Bài tập ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 4.1: Giới hạn dãy số (Có lời giải)

 TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ
 1D4-1
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI ........................................................................................................................................................1
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................1
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ......................................................................................................................2
 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu .................................................................................................................2
 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu ....................................................................................................................3
 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu................................................................................................................7
 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn.......................................................................................................................................8
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ........................................................................................................................9
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ......................................................................................................................11
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG......................................................................................................12
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC........................................................................................................................13
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO..............................................................................................................................16
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ...............................................................................................................................16
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ....................................................................................................................16
 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ...............................................................................................................16
 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu ..................................................................................................................19
 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu..............................................................................................................24
 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn.....................................................................................................................................25
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ......................................................................................................................26
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ......................................................................................................................30
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG......................................................................................................32
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC........................................................................................................................33
 PHẦN A. CÂU HỎI
 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
 A. Nếu limun và limvn a 0 thì lim unvn .
 un 
 B. Nếu limun a 0 và limvn thì lim 0 .
 vn 
 1 un 
 C. Nếu limun a 0 và limvn 0 thì lim .
 vn 
 un 
 D. Nếu limun a 0 và limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim .
 vn 
Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 2,13131313...,
 212 213 211 211
 A. P = B. P = . C. P = . D. P = .
 99 100 100 99
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. Ta nói dãy số un có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a 0 .
 n 
 B. Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương 
 tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 C. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể 
 từ một số hạng nào đó trở đi.
 D. Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể 
 từ một số hạng nào đó trở đi.
 un
Câu 4. Cho các dãy số un , vn và limun a, limvn thì lim bằng
 vn
 A. 1. B. 0 . C. . D. .
Câu 5. Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
 (I) lim nk với k nguyên dương.
 (II) lim qn nếu q 1.
 (III) lim qn nếu q 1
 A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
 1
Câu 6. Cho dãy số u thỏa u 2 với mọi n ¥ *. Khi đó
 n n n3
 A. limun không tồn tại. B. limun 1. C. limun 0 . D. limun 2 .
Câu 7. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?
 n
 A. limun c (un c là hằng số ). B. lim q 0 q 1 .
 1 1
 C. lim 0 . D. lim 0 k 1 .
 n nk
 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
 n 1
Câu 8. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L lim .
 n3 3
 2 A. L 1. B. L 0. C. L 3. D. L 2.
 1
Câu 9. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng
 5n 3
 1 1
 A. 0 . B. . C. . D. .
 3 5
 1
Câu 10. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng
 2n 7
 A. 1 . B. . C. 1 . D. 0 .
 7 2
 1
Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng
 2n 5
 1 1
 A. . B. 0 . C. . D. .
 2 5
 1
Câu 12. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim bằng
 5n 2
 1 1
 A. . B. 0 . C. . D. .
 5 2
 7n2 2n3 1
Câu 13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I lim .
 3n3 2n2 1
 7 2
 A. . B. . C. 0 . D. 1.
 3 3
 2n2 3
Câu 14. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim bằng:
 n6 5n5
 3
 A. 2 . B. 0 . C. . D. 3 .
 5
 2018
 lim
Câu 15. n bằng
 A. . B. 0 . C. 1. D. .
 2n 1
Câu 16. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L lim ?
 2 n n2
 A. L . B. L 2 . C. L 1. D. L 0 .
Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 n2 2 n2 2n 1 2n 1 2n2
 A. u . B. u . C. u . D. u .
 n 5n 3n2 n 5n 3n2 n 5n 3n2 n 5n 3n2
 2n 3
Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I lim
 2n2 3n 1
 A. I . B. I 0 . C. I . D. I 1.
 1 1 1
Câu 19. Tìm limu biết u ... .
 n n 22 1 32 1 n2 1
 3 3 3 2 4
 A. . B. . C. D. .
 4 5 3 3
 1 1 1 1 
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim ... .
 1.2 2.3 3.4 n n 1 
 3
 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. .
 2
Câu 21. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 
 1 1 1 
 L lim ... 
 1 1 2 1 2 ... n 
 5 3
 A. L . B. L . C. L 2. D. L .
 2 2
 1 1 1
Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt S ... . Khi đó 
 n 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 n 1 n
 lim Sn bằng
 1 1 1
 A. B. . C. 1. D. .
 2 1 2 1 2 2
 cos n sin n
Câu 23. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim .
 n2 1
 A. 1. B. 0. C. . D. .
 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
 2 n
Câu 24. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim bằng
 n 1
 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 0 .
 n 2
Câu 25. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim bằng:
 3n 1
 1 1
 A. . B. . C. 2 . D. 1.
 3 3
 3n 2
Câu 26. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I lim .
 n 3
 2
 A. I . B. I 1. C. I 3 . D. k ¢ .
 3
 1 2n
Câu 27. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim bằng?
 3n 1
 2 1 2
 A. . B. . C. 1. D. .
 3 3 3
 2n 2017
Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I lim .
 3n 2018
 4 2 3 2017
 A. I . B. I . C. I . D. I 1.
 3 2 2018
 1 19n
 lim
Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 18n 19 bằng
 19 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 18 18 19
Câu 30. (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
 1 1 n 1 sin n
 A. . B. . C. . D. .
 n n n n
 1 n2
Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim bằng
 2n2 1
 1 1 1
 A. 0 . B. . C. . D. .
 2 3 2
 4n 2018
Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim .
 2n 1
 1
 A. . B. 4 . C. 2 . D. 2018 .
 2
 8n5 2n3 1
Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim .
 4n5 2n2 1
 A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 .
 2n 1
Câu 34. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim được kết quả là
 1 n
 1
 A. 2 . B. 0 . C. . D. 1.
 2
 2n4 2n 2
Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim bằng
 4n4 2n 5
 2 1
 A. . B. . C. . D. 0 .
 11 2
 2n2 3
Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim bằng
 1 2n2
 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
 n2 n
 A lim 2
Câu 37. Giá trị 12n 1 bằng
 1 1 1
 A. . B. 0 . C. . D. .
 12 6 24
 5n 3
 lim
Câu 38. Tính 2n 1 .
 5
 A. 1. B. . C. 2. D. .
 2
 5 n3 4n 5
 lim 3 2
Câu 39. 3n n 7 bằng
 1 1 1
 A. 1. B. . C. . D. .
 3 4 2
 n2 3n3
Câu 40. Tính giới hạn lim .
 2n3 5n 2
 1 3 1
 A. . B. 0 . C. . D. .
 5 2 2
 2n 1
Câu 41. Giới hạn của dãy số u với u ,n ¥ * là:
 n n 3 n
 2 1
 A. 2 . B. . C. 1. D. .
 3 3
 10n 3
Câu 42. Tính giới hạn I lim ta được kết quả:
 3n 15
 10 10 3 2
 A. I . B. I . C. I . D. I .
 3 3 10 5
 2n 1
 lim
Câu 43. n 1 bằng
 A. 1. B. 2 . C. 2 . D. .
 3n2 1
 lim 2
Câu 44. n 2 bằng:
 1 1
 A. 3 . B. 0 . C. . D. - .
 2 2
 8n2 3n 1
 lim 2
Câu 45. Tính 4 5n 2n .
 1 1
 A. 2 . B. . C. 4 . D. .
 2 4
 1 3 un
Câu 46. Cho hai dãy số un và vn có un ; vn . Tính lim .
 n 1 n 3 vn
 1
 A. 0 . B. 3 . C. . D. .
 3
 8n5 2n3 1
 lim 2 5
Câu 47. Giới hạn 2n 4n 2019 bằng
 A. 2 . B. 4 . C. . D. 0 .
 4n2 3n 1
Câu 48. Giá trị của B lim bằng:
 3n 1 2
 4 4
 A. . B. . C. 0 . D. 4
 9 3
 6 n3 n2 1
Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L lim 
 2018 3n3
 1 1
 A. . B. 3 . C. . D. .
 2018 3
Câu 50. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa 
 3n 2 2 
 mãn lim a 4a 0 . Tổng các phần tử của S bằng
 n 2 
 A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 .
 an2 a2n 1
Câu 51. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a ¡ sao cho giới hạn lim a2 a 1
 n 1 2
 .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
 1
 A. 0 a 2 . B. 0 a . C. 1 a 0 . D. 1 a 3 .
 2
 2
 3n 1 3 n a
Câu 52. Dãy số un với un có giới hạn bằng phân số tối giản . Tính a.b
 4n 5 3 b
 A. 192 B. 68 C. 32 D. 128
 2n3 n2 4 1
Câu 53. Biết lim với a là tham số. Khi đó a a2 bằng
 an3 2 2
 A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 .
 1 2 3 ... n
Câu 54. Cho dãy số u với u . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 n n n2 1
 A. limun 0 .
 1
 B. limu .
 n 2
 C. Dãy số un không có giới hạn khi n .
 D. limun 1.
 12 22 32 42 ... n2
Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim có giá 
 n3 2n 7
 trị bằng?
 2 1 1
 A. . B. . C. 0 . D. .
 3 6 3
 1 3 5 ... 2n 1
 lim 2
Câu 56. 3n 4 bằng
 2 1
 A. . B. 0 . C. . D. .
 3 3
 1 2 3 n 
 Lim 2 2 2 ... 2 
Câu 57. n n n n bằng
 7 1 1
 A. 1. B. 0 . C. . D. .
 3 2
 1 3 2n 1
Câu 58. Cho dãy số u xác định bởi: u  với n ¥ * Giá trị của limu bằng:
 n n n2 n2 n2 n
 A. 0`. B. . C. . D. 1
 1 2 n 
Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim 2 2 ... 2 .
 n n n 
 1 1
 A. . B. . C. . D. 0 .
 2 n
Câu 60. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn: 
 1 1 1 
 lim 1 2 1 2 ... 1 2 .
 2 3 n 
 1 1 3
 A. 1. B. . C. . D. .
 2 4 2
Câu 61. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un với 
 1 1 1
 u = + + ...+ . Tính limu .
 n 1.3 3.5 (2n- 1).(2n + 1) n
 1 1
 A. . B. 0. C. 1. D. .
 2 4
 2019 2018
Câu 62. Tính lim( 2n 3n 4) ?
 A. . B. . C. 2. D. 2019 .
 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
 lim 2 3n 4 n 1 3
Câu 63. là:
 A. B. C. 81 D. 2
 n3 2n
 L lim 2
Câu 64. Tính giới hạn 3n n 2
 1
 A. L . B. L 0 . C. L . D. L .
 3
 2 3n 2n3
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số u 
 n 3n 2
 2
 A. . B. . C. 1. D. .
 3
 1 5 ... 4n 3 
 lim
Câu 66. Giới hạn 2n 1 bằng
 2
 A. 1. B. . C. . D. 0 .
 2
 8 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn
 4n2 1 n 2
Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim bằng
 2n 3
 3
 A. . B. 2. C. 1. D. .
 2
 4n2 5 n
Câu 68. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I lim . Khi đó giá trị của I là:
 4n n2 1
 5 3
 A. I 1. B. I . C. I 1. D. I .
 3 4
Câu 69. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
 4x2 x 1 x2 x 3
 lim
 x 3x 2
 1 2 1 2
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
 n 1 3 5 ... 2n 1 
Câu 70. Tìm limu biết u 
 n n 2n2 1
 1
 A. . B. . C. 1. D. .
 2
 12 22 33 ... n2
Câu 71. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim
 2n n 7 6n 5 
 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 6 2 6 2
 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
 lim n2 3n 1 n
Câu 72. bằng
 3
 A. 3 . B. . C. 0. D. .
 2
Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
 3n 1 2n 3n2 n
 A. lim . B. lim .
 5 3n 4n2 5
 2n3 3
 C. lim n2 + 2n - n2 + 1 . D. lim .
 ( ) 1 2n2
 lim n n 4 n 3
Câu 74. Giới hạn bằng
 7 1
 A. 0 . B. . C. . D. .
 2 2
 9 Câu 75. Tính giới hạn lim n n2 4n .
 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
 2
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim n 4n 7 a n 0 ?
 A. 3 . B. 1. C. 2. D. 0 .
Câu 77. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I lim n n2 2 n2 1 .
 3
 A. I . B. I . C. I 1,499 . D. I 0 .
 2
Câu 78. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n 4n2 3 3 8n3 n .
 2
 A. . B. 1. C. . D. .
 3
 L lim 9n2 2n 1 4n2 1 
Câu 79. Tính giới hạn . 
 9
 A. . B. 1. C. . D. .
 4
 L lim 4n2 n 1 9n 
Câu 80. Tính giới hạn . 
 9
 A. . B. 7 . C. . D. .
 4
 2 2 1
Câu 81. Tính giới hạn L lim 4n n 4n 2 . ĐS: .
 4
 1
 A. . B. 7 . C. . D. .
 4
 L lim n2 3n 5 n 25 
Câu 82. Tính giới hạn . 
 53 9
 A. . B. 7 . C. . D. .
 2 4
 2n 1 n 3
 L lim
 4n 5
Câu 83. Tính giới hạn . 
 53 2 1
 A. . B. 7 . C. . D. .
 2 2
Câu 84. Tính giới hạn sau L lim 3 n 4 3 n 1 .
 53
 A. . B. 7 . C. . D. 0 .
 2
Câu 85. Tính giới hạn L lim 3 8n3 3n2 2 3 5n2 8n3 . 
 10