Bài tập ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 3.1: Phương pháp quy nạp toán học (Có lời giải)

 TOÁN 11 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
 1D3-1
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n đúng với mọi số tự 
 nhiên n p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
 Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n đúng với n p.
 Bước 2, giả thiết mệnh đề A n đúng với số tự nhiên bất kỳ n k p và phải chứng minh rằng 
 nó cũng đúng với n k 1.
 Trogn hai bước trên:
 A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.
 C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.
Câu 2. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n 1 chia hết cho 7, n ¥ * '' * như sau:
 Giả sử * đúng với n k , tức là 8k 1 chia hết cho 7.
 Ta có: 8k 1 1 8 8k 1 7 , kết hợp với giả thiết 8k 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k 1 1 
 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n ¥ *.
 Khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. Học sinh trên chứng minh đúng.
 B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
 C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
 D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
 1 1 1 1
Câu 3. Cho S ... với n N*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 n 12 23 34 n. n 1 
 1 1 2 1
 A. S . B. S . C. S . D. S .
 3 12 2 6 2 3 3 4
 1 1 1 1
Câu 4. Cho S ... với n N*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 n 12 23 34 n. n 1 
 n 1 n n 1 n 2
 A. S . B. S . C. S . D. S .
 n n n n 1 n n 2 n n 3
 1 1 1 
Câu 5. Cho Pn 1 2 1 2 ... 1 2 với n 2 và n ¥ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 2 3 n 
 n 1 n 1 n 1 n 1
 A. P . B. P . C. P . D. P .
 n 2 2n n 2n
 *
Câu 6. Với mọi n ¥ , hệ thức nào sau đây là sai?
 n n 1 
 A. 1 2 ... n 
 2
 B. 1 3 5 ... 2n 1 n2 .
 n n 1 2n 1 
 C. 12 22 ... n2 
 6
 2 2n n 1 2n 1 
 D. 22 42 62  2n .
 6
 1 Câu 7. Với mối số nguyên dương n , đặt S 12 22 ... n2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
 n(n 1)(n 2) n(n 1)(2n 1)
 A. S . B. S .
 6 3
 n(n 1)(2n 1) n(n 1)(2n 1)
 C. S . D. S .
 6 2
Câu 8. Đặt Tn 2 2 2 ... 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
 A. T 3 . B. T 2cos . C. T cos . D. T 5 .
 n n 2n 1 n 2n 1 n
 1 1 1
Câu 9. Đặt S ... ,với n ¥ * .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 n 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
 n 1 3n 1 n n 2
 A. S . B. S . C. S . D. S .
 n 2(2n 1) n 4n 2 n 2n 1 n 6n 3
Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1 n2 3n.
 A. n 3 . B. n 5 . C. n 6 . D. n 4 .
Câu 11. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n 3 , là:
 A. S n.180. B. S n 2 .180.
 C. S n 1 .180 . D. S n 3 .180 .
Câu 12. Với n ¥ * , hãy rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10 ... n 3n 1 .
 A. S n n 1 2 . B. S n n 2 2 . C. S n n 1 . D. S 2n n 1 .
 * *
Câu 13. Kí hiệu k! k k 1 ...2.1,k ¥ . Với n ¥ , đặt Sn 1.1! 2.2! ... n.n!. Mệnh đề nào dưới 
 đây là đúng?
 A. Sn 2.n!. B. Sn n 1 ! 1. C. Sn n 1 !. D. Sn n 1 ! 1.
 * 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 14. Với n ¥ , đặt Tn 1 2 3 ... 2n và M n 2 4 6 ... 2n . Mệnh đề nào dưới 
 đây là đúng?
 T 4n 1 T 4n 1 T 8n 1 T 2n 1
 A. n . B. n . C. n . D. n .
 M n 2n 2 M n 2n 1 M n n 1 M n n 1
Câu 15. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n 2n 1 với mọi số nguyên n p .
 A. p 5 . B. p 3 . C. p 4 . D. p 2 .
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của n ¥ * sao cho 2n n2 .
 A. n 5 . B. n 1 hoặc n 6 . C n 7 . D. n 1 hoặc n 5 .
 1 1 1 an b
Câu 17. Với mọi số nguyên dương n , ta có: ... , trong đó a,b,c là 
 2.5 5.8 3n 1 3n 2 cn 4
các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T ab2 bc2 ca2 .
 A. T 3. B. T 6 . C. T 43 . D. T 42 .
 1 1 1 an 2
Câu 18. Với mọi số nguyên dương n 2 , ta có: 1 1 ... 1 , trong đó a,b là các số 
 4 9 n2 bn 4
 nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T a2 b2 .
 A. P 5. B. P 9. C. P 20 . D. P 36.
Câu 19. Biết rằng 13 23 ... n3 an4 bn3 cn2 dn e, n ¥ * . Tính giá trị biểu thức 
 M a b c d e .
 2 1 1
 A. M 4 . B. M 1. C. M . D. M .
 4 2
 3 2
Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2 2.3 ... n n 1 a1n b1n c1n d1 và 
 3 2
 1.2 2.5 3.8 ... n 3n 1 a2n b2n c2n d2 . Tính giá trị biểu thức 
 T a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 .
 4 2
 A. T 2 . B. T 1. C. M . D. T .
 3 3
Câu 21. Biết rằng 1k 2k ... nk , trong đó n,k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
 2
 n n 1 n n 1 2n 1 n2 n 1 n n 1 2n 1 3n2 3n 1 
 S , S , S và S .
 1 2 2 6 3 4 4 30
 Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 22. Với n ¥ * , ta xét các mệnh đề P :"7n 5 chia hết cho 2"; Q :"7n 5 chia hết cho 3" và
 Q :"7n 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
 A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n 2n 1 ”. Một học sinh đã trình 
 bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
 Bước 1: Với n 1, ta có: n! 1! 1 và 2n 1 21 1 20 1. Vậy n! 2n 1 đúng.
 Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 1, tức là ta có k! 2k 1 .
 Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là phải chứng minh k 1 ! 2k .
 Bước 3 : Ta có k 1 ! k 1 .k! 2.2k 1 2k . Vậy n! 2n 1 với mọi số nguyên dương n .
 Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
 A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.
 1 1 1 an2 bn
Câu 24. Biết rằng ... , trong đó a,b,c,d và n là các số 
 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 cn2 dn 16
 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a c b d .
 là :
 A. T 75 . B. T 364 . C. T 300 . D. T 256 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1. Chọn C. 
Câu 2. Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n 1, khi đó ta có 81 1 9 không chi hết cho 7.
 1 1 1
Câu 3. Nhìn vào đuôi của S là  cho n 2 , ta được .
 n n. n 1 2. 2 1 23
 1 1 2
 Do đó với n 2 , ta có S . Chọn C. 
 2 12 23 3
 1 2 3
Câu 4. Cách trắc nghiệm: Ta tính được S , S , S . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn 
 1 2 2 3 3 4
 mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B. 
 1 2 3 n
 Cách tự luận. Ta có S , S , S  dự đoán S .
 1 2 2 3 3 4 n n 1
 1 1
 Với n 1, ta được S : đúng.
 1 1.2 1 1
 3 1 1 1 k
 Giả sử mệnh đề đúng khi n k k 1 , tức là ... .
 1.2 2.3 k k 1 k 1
 1 1 1 k
 Ta có ... 
 1.2 2.3 k k 1 k 1
 1 1 1 1 k 1
 ... 
 1.2 2.3 k k 1 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 
 1 1 1 1 k 2 2k 1
 ... 
 1.2 2.3 k k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 
 1 1 1 1 k 1
 ... . Suy ra mệnh đề đúng với n k 1.
 1.2 2.3 k k 1 k 1 k 2 k 2
 1 3
 n 2  P2 1 2 
 2 4
Câu 5. Vì n 2 nên ta cho .
 1 1 2
 n 3  P3 1 2 . 1 2 
 2 3 3
 Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D. 
Câu 6. Bẳng cách thử với n 1, n 2 , n 3 là ta kết luận được. Chọn D. 
Câu 7.
Đáp án C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n ¥ * , ta có đẳng 
 n(n 1)(2n 1)
 thức 12 22 32 ... n2 .
 6
 1(1 1)(2.1 1)
 - Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 12 1, vế phải bằng 1.
 6
 Vậy đẳng thức đúng với n 1.
 -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, tức là chứng minh
 (k 1)(k 1) 12(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3)
 12 22 32 ... k 2 (k 1)2 .
 6 6
 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh
 (k 1)(k 1) 12(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3)
 12 22 32 ... k 2 (k 1)2 .
 6 6
 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
 (k 1)(k 1)(2k 1)
 12 22 32 ... k 2 (k 1)2 (k 1)2.
 6
 (k 1)(k 1)(2k 1) k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(k 2)(2k 3)
 Mà (k 1)2 .
 6 6 6
 (k 1)(k 2)(2k 3)
 Suy ra 12 22 32 ... k 2 (k 1)2 .
 6
 Do đó đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra có điều phải chứng minh.
 Vậy phương án đúng là C. 
 Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua 
 một số giá trị cụ thể của n.
 + Với n 1 thì S 12 1 (loại được các phương án B và D);
 + Với n 2 thì S 12 22 5 (loại được phương án A).
 Vậy phương án đúng là C. 
Câu 8.
 4 
Đáp án B. Ta chứng minh T 2cos bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
 n 2n 1
 Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 2 , còn vế phải bằng 2cos 2cos 2 .
 21 1 4
 Vậy đẳng thức đúng với n 1.
 Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là T 2cos .
 k 2k 1
 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh T 2cos .
 k 1 2k 2
 Thật vậy, vì T 2 T nên theo giả thiết quy nạp ta có T 2 T 2 2cos .
 k 1 k k 1 k 2k 1
 2 2 
 Mặt khác, 1 cos k 1 1 cos 2. k 2 2cos k 2 nên Tk 1 2.2cos k 2 2cos k 2 .
 2 2 2 2 2
 Vậy phương án đúng là B. 
Câu 9.
Đáp án C. Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
 1 1 1 1 
 Với mọi số nguyên dương k , ta có .
 (2k 1)(2k 1) 2 2k 1 2k 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 n
 Do đó: Sn 1 ... 1 .
 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
 Vậy phương án đúng là phương án C. 
 Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
 1 1
 Với n 1thì S (chưa loại được phương án nào);
 1 1.3 3
 1 1 2
 Với n 2 thì S (loại ngay được các phương án A,B và D. 
 2 1.3 3.5 5
 Vậy phương án đúng là phương án C. 
Câu 10.
Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1,2,3,4, ta dự đoán được 
 2n 1 n2 3n, với n 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. 
 Thật vây:
 -Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 24 1 25 32, còn vế phải bằng 42 3.4 28.
 Do 32 28 nên bất đẳng thức đúng với n 4.
 -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 4, nghĩa là 2k 1 k 2 3k.
 Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là phải chứng minh 
 2 k 1 1 k 1 2 3 k 1 hay 2k 2 k 2 5k 4.
 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k 1 k 2 3k.
 Suy ra 2.2k 1 2 k 2 3k hay 2k 2 2k 2 6k
 Mặt khác 2k 2 6k k 2 5k 4 k 2 k 4 42 4 4 16 với mọi k 4.
 Do đó 2k 2 2 k 2 3k k 2 5k 4 hay bất đẳng thức đúng với n k 1.
 Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
 Vậy phương án đúng là D. 
 5 Câu 11. Đáp án B. 
 Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180 và tổng các góc trong từ giác bằng 360 , 
 chúng ta dự đoán được S n 2 .180.
 Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ 
 thể là với n 3 thì S 180 (loại luôn được các phương án A, C và D); với n 4 thì S 360 
 (kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Câu 12. Đáp án A. 
 Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
 Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n .
 Với n 1 thì S 1.4 4 (loại ngay được phương án B và C); với n 2 thì S 1.4 2.7 18 
 (loại được phương án D).
 Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n 1, S 4; n 2, S 18; n 3, S 48 ta dự 
 đoán được công thức S n n 1 2 .
 n n 1 
 Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1 2 ... n và 
 2
 n n 1 2n 1 2
 12 22 ... n2 . Ta có: S 3 12 22 ... n2 1 2 ... n n n 1 .
 6
Câu 13. Đáp án B. 
 Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
 Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
 Với n 1 thì S1 1.1! 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).
 Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện 
 k.k! k 1 1 .k! k 1 .k! k! k 1 ! k!. Suy ra: 
 Sn 2! 1! 3! 2! ... n 1 ! n! n 1 ! 1.
Câu 14. Đáp án A. 
 Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
 Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
 2 2 2 T1 5
 Với n 1 thì T1 1 2 5;M1 2 4 nên (loại ngay được các phương án B, C, D).
 M1 4
 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 
 2n 2n 1 4n 1 2n n 1 2n 1 Tn 4n 1
 Tn ;M n . Suy ra .
 6 3 M n 2n 2
Câu 15. Đáp án B. 
 Dễ thấy p 2 thì bất đẳng thức 2 p 2 p 1 là sai nên loại ngay phương án D. 
 Xét với p 3 ta thấy 2 p 2 p 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học 
 chúng ta chứng minh được rằng 2n 2n 1 với mọi n 3 . Vậy p 3 là số nguyên dương nhỏ 
 nhất cần tìm.
Câu 16. Đáp án D. 
 Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C. 
 Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta 
 chứng minh được rằng 2n n2 ,n 5 .
Câu 17. Đáp án B. 
 6 1 1 1 1 
 Cách 1: Với chú ý , chúng ta có: 
 3k 1 3k 2 3 3k 1 3k 2 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... ... 
 2.5 5.8 3n 1 3n 2 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 
 1 3n n
 = . .
 3 2 3n 2 6n 4
 Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a 1,b 0,c 6 .
 Suy ra T ab2 bc2 ca2 6 .
 a b 1 2a b 1 3x b 3
 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3 ta được: ; ; .
 c 4 10 2c 4 8 3c 4 22
 Giải hệ phương trình trên ta được a 1,b 0,c 6 . Suy ra T ab2 bc2 ca2 6
Câu 18. Đáp án C. 
 1 k 1 k 1
 Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 . . Suy ra 
 k 2 k k
 1 1 1 1 3 2 4 n 1 n 1 n 1 2n 2
 1 1 ... 1 . . . ... . .
 4 9 n2 2 2 3 3 n 2n 2n 4n
 Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a 2,b 4 . Suy ra P a2 b2 20 .
 a 1 3 3a 2 2
 Cách 2: Cho n 2,n 3 ta được ; . Giải hệ phương trình trren ta được 
 b 4 3b 3
 a 2;b 4 . Suy ra P a2 b2 20 .
Câu 19. Đáp án B. 
 n2 n 1 2 n4 2n3 n2
 Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 13 23 ... n3 . So sánh cách hệ số, 
 4 4
 1 1 1
 ta được a ;b ;c ;d e 0 .
 4 2 4
 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3,n 4,n 5, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a,b,c,d,e . Giải hệ 
 1 1 1
 phương trình đó, ta tìm được a ;b ;c ;d e 0 . Suy ra M a b c d e 1.
 4 2 4
Câu 20. Đáp án C. 
 Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
 1 2
 +) 1.2 2.3 ... n n 1 12 22 ... n2 1 2 ... n n3 n2 n .
 3 3
 1 2
 Suy ra a ;b 1;c ;d 0 .
 1 3 1 1 3 1
 +) 1.2 2.5 3.8 ... n 3n 1 3 12 22 ... n2 1 2 ... n n3 n2.
 Suy ra a2 b2 1;c2 d2 0.
 4
 Do đó T a a b b c c d d .
 1 2 1 2 1 2 1 2 3
 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3,n 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 
 1 2
 a ;b 1;c ;d 0 ; a b 1;c d 0.
 1 3 1 1 3 1 2 2 2 2
 4
 Do đó T a a b b c c d d .
 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Câu 21. Đáp án D. 
 7 n2 n 1 2
 chúng ta thấy ngay được chỉ có S là sai.
 3 4
Câu 22. Đáp án A. 
 Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7n 5 chia hết cho 6.
 Thật vậy: Với n 1 thì 71 5 126 .
 Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, nghĩa là 7k 5 chia hết ccho 6.
 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1, nghĩa là phỉa chứng minh 7k 1 5 chia hết cho 6.
 Ta có: 7k 1 5 7 7k 5 30 .
 Theo giả thiết quy nạp thì 7k 5 chia hết cho 6 nên 7k 1 5 7 7k 5 30 cũng chia hết cho 6.
 Vậy 7n 5 chia hết cho 6 với mọi n 1. Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng.
Câu 23. Đáp án A. 
Câu 24. Đáp án C. 
 1 1 1 1 
 Phân tích phần tử đại diện, ta có: .
 k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 
 1 1 1
 Suy ra: ... 
 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 
 1 1 1 1 1 1 1 
 . ... 
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2 
 1 1 1 n2 3n 2n2 6n
 = .
 2 2 n 1 n 2 4n2 12n 8 8n2 24n 16
 Đối chiếu với hệ số, ta được: a 2;b 6;c 8;d 24 .
 Suy ra: T a c b d 300 .
 8