Chuyên đề Bồi dưỡng giải toán Casio

Chuyªn ®Ị 
“GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”
 Nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán, đồng thời giúp học sinh phổ thông làm quen với máy tính điện tử và các phương pháp giải toán trên máy tính điện tử. Máy tính điện tử giúp GV và học sinh bổ sung nhiều kiến thức toán học cơ bản, hiện đại và thiết thực. Nhờ khả năng xử lý số liệu phức tạp với tốc độ cao, máy tính điện tử cho phép thiết kế những bài toán gắn với thực tế hơn
MỘT SỐ YÊU CẦU KHI THAM GIA DỰ THI
	Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính điện tử Casio”. Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở mỗi tỉnh gồm 5 thí sinh. Những thí sinh đạt giải được cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được bảo lưu kết quả trong suốt cấp học. Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài 5 điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm trong 150 phút.
	Quy định: Thí sinh tham dự được dùng một trong các loại máy tính (đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép sử dụng trong trường phổ thông) là Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 MS,Casio fx-570 ES
	@ Yêu cầu các em trong đội tuyển có thể sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 ES. 
	@ Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các ví dụ và bài tập của tài liệu phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính. 
	@ Các dạng toán sau đây có sử dụng tài liệu tham khảo của 
+TS.Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Trạch :Các đềø thi HSG giải toán trên MTBT casio 1996 – 2004
+Nguyễn Phước - Giải toán nhanh bằng MTBT (NXB.TH – TP.HCM)
+Lê Hồng Đức và Đào Thiện Khải - Giải toán trên MTBT Casio Fx 570MS dành cho các lớp THCS 
+Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Ly : Một số dạng toán thi HSG “Giải toán trên máy tính điện tử Và một số bài tập được trích từ các đề thi (đề thi khu vực, đề thi các tỉnh, các huyện trong tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ , đề thi chọn đội tuyển HSG các tỉnh Bắc Ninh. Phú Thọ, Thừa Thiên – Huế.
+Tạ Duy Phượng : Hệ đếm và ứng dụng (NXB GD – 2006)
+Tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 (Từ số 6 – 64)
A/ PHẦN I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI
A. SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
I.Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH 
	Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian. Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ của máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ.
Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: 
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e.Tìm x biết: 
	f. Tìm y biết: 
Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
a. 
b. 
Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị)
a. Tìm 12% của biết: 
b. Tính 2,5% của 
c. Tính 7,5% của 
d. Tìm x, nếu: 
Thực hiện các phép tính:
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
k. 
Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính:
a. 
b. 
Bài 5: (Thi khu vực 2001)
a. Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: 
b. Tính giá trị của biểu thức sau: 
c. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Nhận xét: @ Dạng bài kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này. Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện. Để tránh vấn đề này yêu cầu trước khi dùng máy tính để tính cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ.
	Ví dụ: Tính T = 
Dùng máy tính trực tiếp cho kết quả là: 9,999999971 x 1026
Biến đổi: T=, 
	Dùng máy tính tính =999 999 999
	Vậy 
	Như vậy thay vì kết qủa nhận được là một số nguyên thì thế trực tiếp vào máy tính ta nhận được kết quả là số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số của a).
	@ Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, trong các kỳ thi cấp khu vực dạng này chiếm khoảng 20% - 40%.
	@ Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862;  thí sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó.
II. DẠNG 2: ĐA THỨC
Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức 
	Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
	Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
	Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
	Giải trên máy: 	- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
Aán phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: 	@ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
	Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
	@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
	Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= 
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax + b thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6.
- Giải - 
Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
	Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1,  ... n kém nhau 1 đơn vị :
ab5. cdef = 2712960.
a0b . cdef = 600400
ab5c . bac = 761436.
Bài 4 : Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Tìm các hệ số a, b, c của đa thức P(x), biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trịtương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653.
Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 2x + 5
Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989.
Bài 5 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) có ba chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau :
Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở vị trí tương ứng, chữ số còn lại của m nhỏ hơn chữ số tương ứng của n đúng 1 đơn vị.
Cả hai số m, n đều là số chính phương.
Bài 6 : Cho dãy số : Un = , n = 1, 2, 3, ... .
Tính các giá trị U1 , U2 , U3, U4 .
Xác lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un. 
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un rồi tính U5, U6, . . . , U16.
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB = 2a với a = 12,75cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều ACG.
a) Tính các góc B, C cạnh AC và diện tích tam giác ABC.
b) Tính diện tích các tam giác đều ABF , ACG và diện tích hình vuông BCDE.
c) Tính diện tích các tam giác ÀG và BEF.
Bài 8 : Tìm các số tự nhiên n (1000 < n < 2000) sao cho với mỗi số đó thì an = cũng là số tự nhiên.
Bài 9 : Hai đường thẳng y = x + (1) và y = – x + (2) cắt nhau tại điểm A . Một đường thẳng đi qua điểm H(5; 0) và song song với trục tung Oy lần lượt cắt các đường thẳng (1) và (2) theo thứ tự tại các điểm B và C .
Vẽ các đường thẳng (1) , (2) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ .
Tìm tọa độ các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số).
Tính diện tích tam giác ABC (viết dưới dạng phân số) theo đoạn thẳng đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1cm.
Tính số đo mỗi góc của tam gáic ABC theo đơn vị độ (chính xác đến phút)
Bài 10 : Đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 11; 14; 19; 26; 35 khi biến x , theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5.
Hãy tính giá trị của đa thức P(x) khi x lần lượt nhận các giá trị 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 10x – 3 .
Đề 37
(Sở GD & ĐT Cần Thơ, thi lớp 6 &7 , 2001 – 2002 . Thời gian 150 phút)
Bài 1 : Tính A = 
Bài 2 : So sánh các phân số sau ; ; ; 
Bài 3 : Tính B = – + 
Bài 4 : Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân : 
C = 
Bài 5 : Tính và làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm :
D = 
Bài 6 : Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân .
Bài 7 : Một ao cá có 4800 con cá gồm ba loại : trắm, mè, chép . Số cá mè bằng 3 : 7 số cá trắm, số cá chép bằng 5 : 7 số cá mè. Tính số lượng mỗi loại cá trong ao.
Bài 8 : Tìm các ước chung của 4 số sau : 222222 ; 506506 ; 714714 ; 999999.
Bài 9 : Số 19549 là số nguyên tố hay hợpï số ?
Bài 10 : Chia 6032002 cho 1905 có số dư là r1 . Chia r1 cho 209 có số dư là r2 . Tính r2 ?
Bài 11 : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số được viết bởi các số 1, 2, 3 và chia hết cho 9.
Bài 12 : Tính diện tích hình thangcó tổng và hiệu hai đáy lần lượt là 10,096 và 5,162 ; chiều cao hình thang bằng tích hai đáy.
Bài 13 : Tính A= 1 + 
Bài 14 : Tính tổng diện tích của các hình nằm giữa hình thang và hình tròn (phần màu trắng, hình 1) . Biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diên tích hình thang bằng 20m2 .
Bài 15 : Tính diện tích hình (màu trắng, hình 2)giới hạn bởi 4 hình tròn bằng nhau có bán kính là 12cm
Hình 1 	 Hình 2
Đề 38
(Sở GD & ĐT Thanh Hóa, THCS, 2005)
Bài 1 : 
Tính giá trị biểu thức : A = , với x = 1,4567831
Cho biểu thức B = 
Tính giá trị của B với x = 1,56 , y = 4,39
Bài 2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A và AB = 6,84cm ; Ac = 8,67 cm. Kẻ đường cao AH .
Tính độ dài các đoạn BH ; CH.
Tính tỉ lệ diện tích của tam giác AHC và tam giác AHB.
Bài 4 : Dân số của phường Ba Đình hiện nay là 15 000 người. Người ta dự đoán rằng sau 3 năm nữa dân số sẽ là 15 545 người .
Hỏi trung bình mỗi năm dân số phường Ba Đình tăng bao nhiêu phần trăm ?
Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm như vậy, sau 10 năm dân số phườngBa Đình là bao nhiêu ?
Bài 5 : a) Tính S = 
 b) Tính giá trị liên phân số : M = 
Bài 6 : Tính gần đúng độ dài đường chéo của ngũ giác đều cạnh bằng 2 cm.
Bài 7 : Cho đường tròn (O; 7cm) . Một dây cung AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp, một dây cung BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn (O), điểm C và điểm A ở cùng một phía đối với BO. Tính độ dài gần đúng của đường cao AH.
Bài 8 : Tam giác ABC có góc A = 700, AB = 6cm , AC = 8,4 cm. Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
ĐỀ 39
(Thi khu vực, Bộ GD&ĐT 2004, lớp 9 . Đề chính thức)
Bài 1 : tính kết quả đúng của các tích sau :
a) M = 2222255555 x 2222266666 ; 	b) N = 20032003 x 20042004
Bài 2 : Tìm giá trị của x, y viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau :
a) 4 + , 	b) 
Bài 3 : a) Giải phương trình sau, tính x theo a, b (với a > 0, b > 0)
Cho biết a = 250204 , b = 260204 , tính giá trị của x ?
Bài 4 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10 000 người. Người ta dự đoán sau hai năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10 404 người .
a)Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm?
b)Hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu ?
Bài 5 : Cho hình vẽ, biết AD và BC cùng vuông góc với AB, AD = 10cm. AED = BCE, AE = 15cm , BE = 12cm.
a)Tính số đo độ góc DEC ?
b)Tính diện tích tứ giác ABCD và diện tích tam giác DEC ?
c)Tính tỉ số phần trăm giữa SDEC và SABCD .
Bài 6 : Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc bằng DAB. Biết rằng AB = a = 12,5cm , DC = b = 28,5cm.
a)Tính đọ dài x của đường chéo BD.
b)Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hai tam giác ABD và BDC (chính xác đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a = 14,25cm , AC = b = 23,5cm. AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác ABC.
a)Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
b)Tính diện tích tam giác ADM
Bài 8 : Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = -15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9 .
a)Tìm các hệ số b, c , d của đa thức.
b)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (x – 4 ).
c)Tìm số dư r2 trong phép chia P(x) cho 2x + 3 .
Bài 9 : Cho dãy số Un = , với n = 0, 1, 2, 3, ...
a)Tính 5 số hạng đầu của dãy số U0, U1, U2, U3, U4.
b)Chứng minh rằng Un+2 = 10Un+1 – 18Un .
c)Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 trên máy tính Casio. 
Bài 10 : Cho dãy số Un = , với n = 0, 1, 2, 3, ...
a)Tính 5 số hạng đầu của dãy số U0, U1, U2, U3, U4.
b)Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1
c)Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 trên máy tính Casio.
ĐỀ 40
(Thi khu vực, Bộ GD và ĐT, THCS – 2005 – Đề chính thức )
Bài 1(5 điểm)
1.1. Tính giá trị của biểu thức : a) A = 
b) B = 
1.2.Tìm nghiệm của phương trình :
Bài 2(5 điểm) 
2.1. Cho bốn số A = [(23)2}3 , B = [(32)3]2 , C = , D = 
Hãy so sánh số A với số B , so sánh số C với số D
2.2 . Nếu E = 0,3050505...là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là (05) được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng của tử và mẫu của phân số đó là : 
A/ 464 , B/ 446 , C/ 644 , D/ 646 , E/ 664 , F/ 466
Bài 3(5 điểm) :
3.1. Chỉ với các chữ số 1 , 2 , 3 hỏi có thể viết nhiều nhất bao nhiêu số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó.
3.2. Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có 7 chữ số, được viết ra từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chi hết cho 2. Hãy tính các số n , k , m .
Bài 4 (5 điểm) : Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và x – 3 . Hãy tìm giá trị của m , n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức.
Bài 5 (5 điểm) : Cho phương trình x4 – 2x3 + 2x2 + 2x – 3 = 0 (1)
5.1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)
5.2.Phương trình (1) có số nghiệm nguyên là :
A. 1 ; B. 2 ; C. 3 ; D. 4
(Trả lời bằng cách khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng)
Bài 6(5 điểm) : Biết diện tích hình thang vuông ABCD là S = 9,92cm2, AB = a = 2,25cm , ABD = a = 500. Tính độ dài các cạnh AD , DC , BC và số đo các góc ABC và BCD.
Bài 7 (6 điểm) Tam giác ABC vuông tại đỉnh C có độ dài cạnh huyền AB = a = 7,5cm ; góc A = a = 58025’. Từ đỉnh C vẽ đường phân giác CD vàđường trung tuyến CM của tam giác. Tính độ dài các cạnh AC , BC, diện tích của tam giác ABC và CDM.
Bài 8(4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có độ dài cạnh AB = c = 32,25cm ; AC = b = 35,75cm , số đo góc A = a = 63025’. Tính diện tích tam giác ABC, độ dài cạnh BC, số đo góc B , C
Bài 9(5 điểm) Cho dãy số Un = , n = 1, 2, 3, ...
9.1.Tính 5 số hạng đầu của dãy : U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5 
9.2. Chứng minh rằng Un+2 = 6Un+1 - 7Un.
9.3. Lập quy trình bấm máy liện tục tính Un+2 trên máy tính Casio.
Bài 10(5 điểm) : Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 1322005
Biết rằng x lần lượt nhận các giá trị 1 , 2 , 3 , 4 thì giá trị tương ứng của đa thức lần lượt là 8 , 11 , 14 , 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13 , 14, 15 ./.