Bài tập ôn tập Toán Lớp 10 - Bài 4.1: Bất đẳng thức (Có lời giải)

 DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1. Cho các bất đẳng thức a b và c d . Bất đẳng thức nào sau đây đúng
 a b
 A. a c b d .B. a c b d .C. ac bd .D. .
 c d
 Lời giải
 ChọnB.
 a b
 Theo tính chất bất đẳng thức, a c b d .
 c d
Câu 2. Tìm mệnh đề đúng.
 A. a b ac bc .B. a b ac bc .
 a b
 C. a b a c b c . D. ac bd .
 c d
 Lời giải
 ChọnC.
 Ta có: a b a c b c
Câu 3. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?
 0 a b a b a b
 A. .B. a c b d .
 0 c d d c c d
 a b 0 a b
 C. a c b d . D. ac bd .
 c d 0 c d
 Lời giải
 ChọnB.
 Không có tính chất hiệu hai vế bất đẳng thức.
 1 2
 Ví dụ 1 5 2 1, Sai.
 5 1
Câu 4. Nếu a 2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
 1 1
 A. 3a 3b . B. a2 b2 .C. 2a 2b .D. .
 a b
 Lời giải
 ChọnC.
 a 2c b 2c a b 2a 2b .
Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
 x 1 1
 A. x x x x 0 .B. x2 3x x 3 .C. 0 .D. 0 x 1.
 x2 x
 Lời giải
 ChọnA. Câu 6. Suy luận nào sau đây đúng?
 a b 0 a b
 A. ac bd .B. a c b d .
 c d 0 c d
 a b a b a b
 C. ac bd .D. .
 c d c d c d
 Lời giải
 ChọnA.
 a b 0
 ac bd đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.
 c d 0
Câu 7. Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 A. x a a x a . B. x a x a .
 x a
 C. x a x a .D. x a .
 x a
 Lời giải.
 ChọnD.
Câu 8. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a ?
 A. 6a 3a . B. 3a 6a .C. 6 3a 3 6a .D. 6 a 3 a .
 Lời giải
 ChọnD.
 Ta có 6 a 3 a 6 a 3 a 0 3 0 với mọi số thực a nên ChọnD.
Câu 9. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho 4 số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn a b và c d . 
 Kết quả nào sau đây đúng nhất?
 1 1
 A. . B. ac bd .C. a d b c .D. a c b d .
 b a
 Lời giải
 Chọn C
 a b
 Từ a c b d a d b c .
 c d
Câu 10. Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 1 1
 A. a b a b 0 .B. a b 0 .C. a b a3 b3 .D. a b a 2 b2 .
 a b
 Lời giải
 Chọn D
 Các mệnh đề A, B, C đúng.
 Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: 2 5 nhưng 2 2 4 25 5 2 .
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? a b a b
 A. a c b d .B. a c b d .
 c d c d
 a b a b
 C. ac bd .D. a c b d .
 c d c d
 Lời giải
 ChọnD.
 Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có 
 a b
 a c b d .
 c d
Câu 12. Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. 2a 2b . B. C. - a < - b. D. ac cb,c ¡ .
 Lời giải
 Chọn C
 Câu A sai ví dụ 2 > 0 Þ 2.2 > 2.0
 Câu B sai với a = 3,b = 2,c = - 2 .
 Câu C đúng vì - a b.
 Câu D sai khi c £ 0.
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 A. a b a b .B. x a a x a, a 0 .
 C. a b ac bc, c ¡ . D. a b 2 ab , a 0,b 0 .
 Lời giải
 Chọn C
 Các mệnh đề A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Mệnh đề D đúng theo bất đẳng thức Cô- Si cho 2 số không âm a và b .
 Mệnh đề C sai khi c 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất 
 đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).
Câu 14. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 0 x 1 x 1 x 1 x x 1
 A. xy 1. B. xy 1.C. 1.D. x y 1.
 y 1 y 1 y 1 y y 1
 Lời giải
 ChọnA.
 0 x 1
 Với xy x 1 A đúng.
 y 1
 x 3 1 x
 Chọn xy 3 1 B, C sai.
 y 1 1 y
 x 1 1
 Chọn x y 2 1 D sai.
 y 3 1 Câu 15. Phát biểu nào sau đây là đúng?
 2
 A. x y x2 y2 .B. x y 0 thì x 0 hoặc y 0.
 C. x y x2 y2 . D. x y 0 thì x.y 0 .
 Lời giải
 ChọnB.
 Nếu x y 0 thì ít nhất một trong hai số x , y phải dương.
 x 0
 Thật vậy nếu x y 0 mâu thuẫn.
 y 0
Câu 16. Cho a b 0. Mệnh đề nào dưới đây sai?
 a b 1 1 a2 1 b2 1
 A. . B. .C. .D. a2 b2 .
 a 1 b 1 a b a b
 Lời giải
 ChọnA.
 a b
 a b 0 a 1 b 1 1 .
 a 1 b 1
 DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG
Câu 17. Bất đẳng thức Côsi cho hai số a, b không âm có dạng nào trong các dạng được cho dưới đây?
 a b a b a b a b
 A. 2 a b . B. 2 ab .C. ab .D. 2 ab .
 2 2 2 2
 Lời giải
 Chọn C
Câu 18. Cho ba số không âm a,b,c . Khẳng định nào sau đây đúng?
 A. a b c 33 abc . B. abc 33 a b c .C. a b c 3 abc .D. a b c 4 3 abc .
 Lời giải
 Chọn A
 a b c
 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 3 abc a b c 33 abc .
 3
Câu 19. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b 4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
 A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2 .B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.
 C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4 .D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2 .
 Lời giải
 Chọn C
 a b 2
 Với mọi số thực a và b ta luôn có: a.b a.b 4. Dấu “=” xảy ra 
 4
 a b 2. Vậy tích a.b lớn nhất bằng 4 .
Câu 20. Mệnh đề nào sau đây sai?
 a x 1
 A. a b x y .B. a 2 a 0 .
 b y a
 1 1
 C. a b 2 ab a,b 0 . D. a b a,b 0 .
 a b
 Lời giải
 ChọnD.
 Theo tính chất của bất đẳng thức và bất đẳng thức Côsi thì A, B, C luôn đúng.
 1 1
 Ta có nếu b a 0 là sai.
 a b
Câu 21. Cho các mệnh đề sau
 a b a b c 1 1 1 9
 2 I ; 3 II ; III 
 b a b c a a b c a b c
 Với mọi giá trị của a , b , c dương ta có
 A. I đúng và II , III sai. B. II đúng và I , III sai.
 C. III đúng và I , II sai.D. I , II , III đúng.
 Lời giải
 ChọnD.
 Với mọi a , b , c dương ta luôn có:
 a b a b a b
 2 . 2 , dấu bằng xảy ra khi a b . Vậy I đúng.
 b a b a b a
 a b c a b c a b c
 33 . . 3 , dấu bằng xảy ra khi a b c . Vậy II đúng.
 b c a b c a b c a
 1 1 1 3 1 1 1 1 9
 a b c . 3 abc.33 9 , dấu bằng xảy ra khi 
 a b c abc a b c a b c
 a b c . Vậy III đúng.
 16
Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 , x 0 bằng
 x
 A. 4 . B. 24 .C. 8.D. 12.
 Lời giải
 ChọnD.
 Côsi
 2 16 2 8 8 8 8
 Ta có: P x x 33 x2. . 12 . Vậy P 12 .
 x x x x x min
 3
Câu 23. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x với x 0 là
 x A. 4 3 . B. 6 .C. 2 6 .D. 2 3 .
 Lời giải
 ChọnC.
 3
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 2x 2 6 suy ra giá trị nhỏ nhất của f x bằng 2 6 .
 x
Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 4 x .
 A. 2 .B. 2 .C. 2 2 .D. 0 .
 Lời giải
 ChọnB.
 A x 2 4 x có tập xác định D 2;4.
 Ta có: A2 2 2 x 2 4 x 2 A 2 , dấu bằng xảy ra khi x 2 hoặc x 4 .
 4x4 3x2 9
Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y ; x 0 là
 x2
 A. 9 . B. 3 .C. 12.D. 10.
 Lời giải
 ChọnA.
 4x4 3x2 9 9
 Xét hàm số y 4x2 3.
 x2 x2
 9 9
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có 4x2 2 4x2. 12 y 9 .
 x2 x2
 4x4 3x2 9 9 3 6
 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 9 khi 4x2 x2 x .
 x2 x2 2 2
 4 9 a
Câu 26. Hàm số y với 0 x 1, đạt giá trị nhỏ nhất tại x ( a , b nguyên dương, phân số 
 x 1 x b
 a
 tối giản). Khi đó a b bằng
 b
 A. 4 . B. 139.C. 141.D. 7 .
 Lời giải
 ChọnD.
 a 2 a 2 a 2 (a a ... a )2
 Theo BĐT CAUCHY – SCHAWARS: 1 2 ... n 1 2 n , trong đó các số 
 b1 b2 bn b1 b2 ... bn
 bi 0
 Vì 0 x 1 nên x 0 và 1 x 0
 2
 4 9 22 32 2 3 
 Từ đó y 25
 x 1 x x 1 x x 1 x 2 a
 Suy ra y 25 khi x a b 7 .
 min 5 b
 2a
Câu 27. Cho a là số thực bất kì, P . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a .
 a2 1
 A. P 1. B. P 1.C. P 1.D. P 1.
 Lời giải
 ChọnD.
 2
 Với a là số thực bất kì, ta có: a 1 0 a2 2a 1 0
 2a
 a2 1 2a 1 .
 a2 1
 Hay P 1.
 x 1
Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với x 1.
 4 x 1
 7 1 5
 A. . B. 1.C. .D. .
 4 4 4
 Lời giải
 Chọn D
 Với x 1 x 1 0
 x 1 x 1 1 1
 P 
 4 x 1 4 x 1 4
 x 1 1
 Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương  có
 4 x 1
 x 1 1 x 1 1
 2. .
 4 x 1 4 x 1
 x 1 1
 1
 4 x 1
 x 1 1 2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1 4 x 3 (vì x 1)
 4 x 1
 5
 Do đó P 
 4
 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng (khi x 3).
 4
Câu 29. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 y x3 2 1 x3 1 x3 2 1 x3 1 là
 A. 1. B. 2 .C. 3 .D. 0 .
 Lời giải
 Chọn B
 Hàm số xác định khi: x3 1 0 x 1.
 2 2
 y x3 2 1 x3 1 x3 2 1 x3 1 x3 1 1 x3 1 1 . x3 1 1 1 x3 1 2 x 1.
 Dấu “=” xảy ra khi: x3 1 1 1 x3 1 0
 Do x3 1 1 0 x 1 nên x3 1 1 0 x3 1 1 x 0
 Với x 0 ta có: y 0 2 min y 2 tại x 0 .
 x 2
Câu 30. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x với x 1 là
 2 x 1
 5
 A. 2 .B. .C. 2 2 .D. 3.
 2
 Hướng dẫn giải
 ChọnB.
 x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5
 Ta có: f x 2 . .
 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2
 x 1
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 x 3.
 2 x 1
 5
 Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng .
 2
 x 2
Câu 31. Cho x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng
 x
 1 2 2 1
 A. . B. .C. .D. .
 2 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 ChọnA.
 2
 2 x 2 1 2 1 1 1 1 1 2
 Ta có f x 0 và f x 2 0 f x .
 2 2 
 x x x 8 x 4 8 2 2 4
 2
 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng đạt được khi x 4.
 4
 x 2017
Câu 32. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y là
 x 2018
 2017 2018
 A. 2 . B. .C. .D. 2019 .
 2018 2017
 Lời giải
 Chọn A
 Tập xác định của hàm số D 2018; . x 2017 x 2018 1 1
 Ta có y x 2018 .
 x 2018 x 2018 x 2018
 1
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x 2018 2 .
 x 2018
 1
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2018 x 2018 1 x 2019 .
 x 2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi và chỉ khi x 2019 .
Câu 33. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 6 2x 3 2x .
 A. M không tồn tại; m 3 .B. M 3; m 0 .
 C. M 3 2 ; m 3 .D. M 3 2 ; m 0 .
 Lời giải
 Chọn C
 3 
 Tập xác định của hàm số D ;3 .
 2 
 3 
 Ta thấy y 0 x ;3 .
 2 
 3 3 
 Có y2 9 2 6 2x 3 2x 9 x ;3 . Suy ra y 3 ;x ;3 .
 2 2 
 3
 x 
 Dấu bằng xảy ra khi 2 . Vậy Min y 3.
 3 
 x ;3 
 x 3 2 
 3 
 Theo BĐT Cô Si ta có 2 6 2x 3 2x 6 2x 3 2x 9 với x ;3 .
 2 
 3 3 
 Suy ra y2 18,x ;3 y 3 2,x ;3 .
 2 2 
 3
Dấu bằng xảy ra khi 6 2x 3 2x x . Vậy Max y 3 2 .
 4 3 
 x ;3 
 2 
 x
Câu 34. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho biểu thức f x , với x 1. Giá trị nhỏ nhất 
 x 1
 của biểu thức là
 A. 2 . B. 3 .C. 1.D. 0 .
 Lời giải
 ChọnA.
 x 1 1
 Với x 1, ta có f x x 1 2 x 1. 2 .
 x 1 x 1 x 1 1
 Vậy Min f x 2 khi x 1 x 2 .
 x 1
Câu 35. Cho các số thực a , b thỏa mãn ab 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 a2 b2 2a 2b
 P 1.
 b2 a2 b a
 A. 3 . B. 1.C. 1.D. 3.
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có 
 2 2
 a2 b2 2a 2b a2 2a b2 2b a b 
 P 2 2 1 2 1 2 1 3 1 1 3 3 . 
 b a b a b b a a b a 
 a
 1
 b
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 0 .
 b
 1
 a
 Vậy min P 3 khi a b 0 .
Câu 36. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x, y là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa 
 3 1
 mãn (x + 2y) + 8xy ³ 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 8x4 + (y4 - 2xy) bằng
 2
 1
 A. - . B. - 4 .C. 0 .D. - 2 .
 16
 Lời giải
 Chọn A
 2
 4 1 4 2 1 1 1
 Ta có P 8x y xy 4 xy xy 2xy 
 2 4 16 16
 16x4 y4
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 8xy 1 * .
 3
 x 2y 8xy 2
 1
 x 
 4 1
 Dễ thấy là một nghiệm của * nên min P .
 1 16
 y 
 2
Câu 37. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 3 x 1 3 y 2 y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 P x y.