Bài tập ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 5.1: Đạo hàm bằng định nghĩa (Có lời giải)

 TOÁN 11 ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
 1D5-1
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1. (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu 
 sau là đúng?
 A. Nếu hàm số y f x có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
 B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
 C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm x0 .
 D. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
 1 y
Câu 2. Cho hàm số y . Tính tỉ số theo x và x (trong đó x là số gia của đối số tại x và y 
 x x 0 0
 là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là
 y 1 y 1 y 1 y 1
 A. . B. . C. . D. .
 x x0 x x x0 x x x0 x0 x x x0 x0 x 
Câu 3. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x0 là f (x0 ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
 f (x x0 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
 A. f (x0 ) lim . B. f (x0 ) lim .
 x x x 0
 0 x x0 x
 f (x) f (x0 ) f (h x0 ) f (x0 )
 C. f (x0 ) lim . D. f (x0 ) lim .
 x x h 0
 0 x x0 h
 4
Câu 4. Số gia y của hàm số f (x) x tại x0 1 ứng với số gia của biến số x 1 là
 A. 2 . B. 1. C. 1. D. 0 .
 1
Câu 5. Tính số gia y của hàm số y theo x tại x 2 .
 x 0
 4 x x 1 x
 A. y . B. y . C. y . D. y .
 2 2 x 2 2 x x 2 2 2 x 
Câu 6. (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f x xác định trên ¡ 
 f x f 3 
 thỏa mãn lim 2 . Kết quả đúng là
 x 3 x 3
 A. f 2 3 . B. f x 2 . C. f x 3 . D. f 3 2 .
Câu 7. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y x3 1 gọi x là số 
 y
 gia của đối số tại x và y là số gia tương ứng của hàm số, tính .
 x
 A. 3x2 3x. x x 3 . B. 3x2 3x. x x 2 .
 C. 3x2 3x. x x 2 . D. 3x2 3x. x x 3 .
Câu 8. (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm 
 f x f 6 
 thỏa mãn f 6 2. Giá trị của biểu thức lim bằng
 x 6 x 6
 1 1 1
 A. 12. B. 2 . C. . D. .
 3 2
 3x
Câu 9. Cho hàm số f x . Tính f 0 .
 1 x
 1
 A. f 0 0 . B. f 0 1. C. f 0 . D. f 0 3 .
 3
 3x 1 2x
 khi x 1
 x 
Câu 10. Cho hàm số f x 1 . Tính f ' 1 .
 5
 khi x 1
 4
 7 9
 A. Không tồn tại. B. 0 C. . D. .
 50 64
 x2 7x 12
 khi x 3
Câu 11. Cho hàm số y x 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 1 khi x 3
 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 3.
 B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 3.
 C. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 3.
 D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 3.
 y
Câu 12. lim của hàm số f x 3x 1 theo x là:
 x 0 x
 3 3 3x 1
 A. . B. . C. . D. .
 3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2 3x 1
 f x 1 f 1 
Câu 13. Cho f x x2018 1009x2 2019x . Giá trị của lim bằng:
 x 0 x
 A. 1009. B. 1008. C. 2018. D. 2019.
Câu 14. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số 
 x2 1, x 1
 y f x Mệnh đề sai là
 2x, x 1.
 A. f 1 2 . B. f không có đạo hàm tại x0 1.
 C. f 0 2. D. f 2 4.
 3 x2
 khi x 1
 2
Câu 15. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f x . Khẳng định 
 1
 khi x 1
 x
 nào dưới đây là sai?
 A. Hàm số f x liên tục tại x 1.
 B. Hàm số f x có đạo hàm tại x 1.
 C. Hàm số f x liên tục tại x 1 và hàm số f x cũng có đạo hàm tại x 1.
 D. Hàm số f x không có đạo hàm tại x 1.
 2 ax2 bx khi x 1
Câu 16. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số f (x) . 
 2x 1 khi x 1 
 Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x 1 thì 2a b bằng:
 A. 2 . B. 5 . C. 2. D. 5 .
Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f x x 1 . Khẳng định nào sau đây là 
 khẳng định sai?
 A. f 1 0. B. f x có đạo hàm tại x 1.
 C. f x liên tục tại x 1. D. f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1.
 ax2 bx 1, x 0
Câu 18. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x . Khi 
 ax b 1, x 0
 hàm số f x có đạo hàm tại x0 0 . Hãy tính T a 2b .
 A. T 4 . B. T 0 . C. T 6 . D. T 4.
 (x2 2012) 7 1 2x 2012 a a
Câu 19. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim , với là phân số tối 
 x 0 x b b
 giản, a là số nguyên âm. Tổng a b bằng
 A. 4017 . B. 4018 . C. 4015 . D. 4016 .
 3 4 x
 khi x 0
 4
Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f x . 
 1
 khi x 0
 4
 Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây?
 1 1 1
 A. . B. . C. . D. Không tồn tại.
 4 16 32
Câu 21. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không có đạo 
 hàm trên ¡ ?
 A. y x 1 . B. y x2 4x 5 . C. y sin x . D. y 2 cos x .
Câu 22. (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 2 . 
 2 f x xf 2 
 Tìm lim .
 x 2 x 2
 A. 0 . B. f 2 . C. 2 f 2 f 2 . D. f 2 2 f 2 .
 2
 x 1 khi x 0
Câu 23. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f x có đạo 
 2
 x khi x 0
 hàm tại điểm x0 0 là?
 A. f 0 0 . B. f 0 1. C. f 0 2 . D. Không tồn tại.
Câu 24. (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục 
 trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b . Trong các khẳng định
 f b f a 
 I : Tồn tại một số c a;b sao cho f c .
 b a
 3 II : Nếu f a f b thì luôn tồn tại c a;b sao cho f c 0 .
 III : Nếu f x có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng a;b thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại 
 một nghiệm của f x .
 Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là
 A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
 a x khi 0 x x
Câu 25. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f x 0 . Biết rằng ta 
 2
 x 12 khi x x0
 luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 
 0; . Tính giá trị S x0 a .
 A. S 2 3 2 2 . B. S 2 1 4 2 . C. S 2 3 4 2 . D. S 2 3 2 2 .
Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số 
 x2 ax b khi x 2
 y . Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 . Giá trị của a2 b2 bằng
 3 2
 x x 8x 10 khi x 2
 A. 20 . B. 17 . C. 18. D. 25 .
PHẦN B. LỜI GIẢI
Câu 1. Chọn D
 Ta có định lí sau:
 Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 2. Chọn D
 1 1 x
 y .
 x0 x x0 x0 x0 x 
 y 1
 Suy ra .
 x x0 x0 x 
Câu 3. Chọn A
 Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Câu 4. Chọn C
 4 4
 y f (x0 ) f (x0 ) ( 1 1) 1 1.
Câu 5. Chọn D
 1 1 x
 Ta có y .
 2 x x x 2 x 
Câu 6. Chọn D
 Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
 f x f 3 
 lim 2 f 3 .
 x 3 x 3
Câu 7. Chọn B
 Ta có : 
 y f x x f x x x 3 1 x3 1 3x2. x 3x. 2 x 3 x x 3x2 3x. x 2 x 
 y 2
 3x2 3x. x 2 x 3x2 3x. x x .
 x
Câu 8. Chọn B
 4 Hàm số y f x có tập xác định là D và x0 D . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 
 f x f x0 
 lim thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x0
 x x
 0 x x0
 f x f 6 
 Vậy kết quả của biểu thức lim f 6 2.
 x 6 x 6
Câu 9. Chọn D
 f x f 0 3
 Ta có: f 0 lim lim .
 x 0 x x 0 1 x
 3 3 3 3 3 3
 Mà lim lim 3; lim lim 3 lim lim 3
 x 0 1 x x 0 1 x x 0 1 x x 0 1 x x 0 1 x x 0 1 x
 3
 f 0 lim 3.
 x 0 1 x
 Kết luận: f 0 3.
Câu 10. Chọn D
 Ta có:
 3x 1 2x 3x 1 4x2 4x 1 5
 lim f x lim lim lim f 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x 1 2x x 1 3x 1 2x 4
 Hàm số liên tục lại x 1 .
 3x 1 2x 5
 f x f 1 x 1 4 4 3x 1 3x 5
 f ' 1 lim lim lim 2
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4 x 1 
 2
 16 3x 1 3x 5 9 9
 lim lim 
 2
 x 1 4 x 1 4 3x 1 3x 5 x 1 4 4 3x 1 3x 5 64
Câu 11. Chọn D
 TXĐ: D ¡ .
 x2 7x 12
 khi x 3
 y f x x 3
 1 khi x 3
 x2 7x 12
 lim f x lim lim x 4 1 f 3 .
 x 3 x 3 x 3 x 3
 f x f 3 x2 7x 12 0
 Đạo hàm của hàm số tại x0 3 lim lim 1 f (3)
 x 3 x 3 x 3 x 3
 Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 3.
Câu 12. Chọn B
 y 3 x x 1 3x 1 3 3
 Ta có: lim lim lim .
 x 0 x x 0 x x 0 3 x x 1 3x 1 2 3x 1
Câu 13. Chọn D. 
 f x 1 f 1 
 Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim f ' 1 .
 x 0 x
 Mà f ' x 2018x2017 2018x 2019 f ' 1 2019 .
 5 f x 1 f 1 
 Vậy giá trị của lim 2019 .
 x 0 x
 f x f 1 2x 2
 lim lim 2;
 x 1 x 1 
Câu 14. Ta có x 1 x 1
 f x f 1 x2 1 2
 lim lim lim x 1 2.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 Vậy f 1 f 1 f 1 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0 1. Vậy B sai.
 3 x2 1
Câu 15. lim f x lim 1 và lim f x lim 1. Do đó, hàm số f x liên tục tại x 1.
 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x
 f x f 1 1 x2 1 x
 lim lim lim 1 và
 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2
 f x f 1 1 x 1
 lim lim lim 1. Do đó, hàm số f x có đạo hàm tại x 1.
 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x
 f x f 1 2x 1 1
Câu 16. lim lim 2 ;
 x 1 x 1 x 1 x 1
 2
 f x f 1 ax2 bx a b a x 1 b x 1 x 1 a x 1 b 
 lim lim lim lim 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 lim a x 1 b 2a b
 x 1 
 f x f 1 f x f 1 
 Theo yêu cầu bài toán: lim lim 2a b 2 .
 x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 17. Ta có f 1 0.
 f x f 1 1 x 0 f x f 1 x 1 0
 lim lim 1 và lim lim 1.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 Do đó hàm số không có đại hàm tại x 1.
Câu 18. Ta có f 0 1.
 lim f x lim ax2 bx 1 1.
 x 0 x 0 
 lim f x lim ax b 1 b 1.
 x 0 x 0 
 Để hàm số có đạo hàm tại x0 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 0 nên
 f 0 lim f x lim f x . Suy ra b 1 1 b 2 .
 x 0 x 0 
 ax2 2x 1, x 0
 Khi đó f x .
 ax 1, x 0
 Xét:
 f x f 0 ax2 2x 1 1
 +) lim lim lim ax 2 2 .
 x 0 x x 0 x x 0 
 f x f 0 ax 1 1
 +) lim lim lim a a .
 x 0 x x 0 x x 0 
 Hàm số có đạo hàm tại x0 0 thì a 2 .
 Vậy với a 2 ,b 2 thì hàm số có đạo hàm tại x0 0 khi đó T 6 .
Câu 19. * Ta có:
 6 (x2 2012) 7 1 2x 2012 ( 7 1 2x 1) 7 1 2x 1
 lim lim x 7 1 2x 2012.lim 2012.lim
 x 0 x x 0 x 0 x x 0 x
 * Xét hàm số y f x 7 1 2x ta có f 0 1. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
 f x f 0 7 1 2x 1
 f 0 lim lim
 x 0 x 0 x 0 x
 2 2 7 1 2x 1 2
 f x 6 f 0 lim 
 7 7 1 2x 7 x 0 x 7
 (x2 2012) 7 1 2x 2012 4024 a 4024
 lim a b 4017 .
 x 0 x 7 b 7
Câu 20. Chọn B
 Với x 0 xét:
 3 4 x 1
 f x f 0 2 4 x 4 4 x 
 lim lim 4 4 lim lim
 x 0 x 0 x 0 x x 0 4x x 0 4x 2 4 x 
 1 1 1 1
 lim f 0 .
 x 0 4 2 4 x 4 2 4 0 16 16
Câu 21. Chọn A
 x 1, x 1 1, x 1
 Ta có: y x 1 , do đó: y khi đó: y 
 1 x, x 1 1, x 1
 f x f 1 x 1
 Tại x 1: y 1 lim lim 1.
 x 1 x 1 x 1 x 1
 f x f 1 1 x
 y 1 lim lim 1.
 x 1 x 1 x 1 x 1
 Do y 1 y 1 nên hàm số không có đạo hàm tại 1.
 Các hàm số còn lại xác định trên ¡ và có đạo hàm trên ¡ .
Câu 22. Chọn C
 f x f 2 
 Do hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 2 suy ra lim f 2 .
 x 2 x 2
 2 f x xf 2 2 f x 2 f 2 2 f 2 xf 2 
 Ta có I lim I lim
 x 2 x 2 x 2 x 2
 2 f x f 2 f 2 x 2 
 I lim lim I 2 f 2 f 2 .
 x 2 x 2 x 2 x 2
Câu 23. Chọn D
 2
 Ta có: f 0 1; lim f x lim x 1 1; lim f x lim x2 0 .
 x 0 x 0 x 0 x 0 
 Ta thấy f 0 lim f x lim f x nên hàm số không liên tục tại x0 0 .
 x 0 x 0 
 Vậy hàm số không có đạo hàm tại x0 0 .
Câu 24. Chọn C
 I đúng (theo định lý Lagrange).
 II đúng vì với f a f b ,
 7 f b f a 
 theo I suy ra tồn tại c a;b sao cho f c 0 .
 b a
 III đúng vì với ,  a;b sao cho f f  0 .
 Ta có f x liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b nên f x liên tục trên 
 đoạn  ;  và có đạo hàm trên khoảng ; .
 Theo II suy ra luôn tồn tại một số c ; sao cho f c 0 .
Câu 25. Chọn B
 a
 + Khi 0 x x : f x a x f x . Ta có f x xác định trên 0; x nên liên tục 
 0 2 x 0
 trên khoảng 0; x0 .
 2
 + Khi x x0 : f x x 12 f x 2x . Ta có f x xác định trên x0 ; nên liên tục 
 trên khoảng x0 ; .
 + Tại x x0 :
 f x f x a x a x a x x0 a a
 lim 0 lim 0 lim lim .
 x x x x x x x x 
 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 2 x0
 x2 12 x2 12 2 2
 f x f x0 0 x x0
 lim lim lim lim x x0 2x0 .
 x x x x x x x x 
 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0
 Hàm số f có đạo hàm trên khoảng 0; khi và chỉ khi
 f x f x0 f x f x0 a
 lim lim 2x0 .
 x x x x 
 0 x x0 0 x x0 2 x0
 a
 a khi 0 x x0
 Khi đó f x0 2x0 và f x 2 x nên hàm số f có đạo hàm liên 
 2 x0 
 2x khi x x0
 tục trên khoảng 0; .
 a
 Ta có 2x0 a 4x0 x0 1 
 2 x0
 2
 Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x0 nên x0 12 a x0 2 
 Từ 1 và 2 suy ra x0 2 và a 8 2
 Vậy S a x0 2 1 4 2 .
Câu 26. Chọn A
 x2 ax b khi x 2
 Ta có y 
 3 2
 x x 8x 10 khi x 2
 2x a khi x 2
 y 
 2
 3x 2x 8 khi x 2
 Hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 4 a 0 a 4 .
 Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 thì hàm số liên tục tại điểm x 2 .
 Suy ra lim f x lim f x f 2 
 x 2 x 2 
 4 2a b 2 b 2 .
 8 Vậy a2 b2 20 .
 9