Chuyên đề Casio Đại số Lớp 11 - Dãy truy hồi

Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I.DÃY TRUY HỒI
Dạng 1. Dãy Fibonacci
.1.1. Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v và giả sử tất cả các con thỏ đều sống.
	Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?
-- Giải --
- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.
- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2.
- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 3.
- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa đẻ. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ.
Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, 
Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)
Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.
Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:
u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1	(với n 2)
Dãy có quy luật như trên là dãy Fibonacci. un gọi là số (hạng) Fibonacci.
1.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci: 
 (*)
Chứng minh
Với n = 1 thì ; Với n = 2 thì ;
Với n = 3 thì ;
Giả sử công thức đúng tới n k. Khi ấy với n = k + 1 ta có:
Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.
.1.3. Các tính chất của dãy Fibonacci:
1. Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1
Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có: 
	u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)
2. Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = 
Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm như sau: 
	u25 = = 2332 + 1442 = 7502.
3. Tính chất 3: 
4. Tính chất 4: 
5. Tính chất 5: 
6. Tính chất 6: 
7. Tính chất 7: 
8. Tính chất 8: trong đó là nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0, tức là 
Nhận xét:	F Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy Fibonacci mà không cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy. Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính được (kết quả không hiển thị được trên màn hình). Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8 giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể của Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó. Dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực.
1.4. Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử
Tính theo công thức tổng quát
Ta có công thưc tổng quát của dãy: . Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
Muốn tính n = 10 ta ấn , rồi dùng phím một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 
 Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 gán vào B
Lặp lại các phím: 	
---> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
---> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
(21)
Chú ý: F Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất. Đối với máy fx-500 MS thì ấn , đối với máy fx-570 MS có thể ấn hoặc ấn thêm để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi.
Dạng .2. Dãy Lucas
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci. 
Cách 1:Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	---> lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B
Lặp lại các phím:
 	--> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A	
	---> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và cứliêntụcnhư vậy n – 5 lần.
Cách 2:Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
a → A -> Gán a vào ô nhớ A (U1)
b → B Gán b vào ô nhớ B (U2)
B+A → A Dòng lệnh 1 (U3)
A +B→ B Dòng lệnh 2 (U4)
 ... 
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. 
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) 
Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
-- Giải –
Cách 1
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
b. Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17
Ấncácphím: (u13 = 2584)
 (u17 = 17711)
	Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711
Cách 2
8 → A -> Gán 8 vào ô nhớ A (U1)
13 → B Gán 13 vào ô nhớ B (U2)
B+A → A Dòng lệnh 1 (U3)
A +B→ B Dòng lệnh 2 (U4)
 ... 
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. 
Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711
Dạng.3. Dãy Lucas suy rộng dạng
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
 ----> tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phím: 	
 ----> Tính u4 gán vào A
 ----> lấy u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Cách 2:
a → A
b → B
AB - BA → A
AA - BB → B
Gán a vào ô nhớ A (U1)
Gán b vào ô nhớ B (U2)
Dòng lệnh 1 (U3)
Dòng lệnh 2 (U4)
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết 
Ví dụ1: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím: 	
VD2:	Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17?
1 → A
2 → B
2B - 4A → A
2A - 4B → B
Gán 1 vào ô nhớ A (U1)
Gán 2 vào ô nhớ B (U2)
Dòng lệnh 1 (U3)
Dòng lệnh 2 (U4)
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536)
Dạng.4. Dãy phi tuyến dạng1
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u32+ u22 = u4 gán vào A
	----> lấy u42+ u32 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím: 	
b. Tính u7
	Ấn các phím: (u6 =750797) 
	Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165
Kết qủa: u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính. Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209.
Dạng.5. Dãy phi tuyến dạng 2
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 ----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
--> Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B
Lặp lại các phím: 
	Tính u4 gán vào A
	 Tính u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 	
Dạng .6. Dãy Fibonacci suy rộng dạng
	Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
 ----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
 ----> gán u3 = 2 vào biến nhớ B
 tính u4 đưavào C
Lặp lại các phím:
 tính u5 gán biến nhớ A
 tính u6 gán biến nhớ B
tính u7gán biến nhớ C
Bây giờ muốn tính un ta và, cứ liên tục như vậy n – 7 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 (u10 = 149)
Dạng 7. Dãy truy hồi dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	-> gán u2 = b vào biến nhớ A 
-> tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B
Lặp lại các phím: --> Tính u4 gán vào A
 --> tính u5 gán vào B
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n 2). 
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui ... i tổng quát
	Tổng quát: trong đó u1, u2, , uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u.
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng.
Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng. Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.
Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
 	----> gán u1 = a vào biến nhớ A 
	----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím: --> Tính u3 gán vào A	 --> Tính u4 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét: 	@ Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao. Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần.
	@ Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, ) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
	@ Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này.
II/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
un = f(n), n Î N* 
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
 trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1 
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1
- Lặp dấu bằng: ... ...
Giải thích: 
1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ 
 1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị:1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu 
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
 1 
 1 5 1 5 2 1 5 2 1
- Lặp lại phím: ... ...
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, 
u9 = 34, u10 = 55
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
 trong đó f(un) là biểu thức của un cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a 
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng )
- Lặp dấu bằng: 
Giải thích:
- Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này 
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 (u1)
 2 1 (u2)
 ... 
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
 3 (u1)
 3 (u2)
 (u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Cách lập quy trình:
* Cách 1:
 Bấm phím:bABaC 
 Và lặp lại dãy phím:
 A B C 
 A B C 
 Giải thích: Sau khi thực hiện
b A B a C 
trong ô nhớ là u2 = b,
 máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: A BC máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3).
Sau khi thực hiện:ABC máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím:b ABaC 
 A B C 
 A B C 
Lặp dấu bằng: ... ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím: 
a 
b 
 A B C
Lặp dấu bằng: ... ...
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 3 4 1 5 
 3 4 5 
 3 4 5 
 ... ...
ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 
2 
 3 4 5
 ... ...
ta cũng được kết quả như trên.
 Trong đó là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n.
4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: : chứa giá trị của n
 : chứa giá trị của un
 : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán : = + 1 và
 := để tính số hạng tiếp theo của dãy
- Lặp phím : 
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 1 
0 
 1 1 1 
 ... ...
 ta được dãy: 
II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số:
1). Lập công thức số hạng tổng quát:
Phương pháp giải:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp
Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: 
Giải:
- Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
1 0 
 1 
 2 3 
 1 
1
- Ta được dãy: 
- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: 
a1 = 0
a2 = Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
(1)
a3 = 
với mọi n Î N* bằng quy nạp.
a4 = * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng
... 
 Þ 
Ví dụ 2: Xét dãy số: 
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương.
Giải:
- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 2 1 1 
 2 1 
 2 1 
 ... ...
- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
 Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
(1)
 * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) 
đúng với mọi n Î N*
... 
Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
Þ A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*).
2). Dự đoán giới hạn của dãy số:
2.1. Xét tính hội tụ của dãy số:
Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính được nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng. Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán.
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):
Giải:
- Thực hiện quy trình:
1 
 1 1
 ... ...
ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n
an
n
an
n
an
n
an
1
0,420735492
13
0,030011931
25
-0,005090451
37
-0,016935214
2
0,303099142
14
0,06604049
26
0,028242905
38
0,007599194
3
0,035280002
15
0,04064299
27
0,034156283
39
0,024094884
4
-0,151360499
16
-0,016935489
28
0,009341578
40
0,018173491
5
-0,159820712
17
-0,053410971
29
-0,022121129
41
-0,00377673
6
-0,039916499
18
-0,039525644
30
-0,031871987
42
-0,021314454
7
0,082123324
19
0,00749386
31
-0,012626176
43
-0,018903971
8
0,109928694
20
0,043473583
32
0,016709899
44
0,000393376
9
0,041211848
21
0,038029801
33
0,029409172
45
0,018497902
10
-0,049456464
22
-0,000384839
34
0,015116648
46
0,019186986
11
-0,083332517
23
-0,035259183
35
-0,011893963
47
0,00257444
12
-0,041274839
24
-0,036223134
36
-0,026804833
48
-0,015678666
Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an® 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0.
2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:
 giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
 2 
 2 
 ... ...
ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n
un
n
un
1
1,414213562
11
1,999999412
2
1,847759065
12
1,999999853
3
1,961570561
13
1,999999963
4
1,990369453
14
1,999999991
5
1,997590912
15
1,999999998
6
1,999397637
16
1,999999999
7
1,999849404
17
2,000000000
8
1,999962351
18
2,000000000
9
1,999990588
19
2,000000000
10
1,999997647
20
2,000000000
Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được:
1) Dãy số (un) là dãy tăng
2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được dãy số (un) tăng và bị chặn Þ dãy (un) có giới hạn.
+ Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được:
limun = lim() hay a = 
Vậy: lim un = 2
Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
1 2 5 2 5 1 
 2 5 2 5 
 2 5 2 5 
 ... ...
ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau:
1) Dãy số (xn) là dãy không giảm
2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (với độ chính xác 10-9).
3) Nếu lấy xi(i = 50, 51,...) trừ cho ta đều nhậ được kếtquả là 0.
Þ dự đoán giới hạn của dãy số bằng .
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được xnÎ (0 ; ) và dãy (xn) không giảm Þ dãy (xn) có giới hạn.
+ Gọi giới hạn đó bằng a, ta có: 
+ Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số ) ta có (1) có nghiệm là a = .
Vậy: lim xn = .