Bài tập ôn tập Hình học Lớp 10 - Bài 3.3: Phương trình elip (Có lời giải)

 TOÁN 10 PHƯƠNG TRÌNH ELIP
 0H3-3
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI ........................................................................................................................................................1
DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP ......................................................................................................................1
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP........................................................................................................................2
DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC ..........................................................................................................3
PHẦN B. LỜI GIẢI.........................................................................................................................................................4
DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP ......................................................................................................................4
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP........................................................................................................................6
DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC ..........................................................................................................7
 PHẦN A. CÂU HỎI
 DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP
 x2 y2
Câu 1. Đường Elip 1 có tiêu cự bằng
 16 7
 A. 6 . B. 8 . C. 9 . D. 2; .
Câu 2. Cho elip E có phương trình 16x2 25y2 400 . Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
 A. E có trục nhỏ bằng 8.
 B. E có tiêu cự bằng 3.
 C. E có trục nhỏ bằng 10.
 D. E có các tiêu điểm F1 3;0 và F2 3;0 .
 x2 y2
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip E : 1. Tiêu cự của (E) bằng
 25 9
 A. 10. B. 16. C. 4. D. 8.
Câu 4. Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80, độ dài tiêu cự là 6 . Tâm sai của elip đó là
 4 3 3 4
 A. e . B. e . C. e . D. e .
 5 4 5 3
Câu 5. Cho elip E : 4x2 5y2 20 . Diện tích hình chữ nhật cơ sở của E là
 A. 2 5 . B. 80 . C. 8 5 . D. 40 .
 x2 y2
Câu 6. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Đường elip 1 có tiêu cự bằng
 16 7
 A. 3 . B. 9 . C. 6 . D. 18.
 1 x2 y2
Câu 7. Cho elip có phương trình chính tắc 1. Tính tâm sai của elip.
 4 1
 2 1 1 3
 A. . B. . C. . D. .
 3 2 4 2
 x2 y2
Câu 8. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip E : 1 
 a2 b2
 (với a b 0 ) có F1, F2 là các tiêu điểm và M là một điểm di động trên E . Khẳng định nào dưới 
 đây là đúng?
 2 2 2
 A. MF1 MF2 2b . B. MF1 MF2 4 b OM .
 2 2 2 2 2 2
 C. OM MF1.MF2 a b . D. MF1.MF2 OM a b .
Câu 9. Trong hệ trục Oxy, cho Elip E có các tiêu điểm F1 4;0 , F2 4;0 và một điểm M nằm trên 
 E . Biết rằng chu vi của tam giác MF1F2 bằng 18. Xác định tâm sai e của E .
 4 4 4 4
 A. e . B. e . C. e . D. e .
 5 18 5 9
 5
Câu 10. Cho Elip E đi qua điểm A 3;0 và có tâm sai e . Tiêu cự của E là
 6
 5 10
 A. 10. B. . C. 5 . D. .
 3 3
 DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
 x2 y2 x2 y2 x y x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 2 3 9 8 9 8 9 1
Câu 12. Phương trình chính tắc của đường elip với a 4 , b 3 là
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 16 9 9 16 16 9 9 16
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elip biết một đỉnh là A1 5;0 và 
 một tiêu điểm là F2 2;0 .
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. + = 1. B. + = 1. C. + = 1. D. + = 1.
 25 21 25 4 29 25 25 29
Câu 14. Tìm phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 4 10 và đi qua điểm A 0;6 :
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 40 12 160 36 160 32 40 36
 5
Câu 15. Lập phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm B và có tâm sai e .
 3
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1
 9 4 3 2 9 2 9 3
Câu 16. Phương trình chính tắc của Elip có đỉnh 3;0 và một tiêu điểm là 1;0 là
 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 8 9 9 8 1 9 9 1
Câu 17. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự 
 bằng 6 và trục lớn bằng 10.
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 25 9 16 25 100 81 25 16
Câu 18. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho elip E có độ dài trục lớn gấp hai lần độ 
 dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 6 . Viết phương
 trình của E ?
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1.
 12 3 12 3 3 12 48 12
Câu 19. Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1
 9 16 64 36 8 6 16 9
Câu 20. Elip có một tiêu điểm F (- 2;0) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 . Phương trình 
 chính tắc của elip là:
 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2
 A. + = 1. B. + = 1. C. + = 1. D. + = 1.
 9 5 45 16 144 5 36 20
 3 4 
Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình chính tắc của elip E biết E đi qua M ; 
 5 5 
 và M nhìn hai tiêu điểm F1, F2 dưới một góc vuông.
 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 A. E : 1. B. E : 1. C. E : 1. D. E : 1.
 4 9 9 4 2 3 3 2
 DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
 x2 y2
Câu 22. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho Elip (E) : 1 và điểm M nằm trên 
 16 12
 (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các
 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E) bằng:
 2
 A. 3,5 và 4,5. B. 4 2 . C. 3 và 5. D. 4 .
 2
 x2 y2
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip E : 1. Điểm M E sao cho 
 25 9
 · 0
 F1MF2 90 . Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2.
 1
 A. 2 B. 4 . C. 1. D. .
 2
Câu 24. Ông Hoàng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 
 30m . Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với Elip để làm mục 
 đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên 
 ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện 
 3 tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức S ab , với a, b lần lượt là 
 nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là không đáng kể.
 2 3 1
 A. T . B. T . C. T . D. T 1.
 3 2 2
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C1 , C2 có phương trình lần lượt 
 2 2 2 2 2 2
 là (x 1) (y 2) 9,(x 2) (y 2) 4 và Elip E có phương trình 16x 49y 1. Có 
 bao nhiêu đường tròn C có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip E và C tiếp xúc với hai 
 đường tròn C1 , C2 ?
 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
 x2 y2
Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm C(3;0) và elip (E) : 1. A, B là 2 điểm thuộc (E) sao 
 9 1
 a c 3 
 cho VABC đều, biết tọa độ của A ; và A có tung độ âm. Khi đó a c bằng:
 2 2 
 A. 2 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .
 PHẦN B. LỜI GIẢI
 DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP
Câu 1. Chọn A
 x2 y2
 Elip 1 có a2 16 , b2 7 suy ra c2 a2 b2 16 7 9 c 3 .
 16 7
 Vậy tiêu cự 2c 2.3 6 .
Câu 2. Chọn B
 x2 y2
 E : 16x2 25y2 400 1.
 25 16
 Elip E có a 5 , b 4 , c a2 b2 52 42 3 .
 Tiêu cự của elip E là 2c 6 nên khẳng định “ E có tiêu cự bằng 3” là khẳng định sai.
Câu 3. Chọn D
 x2 y2
 Phương trình chính tắc của elip có dạng: 1 a 0,b 0 .
 a2 b2
 a 5 2 2
 Do đó elip (E) có c a b 4 .
 b 3
 Tiêu cự của elip (E) bằng 2c 8 .
Câu 4. Chọn C
 Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 2a.2b 80 , suy ra a.b 20 1 .
 4 Lại có 2c 6 c 3 a2 b2 c2 9 2 .
 20
 Từ 1 b , thay vào 2 ta được:
 a
 400
 a2 9 a4 9a2 400 0 a2 25 a 5 .
 a2
 3
 Do đó tâm sai e .
 5
Câu 5. Chọn C
 x2 y2
 E : 4x2 5y2 20 1
 5 4
 Độ dài trục lớn: 2a 2 5 .
 Độ dài trục bé: 2b 2.2 4 .
 Diện tích hình chữ nhật cơ sở của E là: 2 5.4 8 5 .
Câu 6. Chọn C
 □ Ta có: a2 16 , b2 7 nên c2 a2 b2 9 c 3 .
 □ Tiêu cự của elip là 2c 6 .
Câu 7. Chọn D
 Ta có a2 4 a 2;b2 1 b 1;c2 a2 b2 3 c 3
 c 3
 Tâm sai của elip là e 
 a 2
Câu 8. Chọn D
 Ta có:
 cx cx c2 x2
 MF a ;MF a MF .MF a2 .
 1 a 2 a 1 2 a2
 x2 y2
 M x; y E 1
 a2 b2
 2 2 2 2 
 2 2 x 2 2 2 2 2 x 2 2 b x
 y b 1 2 OM x y x b 1 2 x b 2
 a a a
 2 2 2 2 2 2 2 2
 2 2 c x 2 2 b x 2 2 2 c x b x 
 MF1.MF2 OM a 2 x b 2 a b x 2 2 
 a a a a 
 b2 c2 x2
 a2 b2 x2 
 a2
 2 2 2
 b c x a2 x2
 Vì a2 b2 c2 nên MF .MF OM 2 a2 b2 x2 a2 b2 x2 a2 b2
 1 2 a2 a2
Câu 9. Chọn A
 Ta có F1 4;0 c 4 .
 P MF MF F F
 MF1F2 12 1 2
 2a
 18 2a 2c 18 2a 8 a 5.
 c 4
 Tâm sai e .
 a 5
Câu 10. Chọn C
 5 x2 y2
 Gọi phương trình chính tắc của E là 1 với a b 0 .
 a2 b2
 9
 Vì E đi qua điểm A 3;0 nên 1 a2 9 a 3.
 a2
 c 5 5a 5
 Lại có e c 2c 5 .
 a 6 6 2
 DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP
Câu 11. Chọn D
 x2 y2
 Phương trình chính tắc của elip có dạng 1, a b 0 nên chọn phương án D .
 a2 b2
Câu 12. Chọn C
 x2 y2
 Phương trình chính tắc E : 1.
 16 9
Câu 13. Chọn A
 Ta có a 5;c 2 b2 25 4 21
 x2 y2
 Vậy + = 1.
 25 21
Câu 14. Chọn D
 x2) y2
 Ta có phương trình chính tắc Elip (E) có dạng 1(a b 0) .
 a2 b2
 Theo giả thiết ta có 2a 4 10 a 2 10 .
 62
 Mặt khác (E) đi qua A 0;6 nên ta có 1 b 6 .
 b2
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 1
 40 36
Câu 15. Chọn A
 x2 y2
 Phương trình chính tắc của Elip có dạng: 1, a b 0 .
 a2 b2
 2 2
 0 2 2
 Elip đi qua điểm B nên 2 2 1 b 4 .
 a b
 5 c 5 5
 Tâm sai e c a .
 3 a 3 3
 2
 2 2 2 2 5 2
 a b c a 4 a a 9 .
 3 
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là 1.
 9 4
Câu 16. Chọn B
 Elip có đỉnh 3;0 a 3 và một tiêu điểm 1;0 c 1.
 Ta có c2 a2 b2 b2 a2 c2 9 1 8 .
 x2 y2
 Vậy phương trình E : 1.
 9 8
 6 Câu 17.
 Lời giải
 Chọn D
 x2 y2
 Phương trình chính tắc của elip: 1.
 a2 b2
 Độ dài trục lớn 2a 10 a 5
 Tiêu cự 2c 6 c 3
 Ta có: a2 b2 c2 b2 a2 c2 16
 x2 y2
 Vậy phương trình chính tắc của elip là 1.
 25 16
Câu 18. Chọn B
 Ta có: a 2b, 2c 6 c 3.
 b2 3
 Mà a2 b2 c2 4b2 b2 9 
 2
 a 12
 x2 y2
 Vậy phương trình E : 1.
 12 3
Câu 19. Chọn D. 
 x2 y2
 + Phương trình Elip dạng: 1,a b 0.
 a2 b2
 + Do có độ dài trục lớn bằng 8 2a a 4
 + Do có độ dài trục nhỏ bằng 6 2b a 3
 x2 y2
 + Suy ra phương trình là 1
 16 9
 Vậy chọn D
Câu 20. Chọn A
 x2 y2
 Gọi (E) có dạng + = 1 ( a > b >0 )
 a2 b2
 ïì ab = 3 5 ïì a2 = 9
 Theo giả thiết ta có: íï Û íï
 ï 2 2 ï 2
 îï a - b = 4 îï b = 5
 x 2 y2
 Vậy (E) cần tìm là + = 1. .
 9 5
Câu 21. Chọn B
 x2 y2
 Gọi E : 1.
 a2 b2
 3 4 9 16 2 2 2 2
 Ta có: E đi qua M ; nên: 2 2 1 16a 9b 5a b . 1 
 5 5 5a 5b
 F F
 Vì M nhìn hai tiêu điểm F , F dưới một góc vuông nên: OM 1 2 c .
 1 2 2
 9 16
 OM 2 c2 c2 a2 b2 c2 5 a2 5 b2 thế vào 1 ta được:
 5 5
 16 5 b2 9b2 5 5 b2 b2 b4 16 b2 4 nên a2 9 .
 x2 y2
 Vậy: E : 1.
 9 4
 7 DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 22. Chọn A
 2
 x2 y2 a 16 a 4
 Giả sử phương trình (E) : 1 (a b 0) Ta có : 
 2 2 2 2 2 2
 a b b 12 c a b 4
 a 4
 c 2
 Gọi F1, F2 lần lượt là hai tiêu điểm của Elip (E) , M 1; yM (E) , ta có :
 c 1
 MF a x 4 .1 4,5
 1 a M 2
 c 1
 MF a x 4 .1 3,5
 2 a M 2
 Chọn A. 
Câu 23.
 Lờigiải
 · 0 2 2 2 2 2 2
 Gọi M x; y vì F1MF2 90 MF1 MF2 F1F2 x y c 16 (1)
 x2 y2
 Do M E 1(2)
 25 9
 175 81 5 7 9
 Giải hệ gồm hai phuơng trình (1) và (2) ta đuợc x2 ; y2 x ; y 
 16 16 4 4
 MF MF F F 2a 2c
 Ta có: nửa chu vi p 1 2 1 2 a c 9
 2 2
 9
 Khoảng các từ M đến trục Ox: d M ;O x y 
 M 4
 1
 S d M ;Ox .F F 9
 MF1F2 2 1 2
 S
 Bán kính đuờng tròn nội tiếp: r 1
 p
Câu 24.
 Hướng dẫn giải
 Chọn D
 2
 Theo đề ta có: Diện tích E là: S E .a.b 30.15. 450 , m 
 Vì đường tròn tiếp xúc trong, nên sẽ tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, suy ra bán kính đường tròn: 
 2 2 2
 R 15m . Diện tích hình tròn C phần trồng cây lâu năm là: S C .R 15 . 225 , m 
 2
 Suy ra diện tích phần trồng hoa màu là: S S E S C 225 , m T 1.
Câu 25. Chọn A
 8 2 2
 2 2 x y 1 1
 Ta có 16x 49y 1 2 2 1 E có độ dài trục lớn 2a 2. .
 1 1 4 2
 4 7 
 Khi đó đường tròn C có bán kính là R 1. Gọi I a;b là tâm của đường tròn C .
 II1 R R1 1 3 4
 Xét II1I2 có II2 R R2 1 2 3 II1I2 vuông tại I .
 I1I2 R1 R2 5
   
 Ta có II1 1 a; 2 b , II2 2 a;2 b . Khi đó điểm I thỏa mãn:
   
 1 a 2 a 2 b 2 b 0 2 2
 II1.II2 0 a b a 6 0
  
 2 2 a2 b2 4a 4b 1 0
 II2 3 2 a 2 b 9 
 2
 2 2 5 4b 2 5 4b
 2 2 a b 6 a b 6 0
 a b 6 a 3 3
 5 4b 
 6 a 4a 4b 1 0 a 5 4b
 3 a 
 3
 a 1
 b 2 
 2 b 2
 25b 28b 44 0 22 
 b 71
 5 4b 25 a .
 a 25
 3 5 4b 
 a 22
 3 b 
 25
 Vậy có hai phương trình đường tròn C thỏa mãn yêu cầu bài toán là
 2 2
 2 2 71 22 
 C : x 1 y 2 1 hoặc C : x y 1.
 25 25 
Câu 26. Chọn A
 y
 B
 C
 O x
 A
 Nhận xét: Điểm C(3;0) là đỉnh của elip (E) điều kiện cần để VABC đều đó là A, B 
 đối xứng
 Nhau qua Ox .Suy ra A, B là giao điểm của đường thẳng : x x0 và elip (E) .
 9 1
 y 9 x2
 x2 y2 3
 +) Ta có elip (E) : 1 .
 9 1 1
 y 9 x2
 3
 1 2 
 +) Theo giả thiết A có tung độ âm nên tọa độ của A x0 ; 9 x0 (điều kiện x0 3 do 
 3 
A C )
 1
 +) Ta có AC (3 x )2 (9 x2 ) và d | 3 x |
 0 9 0 (C; ) 0
 3 3 2 1 2
 +) VABC đều d(C; ) AC | 3 x0 | (3 x0 ) 9 x0 
 2 2 9
 2 3 2 1 2 
 (3 x0 ) (3 x0 ) (9 x0 )
 4 9 
 3
 1 3 3 x (t / m)
 x2 x 0 0 2
 3 0 2 0 2 
 x0 3(L)
 3 3 a 3
 A ; a c 2 .
 2 2 c 1
 10