Bài tập ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 4.3: Hàm số liên tục (Có lời giải)

 TOÁN 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC
 1D4-3
Contents
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................1
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ..........................................................................................................................2
 Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................2
 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số..........................................................................................................................3
 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ..................................................................................................................................4
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG .......................................................................................................................10
 Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số....................................................................................................10
 Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................11
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.......................................................................................13
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ...............................................................................................................................14
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ........................................................................................................................15
 Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số..........................................................................................................15
 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số........................................................................................................................16
 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................16
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG .......................................................................................................................24
 Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số....................................................................................................24
 Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................25
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.......................................................................................29
 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên 
 a;b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên a;b là
 A. lim f x f a và lim f x f b . B. lim f x f a và lim f x f b .
 x a x b x a x b 
 C. lim f x f a và lim f x f b . D. lim f x f a và lim f x f b .
 x a x b x a x b 
Câu 2. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x xác định trên a;b . Tìm 
 mệnh đề đúng.
 A. Nếu hàm số f x liên tục trên a;b và f a f b 0 thì phương trình f x 0 không có 
 nghiệm trong khoảng a;b .
 B. Nếu f a f b 0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a;b .
 1 C. Nếu hàm số f x liên tục, tăng trên a;b và f a f b 0 thì phương trình f x 0 không 
 có nghiệm trong khoảng a;b .
 D. Nếu phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng a;b thì hàm số f x phải liên tục trên 
 a;b .
Câu 3. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 A. Nếu f (a). f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 không có nghiệm nằm trong a;b .
 B. Nếu f (a). f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a;b .
 C. Nếu f (a). f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a;b .
 D. Nếu phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a;b thì f (a). f (b) 0.
Câu 4. Cho đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ sau:
 y
 7
 6
 5
 4
 3
 2
 1
 x
 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
 -1
 -2
 Chọn mệnh đề đúng.
 A. Hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x 0 nhưng không liên tục tại điểm x 0 .
 B. Hàm số y f x liên tục tại điểm x 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x 0 .
 C. Hàm số y f x liên tục và có đạo hàm tại điểm x 0 .
 D. Hàm số y f x không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x 0 .
Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x 1?
 A. . B. .
 C. . D. .
 2 Câu 6. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:
 1. Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì tồn tại x0 a;b sao cho 
 f x0 0 .
 2. Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có 
 nghiệm.
 3. Nếu hàm số y f x liên tục, đơn điệu trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình 
 f x 0 có nghiệm duy nhất.
 A. Có đúng hai mệnh đề sai. B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
 C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có đúng một mệnh đề sai.
 DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số
 1 x3
 ,khi x 1
Câu 7. Cho hàm số y 1 x . Hãy chọn kết luận đúng
 1 ,khi x 1
 A. y liên tục phải tại x 1 . B. y liên tục tại x 1 .
 C. y liên tục trái tại x 1 . D. y liên tục trên ¡ .
 x2 7x 12
 khi x 3
Câu 8. Cho hàm số y x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 1 khi x 3
 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 3.
 B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 3.
 C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 3.
 D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 3.
 x 2
 khi x 2
Câu 9. Cho hàm số f x x 2 2 . Chọn mệnh đề đúng?
 4 khi x 2
 A. Hàm số liên tục tại x 2 . B. Hàm số gián đoạn tại x 2 .
 C. f 4 2 . D. lim f x 2.
 x 2
 2x 1
Câu 10. Cho hàm số f x . Kết luận nào sau đây đúng?
 x3 x
 A. Hàm số liên tục tại x 1. B. Hàm số liên tục tại x 0 .
 1
 C. Hàm số liên tục tại x 1. D. Hàm số liên tục tại x .
 2
Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1:
 x2 + x + 1 x2 - x- 2 x2 + x + 1 x + 1
 A. f (x)= . B. f (x)= . C. f (x)= . D. f (x)= .
 x- 1 x2 - 1 x x- 1
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0 1.
 3 2 2x 1 x x 1
 A. y x 1 x 2 . B. y . C. y . D. y 2 .
 x 1 x 1 x 1
Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x 2 ?
 3x 4
 A. y . B. y sin x . C. y x4 2x2 1 D. y tan x .
 x 2
 x
Câu 14. Hàm số y gián đoạn tại điểm x bằng?
 x 1 0
 A. x0 2018 . B. x0 1. C. x0 0 D. x0 1.
 x 3
Câu 15. Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 x2 1
 A. Hàm số không liên tục tại các điểm x 1. B. Hàm số liên tục tại mọi x ¡ .
 C. Hàm số liên tục tại các điểm x 1. D. Hàm số liên tục tại các điểm x 1.
 1 cos x
 khi x 0
Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x x2 .
 1 khi x 0
 Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
 A. f x có đạo hàm tại x 0 . B. f 2 0 .
 C. f x liên tục tại x 0 . D. f x gián đoạn tại x 0 .
 x cos x, x 0
 x2
Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số f x ,0 x 1. Khẳng định nào 
 1 x
 3
 x , x 1
 sau đây đúng?
 A. Hàm số f x liên tục tại mọi điểm x thuộc ¡ .
 B. Hàm số f x bị gián đoạn tại điểm x 0 .
 C. Hàm số f x bị gián đoạn tại điểm x 1.
 D. Hàm số f x bị gián đoạn tại điểm x 0 và x 1.
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số
 x2 4
 khi x 2
Câu 18. Tìm m để hàm số f (x) x 2 liên tục tại x 2
 m khi x 2
 A. m 4 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 0 .
 x3 1
 khi x 1
Câu 19. Cho hàm số y f (x) x 1 . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x0 1 
 2m 1 khi x 1
 là:
 1
 A. m . B. m 2 . C. m 1. D. m 0 .
 2
 4 x2 3x 2 khi x 1
Câu 20. Để hàm số y liên tục tại điểm x 1 thì giá trị của a là
 4x a khi x 1
 A. 4 . B. 4. C. 1. D. 1.
 x3 x2 2x 2
 khi x 1
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f x x 1 liên tục tại x 1.
 3x m khi x 1
 A. m 0. B. m 6. C. m 4. D. m 2.
 x2016 x 2
 khi x 1
Câu 22. Cho hàm số f x 2018x 1 x 2018 . Tìm k để hàm số f x liên tục tại x 1
 k khi x 1
 .
 2017. 2018 20016
 A. k 2 2019 . B. k . C. k 1. D. k 2019 .
 2 2017
 x 1
 khi x 1
Câu 23. Cho hàm số f x x 1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 1.
 a khi x 1
 1 1
 A. a 0 . B. a . C. a . D. a 1.
 2 2
 ì
 ï 3x + b khi x £ - 1
Câu 24. Biết hàm số f x = í liên tục tại x = - 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 ( ) ï x + a khi x > - 1
 îï
 A. a = b - 2. B. a = - 2 - b. C. a = 2 - b. D. a = b + 2.
 3 x
 khi x 3
Câu 25. Cho hàm số f x x 1 2 . Hàm số đã cho liên tục tại x 3 khi m ?
 m khi x=3
 A. 1. B. 1. C. 4 . D. 4 .
 ax2 bx 5 khi x 1
Câu 26. Biết hàm số f x liên tục tại x 1 Tính giá trị của biểu thức 
 2ax 3b khi x 1
 P a 4b .
 A. P 4 . B. P 5 . C. P 5. D. P 4 .
 x2 x
 khi x 1
Câu 27. Tìm m để hàm số f (x) x 1 liên tục tại x 1
 m 1 khi x 1
 A. m 0 . B. m 1. C. m 1 D. m 2 .
 x2 3x 2
 khi x 1
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số f x x 1 liên tục tại điểm x 1?
 2
 m m 1 khi x 1
 A. 0. B. 3 . C. 2 . D. 1.
 5 x 2 2
 khi x 2
Câu 29. Tìm a để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2 ?
 2x a khi x 2
 15 15 1
 A. . B. . C. . D. 1.
 4 4 4
 ïì x2 - 3x + 2
 ï khi x > 2
Câu 30. Cho hàm số f (x)= íï x + 2 - 2 , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm 
 ï
 ï 2
 îï m x- 4m + 6 khi x £ 2
 số đã cho liên tục tại x = 2 ?
 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1
 3x2 2x 1 2
 2 , x 1
Câu 31. Cho hàm số f x x 1 . Hàm số f x liên tục tại x0 1 khi
 4 m x 1
 A. m 3 . B. m 3 . C. m 7 . D. m 7 .
Câu 32. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 
 x2 3x 2
 khi x 1
 f x x2 1 liên tục tại x 1.
 mx 2 khi x 1
 3 5 3 5
 A. m . B. m . C. m . D. m .
 2 2 2 2
 x2 4 2
 khi x 0
 x2
Câu 33. Cho hàm số f (x) . Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f (x) 
 5
 2a khi x 0
 4
 liên tục tại x 0 .
 3 4 4 3
 A. a . B. a . C. a . D. a .
 4 3 3 4
 x2 2x 3 khi x 1
Câu 34. Cho hàm số f x . Tìm m để hàm số liên tục tại x0 1.
 3x m 1 khi x 1
 A. m 1. B. m 3 . C. m 0 . D. m 2 .
 x2 3x 2
 khi x 2
Câu 35. Cho hàm số f (x) x 2 . Hàm số liên tục tại x 2 khi a bằng
 a khi x 2
 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 1.
 3 x
 khi x 3
Câu 36. Cho hàm số f x x 1 2 . Hàm số liên tục tại điểm x 3 khi m bằng:
 mx 2 khi x 3
 A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 2 .
 6 x2 16
 khi x 4
Câu 37. Tìm m để hàm số f x x 4 liên tục tại điểm x 4 .
 mx 1 khi x 4
 7 7
 A. m . B. m 8 . C. m . D. m 8 .
 4 4
Câu 38. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
 liên tục tại x = 2 .
 A. m 3 . B. m 2 . C. m 2 . D. Không tồn tại m .
 ïì x + 3 - m
 ï khi x ¹ 1
Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số f x = íï . Để hàm số liên tục 
 ( ) ï x - 1
 ï n khi x = 1
 îï
 tại x0 = 1 thì giá trị của biểu thức (m + n) tương ứng bằng:
 3 1 9
 A. . B. 1. C. - . D. .
 4 2 4
 x3 6x2 11x 6
 khi x 3
Câu 40. Cho hàm số f x x 3 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x 3?
 m khi x 3
 A. m 1. B. m 2 . C. m 3 . D. m 0 .
 cos3x cos7x
Câu 41. Giới hạn lim . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x 3?
 x 0 x2
 A. 40 . B. 0 . C. 4. D. 20 .
 x2 x 2
 khi x 1
Câu 42. Tìm m để hàm số f (x) x 1 liên tục tại x 1.
 2
 mx 2m khi x 1
 3 3 3
 A. m 1;  . B. m 1. C. m  . D. m 1; ..
 2 2 2
 x2 3x 2
 khi x 2
Câu 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f x x2 2x liên tục tại điểm x 2 .
 mx m 1 khi x 2
 1 1 1 1
 A. m . B. m . C. m . D. m .
 6 6 2 2
 x2 4 2
 khi x 0
 x2
Câu 44. Cho hàm số f x . Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f x 
 5
 2a khi x 0
 4
 liên tục tại x 0 .
 3 4 4 3
 A. a . B. a . C. a . D. a .
 4 3 3 4
 7 ax2 1 bx 2 1
 khi x 
 4x3 3x 1 2 1
Câu 45. Cho hàm số f x , a,b,c ¡ . Biết hàm số liên tục tại x . 
 c 1 2
 khi x 
 2 2
 Tính S abc .
 A. S 36 . B. S 18 . C. S 36 . D. S 18.
 x2 1
 khi x 1
Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số f x x 1 liên tục tại 
 a khi x 1
 điểm x0 1.
 A. a 1. B. a 0 . C. a 2 . D. a 1.
Câu 47. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 
 x2 x 2
 khi x 2
 f (x) x 2 liên tục tại x=2.
 m khi x=2
 A. m 3. B. m 1. C. m 2. D. m 0.
 2x2 3x 1
 khi x 1
Câu 48. Để hàm số f x 2 x 1 liên tục tại x 1 thì giá trị m bằng
 m khi x 1
 A. 0,5. B. 1,5. C. 1. D. 2 .
 x2 x 2
 khi x 1
Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x x 1 . Tìm 
 3m khi x 1
 tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x 1.
 A. m 2. B. m 1. C. m 2. D. m 3.
Câu 50. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m 
 1 x 1 x
 khi x 0
 x
 để hàm số f x liên tục tại x 0 .
 1 x
 m khi x 0
 1 x
 A. m 1. B. m 2 . C. m 1. D. m 0 .
 eax 1
 khi x 0
 x
Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f x . Tìm giá trị 
 1
 khi x 0
 2
 của a để hàm số liên tục tại x0 0 .
 1 1
 A. a 1. B. a . C. a 1. D. a .
 2 2
 8 ax2 (a 2)x 2
 khi x 1
Câu 52. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số f (x) x 3 2 . Có tất cả 
 2
 8 a khi x 1
 bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x 1?
 A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Câu 53. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số 
 x 2 2
 khi x 2
 y f x x 2 liên tục tại x 2 .
 a 2x khi x 2
 1 15
 A. . B. 1. C. . D. 4 .
 4 4
 x2 1 khi x 1
Câu 54. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số f x liên tục tại điểm 
 x m khi x 1
 x0 1 khi m nhận giá trị
 A. m 2 . B. m 2 . C. m 1. D. m 1.
Câu 55. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số 
 2x 1 x 5
 khi x 4
 f x x 4 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên 
 a 2 khi x 4
 tục tại x0 4 .
 5 11
 A. a . B. a . C. a 3. D. a 2 .
 2 6
Câu 56. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số y f x 
 x2 x 12
 khi x 4
 x 4 liên tục tại điểm x0 4 .
 mx 1 khi x 4
 A. m 4 . B. m 3 . C. m 2 . D. m 5 .
Câu 57. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 
 3x 1 2
 khi x 1
 f x x 1 liên tục tại điểm x0 1.
 m khi x 1
 3 1
 A. m 3. B. m 1. C. m . D. m .
 4 2
Câu 58. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số 
 x 3 2
 khi x 1 
 x 1
 f x . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f x 
 1
 m2 m khi x 1 
 4
 liên tục tại x 1.
 A. m 0;1. B. m 0; 1. C. m 1. D. m 0.
 9 Câu 59. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên ¡ : 
 2x a khi x 1
 f x x3 x2 2x 2
 khi x 1.
 x 1
 A. a 2 . B. a 1. C. a 2 . D. a 1.
Câu 60. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 
 x2 x 2
 khi x 2
 f x x 2 liên tục tại x 2 .
 2
 m khi x 2
 A. m 3 . B. m 1. C. m 3 . D. m 1.
 x2 4x 3
 khi x 1
Câu 61. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số f (x) x 1 
 mx 2 khi x 1
 liên tục tại điểm x 1.
 A. m 2 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 4 .
 x3 8
 khi x 2
Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x x 2 . Tìm 
 2m 1 khi x 2
 m để hàm số liên tục tại điểm x0 2 .
 3 13 11 1
 A. m . B. m . C. m . D. m .
 2 2 2 2
Câu 63. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số 
 x2 2x 8
 khi x 2
 f (x) x 2 m ¡ . Biết hàm số f x liên tục tại x0 2 . Số giá trị 
 2 2
 m x 5mx khi x 2
 nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
 DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số
Câu 64. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ¡ ?
 2x 1
 A. y x3 x . B. y cot x . C. y . D. y x2 1 .
 x 1
 3
Câu 65. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số f1 x 2x 3x 1, 
 3x 1
 f x , f x cos x 3 và f x log x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập ¡ ?
 2 x 2 3 4 3
 A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 66. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ¡ ?
 x2 3 x 5
 A. f x tan x 5. B. f x . C. f x x 6 . D. f x .
 5 x x2 4
 10