Bài tập Tìm số dư trong phép chia số a cho số b

2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b:
Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ¹ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho:
a = bq + r và 0 £ r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:
+ Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ , số b vào ô nhớ 
+ Bước 2: Thực hiện phép chia cho {ghi nhớ phần nguyên q}
+ Bước 3: Thực hiện q = r
Bài 5: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975
b) Tính số dư
c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó.
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 3041975 
 (6,213716089)
 6 (650119)
b) Số dư là: r = 650119
c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240
Bài 6: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)
Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456
Đáp số: q = 5263; r = 7861
Bài 7: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm số dư trong phép chia: 
a) 987654321 cho 123456789
b) 815 cho 2004
H.Dẫn:
a) Số dư là: r = 9
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732
- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968
 Þ Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004 
Þ Số dư là: r = 1232
4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó:
ak º ak + l (mod m) (1)
Với mọi n ³ k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được:
 an º an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ?
Giải: Ta có: 
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 º 3 (mod 5), 24 = 16 º 1 (mod 5) (1)
Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được:
25 = 24.2 º 1x2 º 2 (mod 5)
26 = 25.2 º 2x2 º 4 (mod 5)
27 = 26.2 º 4x2 º 3 (mod 5)
...
Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
3
1)
(2
4
3
1)
(2
4
3
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên.
Bài 10: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Giải:
* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 
Giải:
- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau:
1 2 
 1 ...)
ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
8
6)
(2
4
8
6)
(2
4
8
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia cho 10 là 2
Vậy chữ số cuối cùng của số là 2.
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: 
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
2
(4
8
16
32
64
28
56
12
24
48
96
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
92
84
68
36
72
44
88
76
52)
(4
8
16
Þ các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:
1999 º 19 (mod 20) Þ số dư khi chia 21999 cho 100 là 88
2000 º 0 (mod 20) Þ số dư khi chia 22000 cho 100 là 76
2001 º 1 (mod 20) Þ số dư khi chia 22001 cho 100 là 52
88 + 76 + 52 = 216 º 16 (mod 100)
Þ số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta có:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là:
.
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Vì là số nguyên tố và .
Nên ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Cách 1:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Cách 2:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Bài 13: Chứng minh rằng +10 chia hết cho 11
Giải:
- Ta có: 14 º 3 (mod 11) Þ º (mod 11)
Do 38 = 6561 º 5 (mod 11), nên = 65612004 º 52004 (mod 11)
Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 11:
51
52
53
54
55
56
57
58
...
(5
4
9
1)
(5
4
9
1)
...
Þ 52004 = (54)501 º 1501 (mod 11) º 1 (mod 11) (1)
Mặt khác: 10 º 10 (mod 11) (2)
Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có:
+10 º 11 (mod 11) º 0 (mod 11) Þ +10 chia hết cho 11.
Bài 14: Chứng minh rằng số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
Giải:
1) Trước hết tìm số dư của phép chia 222555 cho 7:
- Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 º 5 (mod 7) Þ 222555 º 5555 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 7:
51
52
53
54
55
56
57
58
...
(5
4
6
2
3
1)
(5
4
...
Þ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 º 53 º 6 (mod 7) (1)
Vậy số dư khi chia 222555 cho 7 là 6.
2) Tương tự, tìm số dư của phép chia 555222 cho 7:
- Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 º 2 (mod 7) Þ 555222 º 2222 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 2 cho 7:
21
22
23
24
25
26
27
28
...
(2
4
1
2
4)
(2
4
1
...
Þ 2222 = 23.74 = (23)74 º 174 º 1 (mod 7) (2)
Vậy số dư khi chia 555222 cho 7 là 1.
Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được: 
222555 + 555222 º 6 + 1 º 0 (mod 7)
Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:
1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).
2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
...
Bài 31: Tìm số dư khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giải:
- Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; với a, b t Î N
Þ A.B chia 2000 có số dư là 1376.
Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi chia cho 2000) thì được dư là 1376. Đề bài ứng với k = 2005!
Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
H.Dẫn:
- Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 
 = 7 x 29 x 210 x (220)99
- Ta có (dùng máy): 29 = 512 
 210 = 1024 ;
 220 = 1048576
Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76.
Þ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16.
Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16
(Xem cách giải khác ở bài 12) Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Giải:
- Ta có: 54 = 625
- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó:
 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết:
-Ta có khai triển:
- Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau:
1) an - bn chia hết cho a - b (a ¹ b)
2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a ¹ -b)
3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số của a)
Đặc biệt:
(a + 1)n = BS a + 1
(a - 1)2n = BS a + 1
(a - 1)2n + 1 = BS a - 1
Bài 34: Tìm số dư khi chia 2100 cho:
a) 9 b) 5 c) 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 9 là 23 = 8 = (9 - 1)
- Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Vậy số dư khi chia 2100 cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 25 là 210 = 1024 = (BS 25 - 1)
- Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 
Vậy số dư khi chia 2100 cho 25 là 1
c) Dùng công thức Newton:
Để ý rằng 48 số hạng đầu đều chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, hai số hạng kế tiếp cũng chia hết cho125, số hạng cuối là 1. 
Vậy 2100 = BS 125 + 1 Þ Số dư của 2100 khi chia cho 125 là 1
Tổng quát: Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì chia n100 cho 125 ta được số dư là 1.
Bài 35: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
H.Dẫn: - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000.
- Trước hết tìm số dư của phép chia 2100 cho 125. Theo bài 34: 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy tính để thử):
 126, 376, 626 hoặc 876.
- Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho 5 thì ... a có 82009 = (87)287
87 º 1(mod 49)	
Þ (87)287 º 01(mod 49)
Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.
Bài toán 5:
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 º 67(mod 100)
320 = 3486784401 º 01(mod 100)
Þ (320)499 º 01(mod 100)
Do đó (320)499.319 º 67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 º 88(mod 100)
220 = 1048576 º 76(mod 100)
Þ (220)499 º 76(mod 100)
Do đó (220)499.219 º 76.88(mod 100) º 88(mod 100)
Þ39999 + 29999 º (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) 
Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55
Thuật toán tìm số chữ số của luỹ thừa:
Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số. 
Ta có làm tròn thành . 
Như vậy gồm số. 
Lưu ý: ở đây là logarit cơ số 10 của 2
Tìm chu kì của phép chia có dư:
Thí dụ 
Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó khăn hơn nhiều. Phương pháp chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số 1.... cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ. 
Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu 1 cách bấm, sau 1 giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong chu kỳ. 
cách bấm như sau: 
A=1 B=57 
(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B 
C2:nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) 
Chẳng hạn như tìm chu kì của 
1 |shift| |sto| |A| 
(chỉ 7 số 0 thôi) 
Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| 
ấn dấu mũi tên lên rồi nhấn |shift| |copy| 
chỉ việc nhấn = = =... là ra chu kì của fép chia 
ĐS: ) 
Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu ngầm có 1 hay 2 chữ số 0 ở trước!!!!!
Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa:
Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n 
Heheh , có phải rất hay không nào . 
Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì thật là , quá oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau : 
Tìm 1 chữ số tận cùng của : 
* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . 
* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 
2^4k đồng dư 6 ( mod 10 ) 
3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 
7^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 
Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 } 
Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) 
Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) 
_ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n 
Ta có nhận xét sau : 
2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 
3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 
6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 
7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) 
Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 
và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2 
Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : 
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) 
Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 
_ Ta có : 
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) 
Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . 
Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc 
Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n
Tìm số dư trong phép chia:
Các dạng thường gặp: 
1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số 
Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer) 
chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số 
Ví dụ: 
Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi cùng với nó 
2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác: 
Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không? 
Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư 
Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn.
Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b.
-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng.
VD: Tìm số dư của 1112 cho 2001.
Giải: 
116=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676.
Vì 1112=(116)2 chia cho 2001 dư là: 6762:2001 dư là 748
Vậy dư của phép chia trên là 784.
-Cơ sở lý luận:
Để tìm số dư an cho b ta làm như nhau:
-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r 
 (Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển.
Vậy chỉ tìm xem rn chia cho b dư là mấy.
Bài tập áp dụng: 
Tìm số dư trong phép chia a cho b:
Đáp số 918
Đáp số 892
1/ a=736; b=2003.	2/ a=7218 ; b=2009.363
Đáp số 170
3/ a= 1318+1320; b=6954
Đáp số 2514
4/ a=1358+2475 ; b= 3311
Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:
* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng: 
-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên.
Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3202.
Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Chữ số cuối là 5 thì 5n có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1)
-Chữ số cuối là 6 thì 6n có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1)
-Ta có 
3202=3200.32=(35)40.32(1)
Vì 35 có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (35)40 là 340; 340=(35)8
Và chữ số cuối cùng là 38; 38=35.33 nên chữ số cuối cùng của 38 là 34.
Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của 32.34=35.3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9.
Ví dụ 3:
Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204.
Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13
Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202 là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27.
*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ từng bài để vận dụng:
Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512.
356=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25.
Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)2=625. Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523.
Ta có: 315=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07
Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323.
Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích 
(43)4 .49.23 . hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127.
(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23
(07)7=823543; 76=117649
	Suy ra
Vậy hai chữ số cuối cùng là 27.
Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501+64502.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501.
Ta có:
645=1073741824. Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824)100.64.
Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64
 ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736.
Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số cuối cùng của tích (224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864.
Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864. là ba chữ số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864
Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904.
Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904.
A=64501(1+64)=65.64501.
Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760.
II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN
a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
9124565217 cho 123456
987896854 cho 698521
b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
983637955 cho 9604325
903566896235 cho 37869.
1234567890987654321 : 123456
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
Vậy 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài tập thực hành:
Tìm số dư của phép chia :
138 cho 27
2514 cho 65
197838 cho 3878.
20059 cho 2007
715 cho 2001
III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA:
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
Giải:
Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
Do đó: 
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)