Chuyên đề Casio Đại số Lớp 8 - Chương 2: Đa thức

Chương II: ĐA THỨC
Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . 
Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: @ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 1.2: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 
 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) 
cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998) 
Tìm số dư trong phép chia:P=
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
Kết quả: r = 85,92136979
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m 
chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được 
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0 
hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). 
Tìm a để chia hết cho x+6.-
- Giải - 
Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001) 
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. 
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Vi du3.3
Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: 
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: 
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại ta được m = 
Vi du3.4: 
Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 
H.Dẫn:
 là nghiệm của P(x) thì m = , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
 là nghiệm của Q(x) thì n= với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m = = ;n = =
Vi du3.5: 
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n = 
b) P(x) (x - 2) và Q(x) (x - 2) Þ R(x) (x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
 x = + 
Giải:
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới d ạng 
f(x) + m = Q(x)(x+6) 
do đ ó f(-6) + m = 0 m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả
 m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
 ta được đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642 
Học sinh tính được x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665 
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c 
 ta được hệ 
Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 
 x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
Xác định số hữu tỉ a và b để x = là nghiệm của P(x);
Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x). 
Giải:
x = 6-Þ b = =6+-(6-)2 - a(6-)
(a+13) = b+6a+65 = 0 Þ a = -13 ; b =13 Þ P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = 0 Þ x = 1 ; x » 0,08392 và x » 11,916
Ví dụ 4.3:Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Hướng dẫn: 
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r Þ P(a) = r
Vậy 	P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
	P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2 
	P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
Tính trên máy được :a = 3,693672994 » 3,69
b = –110,6192807 » –110,62
c = 968,2814519 » 968,28
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức 
cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) 
Ví dụ 5.1 
Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
-5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
 5 
1 0 (-5) : ghi ra giấy -5
 2 (23) : ghi ra giấy 23
 3 (-118) : ghi ra giấy -118
 0 (590) : ghi ra giấy 590
 0 (-2950) : ghi ra giấy -2950
 1 (14751) : ghi ra giấy 14751
 1 (-73756) : ghi ra giấy -73756
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 =
= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Vi du 5.4: 
Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) dư r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
VËy: 
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
	Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. 
Ví dụ 7.1: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét: 	@ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, .
	@ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầ ... . Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài tập19: Cho đa thức: .
a) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -2 với a = c = -2007 và b = d = 2008.
b) Với giá trị nào của d thì đa thức P(x) ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = 4.
c) Tìm số dư và hệ số x2 của phép chia đa thức P(x) cho x - 5 với a = d = -2; b = c= 2.
d) Cho biết: (H(x) = 3x +2)
1) Tính P(5) đến P(10).
2) Tính: 
3) Tìm các hệ số a, b, c, d, của đa thức P(x).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. 
Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)?
(HDgiải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k Î Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). 
Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
 Þ g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
 (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
Þ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài tập22: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64. 
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:
 Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
 Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.
 Để ý rằng : 264 = = . 
 Đặt  ; Ta có : A = 
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X2.1010 = 
1
8
4
4
6
1
6
6
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2XY.105 =
5
7
8
0
5
9
1
8
0
8
0
0
0
0
0
Y2 = 
4
5
2
8
7
5
1
6
1
6
A = 
1
8
4
4
6
7
4
4
0
7
3
7
0
9
5
5
1
6
1
6
 Vậy A = 18446744073709551616
Bài tập23: Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244
 Tính A = x3000 + y3000
Giải:
Đặt a = x1000, b = y1000. Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 - 3. 
 Đáp số : A = 184,9360067
Bài tập24: Cho: 
 biết: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.
Tính P(18)
Bài tập25: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
 a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0
 b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0
 x = 0,145 x = 0,245
Bài tập26: Tìm nghiệm của phương trình:
 a) 
 b) 
 x = 0,20 x = 0,25
Bài tập27: 
Cho và 
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 1 ? 
b)Với m vừa tìm được , Tính số dư r khi chia P(x) cho x – 2 và phân tích đa thức P(x) thành tích các thừa số bậc nhất ? 
c) Tìm n để 1 nghiệm của P(x) cũng là 1 nghiệm của Q(x) , biết nghiệm đó phải khác – 0,5 và 2 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích các thừa số bậc nhất ? 
Bài tập28: Cho đa thức 
biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11 (H(x) = 2x +3)
Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
Tính các giá trị của P(10) , P(11) , P(12) , P(13) . 
Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên 
Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (2x + 5) ( chính xác đến 2 chữ số ở phần thập phân ) 
Bài tập29: Cho đa thức 
 biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1 (H(x) = 2x -7)
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . 
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên 
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân ) . Hãy điền các kết quả tính được vào ô vuông . 
Bài tập30: Cho 
biết P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25 (H(x) = x2 )
a)Tìm các hệ số a , b, c , d và f của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(20) , P(21) , P(22) , . 
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên 
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (x + 3) . 
Bài tập31: Cho đa thức 
 biết P(1) = 1 , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(5) , P(6) , P(7) , . 
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên 
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (2x - 5) . 
Bài tập32: a Cho
 biết P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48. Tính P(2007) ? 
b) Cho đa thức. Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3. 
Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ? 
Bài tập33: Cho hai đa thức ;
Tính a, b , c và , biết 
Với a, b, c tìm được ở trên, Tìm thương T(x) và số dư G(x) của phép chia đa thức Q(x) cho x – 11 
Chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) + Q(x) luôn là số chẵn với mọi số nguyên x. 
Bài tập34: a) Cho đa thức 
biết P(-1) = -2 , P(2) = 4 ,P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 .
 Tính P(38) và P(40) ? 
b) Cho dãy số xác định bởi công thức 
biết x1 = 2. Tính x5 ? 
c) Phân tích đa thức thành nhân tử : 
Bài tập35: Cho đa thức.
Tính số dư r trong phép chia P(x) cho x – 4,138 khi m = 2007 ? 
Tính giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho ? 
Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 3 thì m2 có giá trị bao nhiêu ? 
Bài tập36: a) Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x9 + x – 7 = 0 
b) Cho A = 532588 và B = 110708836 .
 Tìm ƯCLN (A ,B ) và BCNN(A,B ) ? 
c) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377
Bài tập37: 
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. 
Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 
2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3
Giải
1. Theo bài ra ta có: f(1) = 2 + 1 + b + c + d = - 18
 f(2) = 64 + 8 + 4b + 2c + d
 f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d 
Tức là ta có hệ: 
Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15
 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15 
2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược:
F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561
Vậy hệ số của x2 trong phép chia trên là 1.
Bài tập38: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . 
Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 
P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . 
Bài tập39: Cho đa thức 
a)Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 
b)Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3 
Bài tập40: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m .
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b)Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất
Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 .
c)Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài tập41: 
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n .
Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ
có một nghiệm duy nhất
Bài tập42: Cho các đa thức 
F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32
a)Tìm a, b để F(x) và G(x) có nghiệm chung là x=0,25
b)Sử dụng các phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư trong phép chia Q(x) cho 2x+3. 
Bài tập43: Cho đa thức 
biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9 
a)Tìm các hệ số b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (x – 4) 
c)Tìm số dư r2 trong phép chia P(x) cho (2x + 3) ( chính xác đến 2 chữ số ở phần thập phân ) 
Bài tập44: Cho đa thức 
biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . 
Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên 
Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân ) . 
Bài tập45: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a)Tìm a , b , c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b)Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c)Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Bài tập46: Cho Q(x)=22x3+ 2x-2008.
a) Tính 	
b) Tìm m để Q(x) + m3 chia hết cho x-5
Bài tập47: Cho đa thức f(x) . 
Biết f(x) chia x-3 thì dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) được thương là 3x và còn dư. 
Tìm f(x)
Tính chính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009)
Bài tập48: Cho ña thöùc 
bieát P(1) = 5 , P(2) = 7 , P(3) = 9 , P(4) = 11 
a)Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .
b)Tính caùc giaù trò cuûa P(10) , P(11) , P(12) , P(13) . 
c)Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân 
d)Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (2x + 5) ( chính xaùc ñeán 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) 
Bài tập49: Cho ña thöùc 
bieát P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
a)Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .
b)Tính caùc giaù trò cuûa P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . 
c)Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân 
d)Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (7x -5) ( chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) . 
Bài tập50: Cho ña thöùc 
bieát P(1) = 1 , P(-2) = 4 , P(3) = 9 , P(-4) = 16 , P(5) = 25 
a)Tìm caùc heä soá a , b, c , d vaø f cuûa ña thöùc P(x) .
b)Tính caùc giaù trò cuûa P(20) , P(21) , P(22) , . 
c)Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân 
Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (x + 3) 
Bài tập51: Cho ña thöùc 
bieát P(1) = 1 , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 
a)Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .
b)Tính caùc giaù trò cuûa P(5) , P(6) , P(7) , . 
c)Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân 
 Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (2x - 5) 
Bài tập52: 
Cho vaø 
a)Tìm m ñeå P(x) chia heát cho 2x + 1 ? 
b)Vôùi m vöøa tìm ñöôïc , Tính soá dö r khi chia P(x) cho x – 2 vaø phaân tích ña thöùc P(x) thaønh tích caùc thöøa soá baäc nhaát ? 
c) Tìm n ñeå 1 nghieäm cuûa P(x) cuõng laø 1 nghieäm cuûa Q(x) , bieát nghieäm ñoù phaûi khaùc – 0,5 vaø 2 ? Phaân tích ña thöùc Q(x) thaønh tích caùc thöøa soá baäc nhaát ?