:
 	 với mọi 
 	11.1 Qui trình bấm phím để tính un
 11.2 Tính giá trị của 
Bài 12. Cho dãy số un được xác định như sau:
 	 với mọi 
 	12.1 Qui trình bấm phím để tính un, Sn
 	12.2 Tính giá trị của 
Bài 15. Cho với 
	15.1 Lập quy trình bấm phím để tính Sn
	15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S15
	15.3 Tính giới hạn 
a
Bài 16. Cho . Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị bé nhất của an.
Bài 17. Cho dãy số với n = 1, 2, 3, 
	17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u1, u2, u3, u4, u5.
	17.2 Chứng minh rằng un+2 = 6un+1 – 7un
 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính un+2.
Câu 9(5đ)(Câu này thay)Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 , U2 , U3 , ,Un ,Un+1, 
Biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25
-------------------------------------------