Bài tập ôn tập Toán Lớp 10 - Chương 5: Thống kê (Có lời giải)

 CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
 §1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
 §2. TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.Khái niệm về thống kê
Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu.
2. Mẫu số liệu
 · Dấu hiệu là một vấn đề hay hiện tượng nào đó mà người điều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi đối tượng điều tra 
gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị 
điều tra đó.
 · Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích 
thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế 
còn gọi là một số liệu của mẫu).
 · Nếu thực hiện điều tra trên trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên một mẫu 
thì đó là điều tra mẫu.
3. Bảng phân bố tần số - tần suất. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.
Tần số của giá trị xi là số lần lặp lại của giá trị xi trong mẫu số liệu.
 ni
Tần suất fi của giá trị xi là tỷ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N hay f = . 
 i N
Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm.
 · Bảng phân bố tần số (gọi tắt là bảng tần số) được trình bày ngang như sau:
 Giá trị (x) x1 x2 x3 . . . xm
 m
 Tần số (n) n1 n2 n3 . . . nm
 N= å ni
 i = 1
 m
Trên hàng tần số, người ta dành một ô để ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số (tức N = å ni ).
 i = 1
 · Bổ sung thêm một hàng tần suất vào bảng trên, ta được bảng phân bố tần số - tần suất (gọi tắt là bảng tần số 
- tần suất).
 Giá trị (x) x1 x2 x3 . . . xm
 m
 Tần số (n) n1 n2 n3 . . . xm
 N= å ni
 i = 1
 Tần suất % f1 f2 f3 . . . fm
Chú ý: Người ta cũng thể hiện bảng phân bố tần số - tần suất dưới dạng bảng dọc.
 é ù
 · Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng ëa;bû hay 
 éa;b (thường có độ dài các lớp bằng nhau). Khi đó tần số của lớp éa;bù là số giá trị x Î éa;bù (hay x Î éa;b 
 ë ) ë û i ë û i ë )
 n
) xuất hiện trong lớp đó. Tần suất của lớp éa;bù là f = trong đó n là tần số của lớp éa;bù và N là kích 
 ë û N ë û
thước mẫu.
- Bảng phân bố tần suất ghép lớp được xác định tương tự như trên. a + b
- Giá trị đại diện của lớp éa;bù là c = 
 ë û 2
4. Biểu đồ:
 Các loại biểu đồ thường dùng là: biểu đồ hình cột, biểu đồ đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. Số liệu vẽ 
biểu đồ được lấy từ các bảng tần số - tần suất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MẪU SỐ LIỆU.
1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT A được thống kê lại như sau.
 0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0
 1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0
a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?
b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên
Lời giải
a) Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A 
Kích thước mẫu là 30 
b) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 0;1;2;3;4;5;6 
Ví dụ 2: Để may đồng phục cho khối học sinh lớp năm của trường tiểu học A . Người ta chọn ra một lớp 5A , 
thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A (tính bằng cm) được ghi lại như sau :
 102 102 113 138 111 109 98 114 101
 103 127 118 111 130 124 115 122 126
 107 134 108 118 122 99 109 106 109
 104 122 133 124 108 102 130 107 114
 147 104 141 103 108 118 113 138 112
a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?
b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên
Lời giải
a) Dấu hiệu là chiều cao của mỗi học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 5A
Kích thước mẫu là N = 45 
b) Các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên là 
 102;113;138;109;98;114;101;103;127;118;111;130;124;115;122;126;107; 
 134;108;99;106;104;133;147;141;138;112
2. Bài tập luyện tập
Bài 5.0: Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:
 Điểm thi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Tần số 3 2 1 1 3 7 4 8 9 3 1
Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?
Bài 5.1: Số con của 40 gia đình ở huyện A được thống kê lại như sau
 2 4 3 2 0 2 2 3 4 5
 2 2 5 2 1 2 2 2 3 2
 5 2 7 3 4 2 2 2 3 2
 3 5 2 1 2 4 4 3 4 3
a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?
b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên
 Bài 5.2: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người điều 
 tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình . Kết quả thu được 
 ghi lại trong bảng sau (đơn vị là kg): 
 43 50 43 48 45 40 38 48 45 50 43 45 48 43 38
 40 43 48 40 43 45 43 50 40 50 43 45 50 43 45
Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu ? ➢ DẠNG TOÁN 2: TRÌNH BÀY MẤU SỐ LIỆU DƯỚI DẠNG BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ.
1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: 
 Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 Số khách 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880
Lập bảng phân bố tần số - tần suất
Lời giải
a) Bảng phân bố tần số - tần suất
 Số lượng khách ( người ) Tần số Tần suất%
 110 1 8,3
 430 3 24,9
 515 1 8,3
 520 2 16,8
 550 4 33,4
 800 1 8,3
 Cộng N= 12 100%
Ví dụ 2: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C. ( đơn vị : giây )
 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1
 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5
 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp :
 [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b) Vẽ đường gấp khúc tần suất
Lời giải
a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghéo lớp là
 Lớp Thành Tích ( m ) Tần số Tần suất %
 [6,0; 6,5) 2 6,0
 [6,5; 7,0) 5 15,2
 [7,0; 7,5) 10 30,4
 [7,5; 8,0) 9 27,4
 [8,0; 8,5) 4 12,0
 [8,5; 9,0] 3 9,0
 N= 33 100%
b) Ta có
 Lớp Thành Tích ( m ) Giá trị đại diện Tần suất %
 [6,0; 6,5) 6,25 6,0
 [6,5; 7,0) 6,75 15,2
 [7,0; 7,5) 7,25 30,4
 [7,5; 8,0) 7,75 27,4
 [8,0; 8,5) 8,25 12,0
 [8,5; 9,0] 8,75 9,0
Đường gấp khúc tần suất ghép lớp là 35
 30 30.4
 27.4
 25
 20
 15 15.2
 12
 10
 9
 6
 5
 0
 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75
Ví dụ 3: Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như sau :
 68 79 65 85 52 81 55 65 49 42 68 66 56 57 65 72
 69 60 50 63 74 88 78 95 41 87 61 72 59 47 90 74
a) Hãy trình bày số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp: 
 é é é é é é ù
 ë40;50); ë50;60); ë60;70); ë70;80); ë80;90); ë90;100û.
b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).
c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).
Lời giải
a) Ta có bảng phân bố là 
 Lớp điểm Tần số Lớp điểm Tần suất
 [40;50) 4 [40;50) 13%
 [50;60) 6 [50;60) 19%
 [60;70) 10 [60;70) 31%
 [70;80) 6 [70;80) 19%
 [80;90) 4 [80;90) 13%
 [90;100] 2 [90;100] 6%
 32 100%
 Bảng phân bố tân số ghép lớp Bảng phân bố tần suất ghép lớp
b) Biểu đồ đồ tần suất hình cột là 
 35%
 30% 31%
 25%
 20% 19% 19%
 15%
 13% 13%
 10%
 6%
 5%
 0%
 [40;50) [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100]
 Điểm
c) Biểu đồ hình quạt là Lớp Tần Góc ở 
 điểm suất tâm
 6% 13%
 13% [40;50) [40;50) 13% 46,80 
 [50;60) 0
 19% [50;60) 19% 68,4 
 [60;70)
 [60;70) 31% 111,60 
 19% [70;80)
 [80;90) [70;80) 19% 68,40
 31% [90;100) [80;90) 13% 46,80
 [90;100] 6% 21,60 
 N 100%
Nhận xét: Để vẽ đồ biểu đồ hình quạt ta xác định góc ở tâm hình quạt dựa vào công thức Đ 0 .
 O = fi .360
Ví dụ 4: Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực nghiệm bằng 
cách ra đề kiểm tra một tiết cho hai lớp(gần tương đương về trình độ kiến thức). Trong đó lớp 12A 3 đã được 
dạy áp dụng đề tài(lớp thực nghiệm), lớp 12A 4 (lớp đối chứng). Kết quả điểm của học sinh hai lớp như sau:
 Số Số bài Số bài kiểm tra đạt điểm Xi
 Lớp HS KT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 ĐC 12A3 43 86 1 3 6 8 15 20 20 12 2 1
 TN 12A4 46 92 0 1 4 5 16 21 23 15 3 3
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của hai lớp trên
b) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp(trong cùng một biểu đồ)
c) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp (trong cùng một biểu đồ) 
Lời giải
a) Bảng phân bố tần suất
 Số Số bài Số % bài kiểm tra đạt điểm Xi
 Lớp
 HS KT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 ĐC 12A3 43 86 1,1 3,1 7,6 10,2 17,6 22,3 22,1 12,3 2,3 1,2
 TN 12A4 46 92 0,0 1,2 4,1 5,3 18,5 22,8 25,9 14,5 4,4 3,0
b) Biểu đồ phân bố tần suất của hai lớp
 30.0
 25.0
 20.0
 ĐC
 t
 ấ
 u
 s 15.0
 TN
 n
 ầ
 T 10.0
 5.0
 0.0
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Điểm
c) Đường gấp khúc tần suất của hai lớp 30.0
 25.0
 t
 ấ 20.0
 u
 s ĐC
 n 15.0
 ầ TN
 T 10.0
 5.0
 0.0
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Điểm
3. Bài tập luyện tập.
Bài 5.3: Điểm kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau:
Nhóm 1: (9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9
Nhóm 2: (11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10
a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm.
b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.
Bài 5.4: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao (đơn vị là milimét) 
của các cây hoa được trồng:
 Nhóm Chiều cao Số cây đạt được
 1 Từ 100 đến 199 20
 2 Từ 200 đến 299 75
 3 Từ 300 đến 399 70
 4 Từ 400 đến 499 25
 5 Từ 500 đến 599 10
a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột .
c) Vẽ đường gấp khúc tần suất
Bài 5.5: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau: 
 Lớp chiều cao (cm) Tần số
 [ 168 ; 172 ) 4
 [ 172 ; 176 ) 4
 [ 176 ; 180 ) 6
 [ 180 ; 184 ) 14
 [ 184 ; 188 ) 8
 [ 188 ; 192 ] 4
 Cộng 40
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?
b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).
c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).
Bài 5.6: Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán của 926 em học sinh Trường THPT A cho ta kết quả sau đây:
 Điểm bài thi (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Tần số (n) 17 38 . . . 124 176 183 119 . . . 50 25
 Tần suất % . . . . . . 12,10 . . . . . . . . . 8,63 8,86
a) Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống.
b) Vẽ biểu đồ hình cột tần số.
c) Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất. Bài 5.7: Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp hai lớp gồm lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối 
chứng (ĐC) được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau đây: 
 Số Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Điểm
 Lớp
 HS
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TB
 10 C1 46 0 1 2 6 10 12 8 7 0 0 6.3
 10 C2 46 0 0 0 2 4 6 12 10 8 4 7.4
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên(trong một bảng)
b) Vẽ biểu đồ tần suất (trong một biểu đồ)
 §3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Số trung bình
 Với mẫu số liệu kích thước N là {x1,x2,...,xN } :
 N
 x
 å i x + x + ... + x
 x = i = 1 = 1 2 N
 N N
 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số:
 N
 n x
 å i i n x + n x + ... + n x
 x = i = 1 = 1 1 2 2 k k
 N N
 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp:
 N
 å nici
 i = 1 n1c1 + n2c2 + ... + nkck
 x = = (ci là giá trị đại diện của lớp thứ i)
 N N
2. Số trung vị
Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi đó số trung 
vị Me là:
– Số đứng giữa nếu N lẻ;
 N N
– Trung bình cộng của hai số đứng giữa (số thứ và + 1) nếu N chẵn.
 2 2
3. Mốt
Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO .
Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu.
– Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu của mẫu.
– Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn
Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương 
sai s2 và độ lệch chuẩn s = s2 .
 Với mẫu số liệu kích thước N là {x1,x2,...,xN } :
 2
 1 N 1 N 1 æN ö
 s2 = (x - x)2 = x 2 - ç x ÷
 å i å i 2 çå i ÷
 N i = 1 N i = 1 N è i = 1 ø
 = x 2 - (x)2 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất:
 2
 1 k 1 k 1 æk ö
 s2 = n (x - x)2 = n x 2 - ç n x ÷
 å i i å i i 2 çå i i ÷
 N i = 1 N i = 1 N è i = 1 ø
 k k æk ö2
 = f (x - x)2 = f x 2 - ç f x ÷
 å i i å i i çå i i ÷
 i = 1 i = 1 è i = 1 ø
 Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
 2
 1 k 1 k 1 æk ö
 2 2 2 ç ÷
 s = ni (ci - x) = nici - ç nici ÷
 N å N å N 2 èçå ø÷
 i = 1 i = 1 i = 1 
 k k æk ö2
 = f (c - x)2 = f c2 - ç f c ÷
 å i i å i i çå i i ÷
 i = 1 i = 1 è i = 1 ø
(ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I;
N là số các số liệu thống kê N = n1 + n2 + ... + nk )
Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê 
càng lớn.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 ➢ DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia đình
 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116
 112 113 113 114 115 114 116 117 113 115
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất
b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt
Lời giải
Bảng phân bố tần số - tần suất:
 Giá trị x Tần số Tần suất (%)
 111 1 5
 112 3 15
 113 4 20
 114 5 25
 115 4 20
 116 2 10
 117 1 5
 N=20 100
b) * Số trung bình:
 1
 x = (1.111 + 3.112 + 4.113 + 5.114 + 4.115 + 2.116 + 1.117) = 113,9
 20
* Số trung vị: Do kích thước mẫu N = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng 
 N N
thứ = 10 và + 1 = 11 đó là 114 và 114.
 2 2
Vậy M e = 114
*Mốt: Do giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có: M 0 = 114 .
Ví dụ 2: Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường 
A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm 
10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.
 Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100
a) Tìm mốt, số trung vị. 
b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).
Lời giải a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất MO = 7 
Kích thước mẫu là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai số đứng giữa
 6 + 7
Vậy M = = 6,5 
 e 2
b) Ta có số trung bình cộng là 
 n x + n x + ... + n x 0.1 + 1.1 + 2.3 + ... + 10.2
 x = 1 1 2 2 k k = = 6,23
 N 100
 k k
 2
Ta có å ni xi = 4277, å ni xi = 623
 i = 1 i = 1
 2 2
 1 k 1 æk ö 4277 æ623ö
Suy ra phương sai là s2 = n x 2 - ç n x ÷ = - ç ÷ = 3,96
 å i i 2 çå i i ÷ ç ÷
 N i = 1 N è i = 1 ø 100 è100ø
Do đó độ lệch chuẩn là S » 1,99.
Ví dụ 3: Tiền lãi (nghìn đồng) trong 30 ngày được khảo sát ở một quầy bán báo.
 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 
 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau:
 [29.5; 40.5), [40.5; 51.5), [51.5; 62.5), [62.5; 73.5), [73.5; 84.5), [84.5; 95.5]
b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ?
Lời giải
a) Bảng phân bố tần số và tần suất là
 Lớp Tần số Tần suất
 tiền lãi
[29,5;40,5) 3 10%
[40,5;51,5) 5 17%
[51,5;62,5) 7 23%
[62,5;73,5) 6 20%
[73,5;84,5) 5 17%
[84,5;95,5] 4 13%
 N 30 100%
 N
 å nici
 i = 1
b) Ta có x = nên Giá trị
 N Lớp Tần số
 đại diện
 tiền lãi
 3.35 + 5.46 + 7.57 + 6.68 + 5.79 + 4.90 ci
 x = 2 = 63,23
 30 [29,5;40,5) 3 35
 [40,5;51,5) 5 46
 k k
 2 [51,5;62,5) 7 57
Ta có å nici = 128347, å nici = 1897
 i = 1 i = 1 [62,5;73,5) 6 68
 [73,5;84,5) 5 79
Suy ra phương sai là 
 [84,5;95,5] 4 90
 2 2
 1 k 1 æk ö 128347 æ1897ö
 s2 = n c2 - ç c x ÷ = - ç ÷ » 279,78
 å i i 2 çå i i ÷ ç ÷
 N i = 1 N è i = 1 ø 100 è 100 ø
Do đó độ lệch chuẩn là S » 16,73. Ví dụ 4: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là 5. 
Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị 
nhỏ nhất. 
Lời giải
Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a, b, c, d với 0 < a < b < c < d , a, b, c, d Î N
 b + c
Ta có M = = 5 Þ b + c = 10
 e 2
Mà x = 6 Þ a + b + c + d = 24 Þ a + d = 14
 ïì a 1
Ta có íï Þ íï hay 1 < b < 5 mà b Î N Þ b Î {2;3;4} 
 ï b + c = 10 ï 10 > 2b
 îï îï
 · Nếu b = 2 thì c = 8, mà 0 < a < b,a Î N Þ a = 1,d = 13 
Khi đó các giá trị của mẫu số liệu là 1;2;8;13 
 éa = 1 Þ d = 13
 · Nếu b = 3 thì c = 7, mà 0 < a < b,a Î N Þ ê
 êa = 2 Þ d = 12
 ëê
Khi đó có hai mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;3;7;13 và 2;3;7;12
 éa = 1 Þ d = 13
 ê
 ê
 · Nếu b = 4 thì c = 6, mà 0 < a < b,a Î N Þ êa = 2 Þ d = 12
 êa = 3 Þ d = 11
 ëê
Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;4;6;13, 2;4;6;12 và 3;4;6;11
Suy ra với mẫu số liệu có các giá trị là 3;4;6;11 thì hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 5.8: Đo chiều cao (cm) của 40 học sinh nam ở một trường THPT, người ta thu được mẫu số liệu sau:
 176 167 165 164 144 176 162 175 149 144
 176 166 166 163 156 170 161 176 148 143
 175 174 175 146 157 170 165 176 152 142
 163 173 175 147 160 170 169 176 168 141
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp theo chiều cao của học sinh với các lớp: [141;146], [147;152] , 
 , [171;176] .
b) Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính chiều cao trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 
số liệu đã cho. 
Bài 5.9: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho trong bảng sau: (thang điểm 
là 20) 
 Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100
a) Tính số trung bình và số trung vị.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 5.10: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau:
Tổ I 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12
Tổ II 2 3 4 4 4 5 5 7 7 8
Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?
Bài 5.11: Thống kê điểm kiểm tra toán của lớp 10C , giáo viên bộ môn thu được số liệu :
 Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Tần số 1 1 1 5 6 7 11 5 4 2 2 N = 45
Tính : Số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần chục)