Bài tập ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 5.4: Vi phân và đạo hàm cấp cao (Có lời giải)

 TOÁN 11 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
 1D5-4.5
 PHẦN A. CÂU HỎI
 DẠNG 1. VI PHÂN
 x3 x2
Câu 1. Vi phân của hàm số y 5x 1 là
 3 2
 A. dy x2 x 6 dx . B. dy x2 x 5.
 2
 x x 2
 C. dy 5 dx . D. dy x x 5 dx .
 3 2 
Câu 2. Tính vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 ứng với x 0,1
 A. df 2 1. B. df 2 10 . C. df 2 1,1. D. df 2 1,1.
Câu 3. Vi phân của hàm số y xsin x cos x là
 A. dy (2sin x x cos x)dx . B. dy x cos xdx .
 C. dy x cos x . D. dy (sin x cos x)dx .
Câu 4. Tìm vi phân của hàm số y 1 x2 .
 1 x 2x 1 x2
 A. dy dx . B. dy dx . C. dy dx . D. dy dx .
 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2
 4x 5
Câu 5. Vi phân của hàm số f (x) tại điểm x 2 ứng với x 0,002 là
 x 1
 A. df (2) 0,018 . B. df (2) 0,002 . C. df (2) 9 . D. df (2) 0,009 .
 DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Câu 6. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hàm số y x5 3x4 x 1 với x ¡ . Đạo hàm 
 y của hàm số là
 A. y 5x3 12x2 1. B. y 5x4 12x3 .
 C. y 20x2 36x3 . D. y 20x3 36x2 .
Câu 7. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y 3cos x tại điểm x .
 0 2
 A. y 3. B. y 5. C. y 0 . D. y 3.
 2 2 2 2 
 5
Câu 8. Cho hàm số f x 3x 7 . Tính f 2 .
 A. f 2 0 . B. f 2 20 . C. f 2 180 . D. f 2 30 .
Câu 9. Cho y 2x x2 , tính giá trị biểu thức A y3.y ''.
 A. 1. B. 0 . C. 1. D. Đáp án khác.
 3x 1
Câu 10. Đạo hàm cấp hai của hàm số y là
 x 2
 1 10 5 5 10
 A. y B. y C. y D. y 
 x 2 2 x 2 4 x 2 3 x 2 3
Câu 11. Đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2 x là
 A. y 2cos 2x . B. y 2sin 2x . C. y 2cos 2x . D. y 2sin 2x .
Câu 12. Cho hàm số y x3 3x2 x 1. Phương trình y 0 có nghiệm.
 A. x 2 . B. x 4 . C. x 1. D. x 3.
Câu 13. Cho hàm số f x cos x . Khi đó f 2017 x bằng
 A. sin x . B. cos x . C. cos x . D. sin x .
Câu 14. Cho hàm số y sin2 x . Khi đó y ''(x) bằng
 1
 A. y '' cos2x . B. P 2sin 2x . C. y '' 2cos 2x . D. y '' 2cos x .
 2
 1
Câu 15. Cho hàm số y . Đạo hàm cấp hai của hàm số là
 x
 2 2 2 2
 A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 .
 x3 x2 x3 x2
Câu 16. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x x3 2x , giá trị của f 1 bằng
 A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 .
Câu 17. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số y 1 3x x2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
 2 2 2
 A. y 2 y.y 1. B. y 2y.y 1. C. y.y y 1. D. y y.y 1.
 2 3 
Câu 18. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y cos x . Khi đó y bằng
 3 
 A. 2 . B. 2 . C. 2 3 . D. 2 3 .
Câu 19. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số y sin2 2x . Giá trị của biểu 
 thức y 3 y 16y 16y 8 là kết quả nào sau đây?
 A. 8 . B. 0 . C. 8 . D. 16sin 4x .
Câu 20. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số 
 10 
 y sin 3x.cos x sin 2x . Giá trị của y gần nhất với số nào dưới đây?
 3 
 A. 454492 . B. 2454493. C. 454491. D. 454490 .
 1
Câu 21. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số f x . Tính f ¢¢ 1 .
 2x 1
 8 8 4
 A. B. 2 . C. D. .
 27 9 27 27
Câu 22. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y sin 2x . Hãy 
 âu đúng.
 2
 A. y2 y 4 . B. 4y y 0 . C. 4y y 0 . D. y y 'tan 2x .
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm bậc 21 của hàm số 
 f x cos x a là
 2 21 21 
 A. f x cos x a . B. f x sin x a .
 2 2 
 21 21 
 C. f x cos x a . D. f x sin x a .
 2 2 
 9
Câu 24. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x 3x2 2x 1 . Tính đạo hàm cấp 6 
 của hàm số tại điểm x 0 .
 A. f 6 0 60480 . B. f 6 0 34560 . C. f 6 0 60480 . D. f 6 0 34560 .
Câu 25. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số y sin2 x . Tính y 2018 
 A. y 2018 22017 . B. y 2018 22018 . C. y 2018 22017 .D. y 2018 22018 .
 PHẦN B. LỜI GIẢI
 DẠNG 1. VI PHÂN
Câu 1. Chọn B
 dy x2 x 5 dx .
Câu 2. Chọn C
 f x 6x 1
 df 2 f 2 . x 11.0,1 1,1
Câu 3. Chọn B
 dy (xsin x cos x)'dx (1.sin x x.cos x) sin x dx x cos xdx .
Câu 4. Chọn B
 1 x2 x
 Ta có dy 1 x2 dx dx .
 2 1 x2 1 x2
Câu 5. Chọn A
 9
 f '(x) .
 ( x 1)2
 4x 5
 Vi phân của hàm số f (x) tại điểm x 2 ứng với x 0,002 là
 x 1
 df (2) f '(2). x 9.0,002 0,018 .
 DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Câu 6. Chọn D
 Ta có y x5 3x4 x 1 y 5x4 12x3 1 y 20x3 36x2 .
Câu 7. Chọn C
 y 3cos x y 3sin x; y 3cos x .
 y 0 .
 2 
Câu 8. Chọn C
 f x 3x 7 5
 4
 f x 15 3x 7 .
 3
 f x 180 3x 4 .
 3 Vậy f 2 180 .
Câu 9. Chọn C
 1 x 1
 Ta có: y ' , y '' 
 2 3
 2x x 2x x2 
 Do đó: A y3.y '' 1.
Câu 10. Chọn D
 5 5 10
 Ta có y 3 y ; y 
 x 2 x 2 2 x 2 3
Câu 11. Chọn A
 y ' 2cos x. sin x sin 2x y 2cos 2x .
Câu 12. Chọn C
 TXĐ D ¡
 Ta có y 3x2 6x 1, y 6x 6 y 0 x 1
Câu 13. Chọn D
 n n 2017 2017 
 Ta có cos x cos x , suy ra cos x cos x 
 2 2 
 cos x 1008 sin x .
 2 
Câu 14. Chọn C
 y sin2 x y ' 2sin x.cosx sin 2 x y '' 2cos 2x
Câu 15. Chọn C
 2 '
 1 2 x 2x 2
 Ta có: y' nên y .
 x2 x4 x4 x3
Câu 16. f x 3x2 2 , f x 6x f 1 6 .
Câu 17. y 1 3x x2 y2 1 3x x2
 2y.y 3 2x 2. y 2 2y.y 2 y 2 y.y 1
Câu 18. y 2cos x. sin x sin 2x ; y 2cos 2x ; y 3 4 sin 2x 4sin 2x .
 3 
 y 4sin 2 2 3 .
 3 3 
 1 cos 4x
Câu 19. Ta có: y sin2 2x y ; y 2sin 4x ; y 8cos 4x ; y 3 32sin 4x .
 2
 Khi đó y 3 y 16y 16y 8 32sin 4x 8cos 4x 32sin 4x 8 1 cos 4x 8 0
 1 1
Câu 20. Ta có y sin 3x.cos x sin 2x sin 4x sin 2x sin 2x sin 4x sin 2x 
 2 2
 n n 1 n n 
 Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được sin ax 1 a sin ax 
 2 
 1 9 9
 Do đó y 10 x 1 410.sin 5 4x 1 .210.sin 5 2x 
 2 
 1
 410.sin 4x 210 sin 2x 
 2
 4 10 
 y 454490.13
 3 
 1 
Câu 21. Tập xác định D ¡ \  .
 2
 2 8
 f ¢ x , f x .
 2x 1 2 2x 1 3
 8
 Khi đó f ¢¢ 1 .
 27
Câu 22. Tập xác định D ¡ .
 Ta có y 2cos 2x và y 4sin 2x .
 4y y 4sin 2x 4sin 2x 0 .
Câu 23. f x sin x a cos x a 
 2 
 2 
 f x sin x a cos x a 
 2 2 
 ...
 21 21 
 f x cos x a cos x a 
 2 2 
 2 18
Câu 24. Giả sử f x a0 a1x a2 x ... a18 x .
 6 2 12 6 
 Khi đó f x 6!.a6 b7 x b8 x ... b18 x f 0 720a6 .
 9 9 9 k
 2 2 k 2
 Ta có 3x 2x 1 1 2x 3x C9 2x 3x 
 k 0
 9 k i 9 k
 k i k i 2 k i k i i k i
 C9 Ck 2x 3x C9 Ck 2 3 x .
 k 0 i 0 k 0 i 0
 6 0 i k 9
 Số hạng chứa x ứng với k , i thỏa mãn 
 k i 6
 k;i 6;0 , 5;1 , 4;2 , 3;3 
 a C 6C 0 26 3 0 C5C1 24 3 C 4C 2 22 3 2 C3C3 20 3 3 84
 6 9 6 9 5 9 4 9 3 
 f 6 0 720. 64 60480 .
 1 cos2x
Câu 25. Ta có y sin2 x .
 2
 2 2
 Khi đó y sin 2x ; y 2.cos2x 2.sin 2x ; y 2 .sin2x 2 .sin 2x 
 2 
 n n 1 n 1 
 y 2 sin 2x .
 2 
 2018 2017 2017 2017 2017
 Vậy y 2 .sin 2. 2 .sin 1010 2 .
 2 2 
 5